1、2022年中考数学真题分类练习：锐角三角函数一、选择题1.（2022福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中ABAC，BC44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：，）A. 9.90cmB. 11.22cmC. 19.58cmD. 22.44cm2.（2022云南）如图，已知AB是O的直径，CD是OO的弦，ABCD垂足为E若AB=26，CD=24，则OCE的余弦值为（ ）A. B. C. D. 3.（2022福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，AB8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（ ）A.
2、 96B. C. 192D. 4.（2022北部湾）如图，在中，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（ ）A. B. C. D. 5.（2022贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）A. B. C. D. 6.（2022安徽）已知O的半径为7，AB是O的弦，点P在弦AB上若PA4，PB6，则OP（ ）A. B. 4C. D. 57.（2022北部湾）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ）A. 米B. 米C
3、. 米D. 米8（2022毕节）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（）A. B. C. D. 9.（2022贵港）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）A. B. C. D. 10.（2022毕节）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接若，则的长是（ ）A. 3B. C. D. 11.（2022黔东南）如图，已知正六边形内接于半径为的，随机地往内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）A. B. C. D. 以上答案都不对12.（2022黔东南）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，则的值为
4、（ ）A. B. C. D. 二、填空题13.（2022广东）sin30的值为_14.（2022玉林）计算：=_15.（2022甘肃武威）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，则的长为_cm16.（2022安徽）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53方向上A，B两点间的距离为 参考数据：，17.（2022黔东南）如图，校园内有一株枯死的大树，距树12米处有一栋教学楼，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶处，测得点的仰角为45，点的俯角为30，小青计算后
5、得到如下结论：米；米；若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；若第一次在距点的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.其中正确的是_（填写序号，参考数值：，）三、解答题18.（2022北京）计算：19.（2022贵港）（1）计算：；（2）解不等式组：20.（2022黔东南）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中21.（2022贺州）如图，内接于，AB是直径，延长AB到点E，使得，连接EC，且，点D是上的点，连接AD，CD，且CD交AB于点F（1）求证：EC是的切线；（2）若BC平分，求AD的长22.（2022福建）如图，BD是矩形ABCD的对角线（1）求作A，使得A与BD相
6、切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与A相切于点E，CFBD，垂足为F若直线CF与A相切于点G，求的值23.（2022贵港）图，在中，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径及的长24.（2022毕节）如图，在中，D是边上一点，以为直径的与相切于点E，连接并延长交的延长线于点F（1）求证：；（2）若，求直径25.（2022安徽）已知AB为O的直径，C为O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD（1）如图1，若COAB，D30，OA1，求AD的长；（2）如图2，若DC与O相切，E为OA上一点，且ACDA
7、CE，求证：CEAB26.（2022贺州）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角，同时量得CD为问烟囱AB的高度为多少米？（精确到，参考数据：）27.（2022梧州）今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB
8、如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，垂足为点B， ，求AB的高度（精确到）（参考数据：，）28.（2022海南）无人机在实际生活中应用广泛如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）（1）填空：_度，_度；（2）求楼的高度（结果保留根号）；（3）求此时无人机距离地面的高度29.（2022贵阳）交通安全心系千万家高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图测速仪和测速仪到路面之间的距离，测
9、速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为25，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为60，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）（1）求，两点之间的距离（结果精确到1m）；（2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由（参考数据：，）30.（2022甘肃武威）灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部
10、到水面的距离”的实践活动，过程如下：方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得CAF和CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条直线上，DFEG，CGAF，FG=DE）数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，CAF=26.6，CBF=35问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）参考数据：sin2660.45，cos26.60.89，tan26.60.50，sin350.57，cos350.82，tan350.70根据上述方案及数据
11、，请你完成求解过程31.（2022玉林）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标32.（2022百色）已知抛物线经过A（1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F （1）求抛物线的表达式；（2）求证：BOFBDF ：（3）是否存在点M使MDF为
12、等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长33.（2022甘肃武威）已知正方形，为对角线上一点（1）【建立模型】如图1，连接，求证：；（2）【模型应用】如图2，是延长线上一点，交于点判断的形状并说明理由；若为的中点，且，求的长（3）【模型迁移】如图3，是延长线上一点，交于点，求证：34.（2022甘肃武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，分别是线段，上的动点（点，不与点，重合）（1）求此抛物线的表达式；（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；（3）连接如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；如图3，连接，当时，求的最小值35.（
13、2022贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究如图，在中，为边上的高，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得（1）问题解决：如图，当，将沿翻折后，使点与点重合，则_；（2）问题探究：如图，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；（3）拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值2022年中考数学真题分类练习：锐角三角函数参考答案一、选择题1.（2022福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中ABAC，BC44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：，）A. 9.90cmB. 11.22cmC. 19
14、.58cmD. 22.44cm【答案】解：等腰三角形ABC，ABAC，AD为BC边上的高，BC44cm，cm等腰三角形ABC，ABAC，AD为BC边上的高，在中，cm，cm故选：B2.（2022云南）如图，已知AB是O的直径，CD是OO的弦，ABCD垂足为E若AB=26，CD=24，则OCE的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】解：AB是O的直径，ABCD，故选：B3.（2022福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，AB8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得ABC移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是（ ）A. 96B. C. 192D. 【答案
15、】解：依题意为平行四边形，AB8，平行四边形的面积=故选B4.（2022北部湾）如图，在中，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（ ）A. B. C. D. 【答案】解：，是绕点A逆时针旋转得到，在中，的长=，故选：B5.（2022贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）A. B. C. D. 【答案】设CD=x，在RtADC中，A=45，CD=AD=x，BD=16-x，在RtBCD中，B=60，即：， 解得，故选A6.（2022安徽）已知O的半径为7，A
16、B是O的弦，点P在弦AB上若PA4，PB6，则OP（ ）A. B. 4C. D. 5【答案】解：连接，过点作于点，如图所示，则，PA4，PB6，在中，在中，故选：D7.（2022北部湾）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】解：在RtACB中，ACB=90，sin=，BC= sinAB=12 sin（米），故选：A8（2022毕节）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（）A. B. C. D. 【答案】，解得：，则故选：A9.（2022贵港）如图，在网格正方形中，每个小正方形的
17、边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，每个小正方形的边长为1，设，则，在中，,在中，,，解得，故选：C10.（2022毕节）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接若，则的长是（ ）A. 3B. C. D. 【答案】连接BF，与AE相交于点G，如图，将沿折叠得到与关于AE对称AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=点E是BC中点BE=CE=DF=BE=CE=DFEBF=EFB，EFC=ECFBFC=EFB+EFC=故选 D11.（2022黔东南）如图，已知正六边形内接于半径为的，随机地往内
18、投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）A. B. C. D. 以上答案都不对【答案】解：如图：连接OB，过点O作OHAB于点H，六边形ABCDEF是正六边形，AOB=60，OA=OB=r，OAB是等边三角形，AB=OA=OB=r，OAB=60，在中，正六边形的面积，O的面积=r2，米粒落在正六边形内的概率为：，故选：A12.（2022黔东南）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】解：连结OA、分别与相切于点A、，PA=PB，OP平分APB，OPAP，APD=BPD，在APD和BPD中，APDBPD（SAS）ADP=BDP，OA=OD=
19、6，OAD=ADP=BDP，AOP=ADP+OAD=ADP+BDP=ADB，在RtAOP中，OP=，sinADB=故选A 二、填空题13.（2022广东）sin30的值为_【答案】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30=14.（2022玉林）计算：=_【答案】原式15.（2022甘肃武威）如图，菱形中，对角线与相交于点，若，则的长为_cm【答案】解： 菱形中，对角线，相交于点，AC=4，AO=OC=AC=2， ，故答案为：816.（2022安徽）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测
20、得A在D的正北方向，B在D的北偏西53方向上A，B两点间的距离为 参考数据：，【答案】解：A，B均在C的北偏东37方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方，是直角三角形，A=90-BCD=90-53=37，在RtACD中，CD=90米，米， ， 即是直角三角形， 米，米，答：A，B两点间的距离为96米17.（2022黔东南）如图，校园内有一株枯死的大树，距树12米处有一栋教学楼，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶处，测得点的仰角为45，点的俯角为30，小青计算后得到如下结论：米；米；若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；若第一次在距点的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造
21、成危害.其中正确的是_（填写序号，参考数值：，）【答案】解：过点D的水平线交AB于E，DEAC，EACD，DCA=90，四边形EACD为矩形，ED=AC=12米，AB=BE+AE=DEtan45+DEtan30=12+4故正确；CD=AE=DEtan30=4米，故不正确；AB=18.8米12米，直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；故正确；第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.812，第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.故正确其中正确的是故答案为三、解答题18.（2022北京）计算：【答案】解：19.（2022贵港）
22、（1）计算：；（2）解不等式组：【答案】（1）解：原式；（2）解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组的解集为20.（2022黔东南）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中【答案】（1）；（2），原式=21.（2022贺州）如图，内接于，AB是直径，延长AB到点E，使得，连接EC，且，点D是上的点，连接AD，CD，且CD交AB于点F（1）求证：EC是的切线；（2）若BC平分，求AD的长【答案】（1）证明：连接OC，是的直径，即又是的半径，是的切线（2）解：平分，.又，又是的直径，在中，在中，AB是的直径，在中，22.（2022福建）如图，BD是矩形ABCD的对角线（1）求作A，使得A与BD
23、相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与A相切于点E，CFBD，垂足为F若直线CF与A相切于点G，求的值【答案】（1）解：如图所示，A即为所求作：（2）解：根据题意，作出图形如下：设，A的半径为r，BD与A相切于点E，CF与A相切于点G，AEBD，AGCG，即AEFAGF90，CFBD，EFG90，四边形AEFG是矩形，又，四边形AEFG是正方形，在RtAEB和RtDAB中，在RtABE中，四边形ABCD是矩形，ABCD，又，在RtADE中，即，即，即tanADB的值为23.（2022贵港）图，在中，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，
24、（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径及的长【答案】（1）证明：如图，作，垂足为H，连接，D是的中点，又，BDC=2FAC，即是的平分线，O在上，与相切于点E，且是的半径，AC平分FAB，OHAF，是的半径，是的切线（2）解：如（1）图，在中，可设，则，设的半径为r，则，即，则，在RtAOE中，AO=5，OE=3，由勾股定理得，又，在中，由勾股定理得：24.（2022毕节）如图，在中，D是边上一点，以为直径的与相切于点E，连接并延长交的延长线于点F（1）求证：；（2）若，求直径【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：AC为圆O的切线，AEO=90，ACBC，ACB=90，OEBC，F=DE
25、O，又OD=OE，ODE=DEO，F=ODE，BD=BF（2）525.（2022安徽）已知AB为O的直径，C为O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD（1）如图1，若COAB，D30，OA1，求AD的长；（2）如图2，若DC与O相切，E为OA上一点，且ACDACE，求证：CEAB【答案】（1）解：OA=1=OC，COAB，D=30CD=2 OC=2（2）证明：DC与O相切OCCD即ACD+OCA=90OC= OAOCA=OACACD=ACEOAC+ACE=90AEC=90CEAB26.（2022贺州）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园现决
26、定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角，同时量得CD为问烟囱AB的高度为多少米？（精确到，参考数据：）【答案】设，在中，得在中，得解方程，得答：烟囱AB的高度为53.2米27.（2022梧州）今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，垂足为点B， ，求AB的
27、高度（精确到）（参考数据：，）【答案】解：设AB=xm，在RtABC中，ACB=52，BC=，在RtABD中，ADB=60，BD=，又CD=200m，BC=CD+BD，解得，答：AB的高度约为984m28.（2022海南）无人机在实际生活中应用广泛如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）（1）填空：_度，_度；（2）求楼的高度（结果保留根号）；（3）求此时无人机距离地面的高度【答案】（1）过点A作于点E，由题意得：
28、（2）由题意得：米，在中，楼的高度为米（3）作于点G，交于点F，则，（AAS）无人机距离地面的高度为110米29.（2022贵阳）交通安全心系千万家高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为25，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为60，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）（1）求，两点之间的距离（结果精确到1m）；（2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由（参考数据
29、：，）【答案】（1）四边形是平行四边形四边形是矩形，在中，在中，答：，两点之间的距离为760米；（2），小汽车从点行驶到点未超速30.（2022甘肃武威）灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥（图1），该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A，B两处分别测得CAF和CBF的度数（A，B，D，F在同一条直线上），河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE（C，F，G在同一条
30、直线上，DFEG，CGAF，FG=DE）数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，CAF=26.6，CBF=35问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）参考数据：sin2660.45，cos26.60.89，tan26.60.50，sin350.57，cos350.82，tan350.70根据上述方案及数据，请你完成求解过程【答案】解：设BF=x m，由题意得：DE=FG=1.5m，在RtCBF中，CBF=35，CF=BFtan350.7x（m），AB=8.8m，AF=AB+BF=（8.8+x）m，在RtACF中，CAF=26.
31、6，tan26.6= 0.5，x=22，经检验：x=22是原方程的根，CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9（m），灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m31.（2022玉林）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标【答案】（1）的对称轴为，即b=2，过B点(2,0)，结合b=2可得c=4，即抛物线解析式为：；（2）POD不可能是
32、等边三角形，理由如下：假设POD是等边三角形，过P点作PNOD于N点，如图，当x=0时，C点坐标为(0,4)，OC=4，D点是OC的中点，DO=2，等边POD中，PNOD，DN=NO=DO=1，在等边POD中，NOP=60，在RtNOP中，NP=NOtanNOP=1tan60=，P点坐标为(,1)，经验证P点不在抛物线上，故假设不成立，即POD不可能是等边三角形；（3）PHBO，MHB=90，根据（2）中的结果可知C点坐标为(0,4)，即OC=4，B点(2,0)，OB=2，tanCBO=2，分类讨论第一种情况：BMHCMP，MHB=MPC=90，即P点纵坐标等于C点纵坐标，也为4，当y=4时，
33、解得：x=1或者0，P点在第一象限，此时P点坐标为(1,4)，第二种情况：BMHPMC，过P点作PGy轴于点G，如图，BMHPMC，MHB=MCP=90，GCP+OCB=90，OCB+OBC=90，GCP=OBC，tanGCP=tanOBC=2，PGOG，在RtPGC中，2GC=GP，设GP=a，GC=，GO=+OC=+4，PGOG，PHOH，可知四边形PGOH是矩形，PH=OG=+4，P点坐标为(a,+4)，解得：a=或者0，P点在第一象限，a=，此时P点坐标为()；BMH与PCM中，有BMH=PMC恒相等，PCM中，当CPM为直角时，若PCM=BMH，则可证PCM是等腰直角三角形，通过相似
34、可知BMH也是等腰直角三角形，这与tanCBO=2相矛盾，故不存在当CPM为直角时，PCM=BMH相等的情况；同理不存在当PCM为直角时，CPM=BMH相等的情况，综上所述：P点坐标为：(1,4)或者()32.（2022百色）已知抛物线经过A（1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM ，交BC于点F （1）求抛物线的表达式；（2）求证：BOFBDF ：（3）是否存在点M使MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长【答案】（1）设抛物线的表达式为，将A（1，0）、B（0、3）、C（3，0）代
35、入，得，解得，抛物线的表达式为；（2）四边形OBDC是正方形，；（3）存在，理由如下：当点M在线段BD的延长线上时，此时， ，设，设直线OM的解析式为，解得，直线OM的解析式为，设直线BC的解析式为，把B（0、3）、 C（3，0）代入，得，解得，直线BC的解析式为，令，解得，则，四边形OBDC是正方形，解得或或，点M射线BD上一动点，当时，解得或，当点M在线段BD上时，此时，由（2）得，四边形OBDC是正方形，；综上，ME的长为或33.（2022甘肃武威）已知正方形，为对角线上一点（1）【建立模型】如图1，连接，求证：；（2）【模型应用】如图2，是延长线上一点，交于点判断的形状并说明理由；若为
36、的中点，且，求的长（3）【模型迁移】如图3，是延长线上一点，交于点，求证：【答案】（1）证明：四边形为正方形，为对角线，.，.（2）为等腰三角形.理由如下：四边形为正方形，.，由（1）得，又，为等腰三角形.如图1，过点作，垂足为.四边形为正方形，点为的中点，.由知，.在与中，.在中，.（3）如图2，.在中，.由（1）得，由（2）得，.34.（2022甘肃武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，分别是线段，上的动点（点，不与点，重合）（1）求此抛物线的表达式；（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；（3）连接如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的
37、坐标；如图3，连接，当时，求的最小值【答案】（1）解：在抛物线上，解得，即；（2）在中，令，得，轴，（3）连接交于点，如图1所示：与关于轴对称，设，则，点在抛物线上，解得（舍去），；在下方作且，连接，如图2所示：，当，三点共线时，最小，最小为，过作，垂足为，即的最小值为35.（2022贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究如图，在中，为边上的高，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得（1）问题解决：如图，当，将沿翻折后，使点与点重合，则_；（2）问题探究：如图，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；（3）拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值【答案】（1），是等边三角形，四边形平行四边形，为边上的高，（2），是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，为底边上的高，则点在边上，当时，取得最小值，最小值为；（3）如图，连接，则，设， 则，折叠，在中，延长交于点，如图，在中，
