1、 第五章第五章 数学能力及其培养数学能力及其培养课标中的数学能力课标中的数学能力2013.11.25第1页，共30页。关于关于10个核心概念的分析个核心概念的分析 原课标也称为原课标也称为“关键词关键词”n原课标：原课标：数感数感 符号感符号感 空间观念空间观念 （6个）个）统计观念统计观念 应用意识应用意识 推理能力推理能力n修改后：修改后：数感数感 符号意识符号意识 运算能力运算能力 （10个）个）模型思想模型思想 空间观念空间观念 几何直观几何直观 推理能力推理能力 数据分析观念数据分析观念 应用意识应用意识 创新意识创新意识第2页，共30页。核心概念有何意义？核心概念有何意义？n首先，
2、首先，标准标准将这些核心概念放在课程内将这些核心概念放在课程内容设计栏目下提出，是想表明，这些概念不容设计栏目下提出，是想表明，这些概念不是设计者超乎于数学课程内容之上外加的，是设计者超乎于数学课程内容之上外加的，而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中的而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中的。从这一意义上看，。从这一意义上看，核心概念往往是一类课核心概念往往是一类课程内容的核心或主线，程内容的核心或主线，它有利于我们体会内它有利于我们体会内容的本质，把握课程内容的线索，抓住教学容的本质，把握课程内容的线索，抓住教学中的关键。中的关键。第3页，共30页。n第二，第二，这些核心概念都是数学课程的目标
3、点这些核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标，仅以也应该成为数学课堂教学的目标，仅以“数数学思考学思考”和和“问题解决问题解决”部分的目标设定来看部分的目标设定来看，标准标准就提出了：就提出了：“建立数感、符号意识建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力和空间观念，初步形成几何直观和运算能力”；“发展数据分析观念，感受随机现象发展数据分析观念，感受随机现象”；“发展合情推理和演绎推理能力发展合情推理和演绎推理能力”；“增强应用增强应用意识，提高实践能力意识，提高实践能力”；“体验解决问题方法体验解决问题方法的多样性，发展创新意识的多样性，发展创新意识”。这些
4、目标表述几。这些目标表述几乎涵盖了所有的核心概念。乎涵盖了所有的核心概念。第4页，共30页。n第三，深入一步讲，很多核心概念都体现着第三，深入一步讲，很多核心概念都体现着数学的基本思想数学的基本思想。数学基本思想集中反映为数学基本思想集中反映为数学抽象、数学推理和数学模型思想。数学抽象、数学推理和数学模型思想。n比如，与比如，与“数与代数数与代数”部分内容直接关联的部分内容直接关联的数感、符号意识、运算能力、推理能力和模数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度的直接体现了型思想等核心概念就不同程度的直接体现了抽象、推理和模型的基本思想要求。这启示抽象、推理和模型的基本思
5、想要求。这启示我们，核心概念的教学要更关注其数学思想我们，核心概念的教学要更关注其数学思想本质。本质。第5页，共30页。n第四，从这第四，从这10个名词的指称来看，它们体现个名词的指称来看，它们体现的都是学习主体的都是学习主体学生的特征，涉及的是学生的特征，涉及的是学生在数学学习中学生在数学学习中应该建立和培养的关于数应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等学的感悟、观念、意识、思想、能力等，因，因此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段数学课程中数学课程中最应培养的数学素养，最应培养的数学素养，是促进学是促进学生发展的重要方面。生发展的重要
6、方面。n所以，把握好这些核心概念无论对于教师教所以，把握好这些核心概念无论对于教师教学和学生学习都是极为重要的。学和学生学习都是极为重要的。第6页，共30页。核心概念之三：核心概念之三：空间观念空间观念（1）空间观念的含义）空间观念的含义n空间观念空间观念是指对物体及其几何图形的形状是指对物体及其几何图形的形状、大小、位置关系及其变化建立起来的一、大小、位置关系及其变化建立起来的一种感知和认识，空间想象是建立空间观念种感知和认识，空间想象是建立空间观念的重要途径的重要途径n空间观念也是创新精神所需的基本要素，空间观念也是创新精神所需的基本要素，没有空间观念和空间想象力，几乎很难谈没有空间观念和
7、空间想象力，几乎很难谈发明与创造发明与创造第7页，共30页。（2）标准标准中空间中空间 观念所提出的要求观念所提出的要求n标准标准从从四个方面四个方面提出了要求：提出了要求：n根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；形想象出所描述的实际物体；n想象出物体的方位和相互之间的位置关系；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；n描述图形的运动和变化；描述图形的运动和变化；n依据语言的描述画出图形等。依据语言的描述画出图形等。第8页，共30页。核心概念之四：核心概念之四：几何直观几何直观 此次新增的核心概念此次新增的核心概念（1 1）对几何直
8、观的认识）对几何直观的认识n顾名思义，几何直观所指有两点：顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何一是几何，在这里几何是指图形；，在这里几何是指图形；一是直观一是直观，这里的，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来综合起来几何直观就是依托、利用图形进行几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象数学的思考、想象。它在本质上是一种通过。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。图形所展开的想象能
9、力。第9页，共30页。（2 2）标准标准中中几何直观几何直观的含义的含义n标准标准指出：指出：“几何直观是指利用图形描述几何直观是指利用图形描述和分析问题。和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。重要作用。”第10页，共30页。它表明：今后数学课程中有两件事需要它表明：今后数学课程中有两件事需要刻意去做，即针对较抽象的数
10、学对象的刻意去做，即针对较抽象的数学对象的“图形表示图形表示”和和“图形分析图形分析”。n前者前者指教学中要培养学生通过画图来表达指教学中要培养学生通过画图来表达数学问题的习惯，能画图时尽量画；数学问题的习惯，能画图时尽量画；后者后者指引导学生借助图形将相对抽象的、复杂指引导学生借助图形将相对抽象的、复杂的数学关系直观、清晰地展示出来，通过的数学关系直观、清晰地展示出来，通过对图形的分析思考进而寻求解决问题的思对图形的分析思考进而寻求解决问题的思路。路。第11页，共30页。（3 3）几何直观的培养）几何直观的培养 使学生养成画图习惯使学生养成画图习惯,鼓励用图形表达问题鼓励用图形表达问题n可以
11、通过多种途径和方式使学生真正体会到可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图图形化形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观过程变得直观第12页，共30页。重视变换重视变换让图形动起来让图形动起来 几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是认识几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。在数学中，我们接触的最基本的图数学的思
12、想和方法。在数学中，我们接触的最基本的图形都是对称图形，例如圆、正多边形、长方体、长方形形都是对称图形，例如圆、正多边形、长方体、长方形、菱形、平行四边形等；另一方面，在认识、学习、研、菱形、平行四边形等；另一方面，在认识、学习、研究非对称图形时，又往往是运用这些对称图形为工具的究非对称图形时，又往往是运用这些对称图形为工具的。变换又可以看作运动，让图形动起来是指再认识这些变换又可以看作运动，让图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图形动起来，图形时，在头脑中让图形动起来，例如，平行四边形是例如，平行四边形是一个中心对称图形，可以把它看作一个刚体，通过围绕一个中心对称图形，可以把它看作一个
13、刚体，通过围绕中心（两条对角线的交点）旋转中心（两条对角线的交点）旋转180180度，去认识、理解度，去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质。充分地利用变换去认、记忆平行四边形的其他性质。充分地利用变换去认识、理解几何图形是建立几何直观的好办法。识、理解几何图形是建立几何直观的好办法。第13页，共30页。学会从学会从“数数”与与“形形”两个角度认识数两个角度认识数学学 数形结合首先是对知识、技能的贯通数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的
14、能力，应该是形成正确的数学认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。态度所必需要求的。第14页，共30页。例如，例如，若每两人握一次手，则若每两人握一次手，则3个人共握几次手，个人共握几次手，4个人共握几次手个人共握几次手，n个人共握几次手？个人共握几次手？用归用归纳的方法探索规律，如下表纳的方法探索规律，如下表:人数人数 握手次数握手次数 规律规律 2 1 1 3 3 1+2 4 6 1+2+3 n 1+2+3+(n-1)A1A2A3AN第15页，共30页。n对于七、八年级的学生来说，要发现对于七、八年级的学生来说，要发现“1+2+3+(1+2+3+(n n-1)”1)”这个规
15、律并不容易，计算这个规律并不容易，计算1+2+3+(1+2+3+(n n-1)-1)得到得到 1/2 1/2 n n（n n-1-1）也有困难。也有困难。n但是，如果把但是，如果把“人人”抽象成抽象成“点点”，“两人握两人握1 1次手次手”抽象成抽象成“两点之间连接一条线段两点之间连接一条线段”，那么借助图形的直观就，那么借助图形的直观就能简明地解决问题。如图，对于能简明地解决问题。如图，对于n n点中的任何一个点，它与点中的任何一个点，它与其它的（其它的（n-1n-1）个点共可连接（）个点共可连接（n n-1-1）条线段，因而）条线段，因而n n个个点共可连接点共可连接n n（n n-1-1
16、）条线段。因为两点之间有且只有）条线段。因为两点之间有且只有一条线段（线段一条线段（线段ABAB与线段与线段BABA是同一条线段），所以共可是同一条线段），所以共可连接连接 1/2 1/2 n n（n n-1-1）条线段。）条线段。第16页，共30页。用用“图形法图形法”解决问题解决问题 掌握、运用一些基本图形解决问题掌握、运用一些基本图形解决问题 把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了前在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了前面指出的图形，还有数轴，方格纸，面指出的图形，还有数轴，方格纸，
17、直角坐标系等等。直角坐标系等等。在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果果，这应该成为教学中关注的目标。，这应该成为教学中关注的目标。第17页，共30页。核心概念之六：核心概念之六：运算能力运算能力 此次增加的核心概念此次增加的核心概念 运算是数学的重要内容，在义务教育阶运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的数学课程的各个学段中，运算都占有很段的数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。学生在学习数学的过程中，要花大的比重。学生在学习数学的过程中，
18、要花费较多的时间和精力，学习和掌握关于各种费较多的时间和精力，学习和掌握关于各种运算的知识及技能，并发展运算能力。运算的知识及技能，并发展运算能力。第18页，共30页。（1）标准对运算能力的要求）标准对运算能力的要求n标准标准指出：指出：运算能力运算能力主要是指能够主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题问题。第19页，共30页。（2）对运算能力的认识）对运算能力的认识n运算的运算的正确、有据、合理、简洁正确、有据、
19、合理、简洁是运算能是运算能力的主要特征。力的主要特征。n运算能力并非一种单一的、孤立的数学能运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简洁。换言之，使运算符合算理，合理简洁。换言之，运运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。一种数学的思维能力。
20、第20页，共30页。核心概念之七：核心概念之七：推理能力推理能力 此次此次标准标准提出的推理能力与过去相提出的推理能力与过去相比，有这样一些特点：比，有这样一些特点：n一是进一步指明了推理在数学学习中的重要一是进一步指明了推理在数学学习中的重要意义。意义。标准标准指出：指出：“推理是数学的基本推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式的思维方式”。它对教学的启示是，不仅要它对教学的启示是，不仅要引导学生认识到推理是数学的重要基础之一引导学生认识到推理是数学的重要基础之一，它与人们的生活息息相关，更重要的是要，它与人们的生活息息相关，更
21、重要的是要逐步培养学生运用推理进行思维的方式。逐步培养学生运用推理进行思维的方式。第21页，共30页。突出了合情推理与演绎推理突出了合情推理与演绎推理n二是基于数学推理的特点，突出了合情二是基于数学推理的特点，突出了合情推理与演绎推理这条主线。指出推理与演绎推理这条主线。指出在数学在数学思维和问题解决的过程中，两种推理功思维和问题解决的过程中，两种推理功能不同，相辅相成能不同，相辅相成合情推理用于探合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。结论。引导学生多经历“猜想证明”的问题探索过程 第22页，共30页。三是强调推理能力的培养三是强调推理能力的培
22、养“应贯穿于整应贯穿于整个数学学习过程中个数学学习过程中”。n其一其一，它应贯穿于整个数学课程的各个学，它应贯穿于整个数学课程的各个学习内容，习内容，n其二其二，它应贯穿于数学课堂教学的各种活，它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程动过程n其三其三，它应贯穿于整个数学学习的环节，它应贯穿于整个数学学习的环节n也应也应贯穿于三个学段，合理安排，循序渐贯穿于三个学段，合理安排，循序渐进，协调发展进，协调发展第23页，共30页。通过多样化的活动，培养学生的推理能力通过多样化的活动，培养学生的推理能力n反思传统教学反思传统教学，对学生推理能力的培养往，对学生推理能力的培养往往被认为就是加强逻辑证明的训练
23、，主要往被认为就是加强逻辑证明的训练，主要的形式就是通过习题演练以掌握更多的证的形式就是通过习题演练以掌握更多的证明技巧。显然，这样的认识是带有局限性明技巧。显然，这样的认识是带有局限性的。的。第24页，共30页。n标准标准强调通过多样化的活动强调通过多样化的活动来培养学生的来培养学生的推理能力。如推理能力。如标准标准提出：提出：“在参与观察、在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，发展合情推理和演绎推理能力，”（总目标（总目标），），“体会通过合情推理探索数学结论，运用体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加
24、以证明的过程，在多样化形式的数演绎推理加以证明的过程，在多样化形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力”（三学段）（三学段）第25页，共30页。使学生多经历使学生多经历 “猜想猜想证明证明”的问题探索过程的问题探索过程n在在“猜想猜想证明证明”的问题探索过程中，的问题探索过程中，学生能亲身经历用学生能亲身经历用合情推理合情推理发现结论、用发现结论、用演绎推理演绎推理证明结论的完整推理过程，在过证明结论的完整推理过程，在过程中感悟数学基本思想，积累数学活动经程中感悟数学基本思想，积累数学活动经验，这对于学生数学素养的提升极为有利验，这对于学生数学素养的
25、提升极为有利。n教师要善于对素材进行此类加工，引导学教师要善于对素材进行此类加工，引导学生多经历这样的活动。生多经历这样的活动。第26页，共30页。核心概念之十：核心概念之十：创新意识创新意识n创新意识创新意识的培养是现代数学教育的基本任的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。务，应体现在数学教与学的过程之中。学学生自己发现和提出问题是创新的生自己发现和提出问题是创新的基础基础；独；独立思考、学会思考是创新的立思考、学会思考是创新的核心核心；归纳概；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要的重要方法方法。创新意识的培养应该从义务
26、创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。第27页，共30页。n从从基础、核心、方法基础、核心、方法三个方面指明了创新三个方面指明了创新意识的要素。这为我们培养学生创新意识意识的要素。这为我们培养学生创新意识提出了几个基本的切入点和路径，使创新提出了几个基本的切入点和路径，使创新意识的培养落在了比较实在的载体上，意识的培养落在了比较实在的载体上，n即围绕这即围绕这三个要素，三个要素，教师应紧紧抓住教师应紧紧抓住“数数学问题学问题”、“学会思考学会思考”、“猜想、验证猜想、验证”这几个点，做足教学中的这几个点，做足教学中的“文章文章”，创，创新意
27、识培养的目标就有可能得到落实。新意识培养的目标就有可能得到落实。第28页，共30页。目标点二：目标点二：为何要强调为何要强调 发现问题、提出问题？发现问题、提出问题？n在数学中，发现结论常常比证明结论更重在数学中，发现结论常常比证明结论更重要要n创新性的成果往往始于问题创新性的成果往往始于问题n传统教学在这方面的不足传统教学在这方面的不足n问题解决的全过程是发现、提出、分析、问题解决的全过程是发现、提出、分析、解决问题的过程解决问题的过程第29页，共30页。“发现问题和提出问题发现问题和提出问题”n所谓所谓“发现问题发现问题”，是经过多方面、多角度，是经过多方面、多角度的数学思维，从表面上看来
28、没有关系的一些的数学思维，从表面上看来没有关系的一些现象中找到数量或者空间方面的某些联系，现象中找到数量或者空间方面的某些联系，或者找到数量或者空间方面的某些矛盾，并或者找到数量或者空间方面的某些矛盾，并把这些联系或者矛盾提炼出来。把这些联系或者矛盾提炼出来。n所谓所谓“提出问题提出问题”，是在已经发现问题的基，是在已经发现问题的基础上，把找到的联系或者矛盾用数学语言、础上，把找到的联系或者矛盾用数学语言、数学符号集中地以数学符号集中地以“问题问题”的形态表述出来的形态表述出来n发现、提出、分析、解决发现、提出、分析、解决针对的是问题解决针对的是问题解决的全程，是数学能力要求的全程，是数学能力要求第30页，共30页。
