1、轨迹方程的求法轨迹方程的求法 求平面上动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌求平面上动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌握的主要内容之一，也是高考考查的重要内容之一。握的主要内容之一，也是高考考查的重要内容之一。轨迹即点的集合，而方程为实数对的集合，求符合某种轨迹即点的集合，而方程为实数对的集合，求符合某种条件的动点轨迹的方程，其实质就是利用已知的点的坐标间条件的动点轨迹的方程，其实质就是利用已知的点的坐标间的特性（运动规律）去寻求变量间关系的方程。因此，求轨的特性（运动规律）去寻求变量间关系的方程。因此，求轨迹方程的基本指导思想，就是充分利用题设中的几何条件，迹方程的基本指导思想，就是充分利用题设
2、中的几何条件，通过通过“解析化解析化”将其转化为代数方程。将其转化为代数方程。求动点轨迹方程的几种常用方法：求动点轨迹方程的几种常用方法：1.1.直接法；直接法；2.2.定义法；定义法；3.3.代入法（转代法）；代入法（转代法）；4.4.待定系数法；待定系数法；5.5.参数法；参数法；6.6.交轨法。交轨法。知识归纳知识归纳如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等 量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系须把这种关系“翻译翻译”成含成含x x、y y的等式就得到曲线的轨迹方程，由
3、的等式就得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以于这种求轨迹方程的过程不需其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以称之为直接法。称之为直接法。例例1 1：已知已知A A（-2-2，0 0），），B B（2 2，0 0），动点），动点P P与与A A、B B两点连线的斜率乘积为两点连线的斜率乘积为k k（k0k0），（），（1 1）求点）求点P P的轨迹方程；（的轨迹方程；（2 2）讨论点）讨论点P P的轨迹类型。的轨迹类型。分析分析：直接应用已知条件可列出轨迹方程，但不要忽略讨论参数范围。直接应用已知条件可列出轨迹方程，但不要忽略讨论参数范围。一一.直接法直
4、接法解：（解：（1 1）设点）设点P P的坐标为（的坐标为（x x，y y），则），则=k=k，即，即kxkx2 2y y2 2=4k=4k（xx2 2）k0k0，动点动点P P的轨迹方程为的轨迹方程为当当k0k0时，点时，点P P的轨迹为双曲线，除去两顶点（的轨迹为双曲线，除去两顶点（2 2，0 0）；）；当当k0k0 x0）ca54AFed()()xy225124若动点若动点P P（x x，y y）随已知曲线）随已知曲线f f（x x，y y）=0=0上的动上的动 点点Q(x,y)Q(x,y)的变化而变化，则用的变化而变化，则用P P点坐标点坐标 x x，y y来来表示表示QQ点的坐标点的
5、坐标xx，yy，将它代入已知曲线方程，将它代入已知曲线方程f f（x x，y y）=0 0，便得到所求的曲线方程。，便得到所求的曲线方程。三、代入法三、代入法（转代法）（转代法）分析分析：这是主动点和被动点问题，设法用：这是主动点和被动点问题，设法用P P点坐标来表示点坐标来表示Q Q点坐标，问题点坐标，问题便可迎刃而解。便可迎刃而解。例例3 3：设点：设点Q Q是抛物线是抛物线y y2 24x4x上的动点，点上的动点，点O O是原点，点是原点，点P P在在OQOQ的延长线上，的延长线上，且且=，当点，当点Q Q在抛物线上移动时，求点在抛物线上移动时，求点P P的轨迹方程。的轨迹方程。OPOQ
6、23解：设解：设Q Q（x x0 0，y y0 0），），P P（x x，y y），由且），由且P P在在OQOQ的延长线上，得的延长线上，得由定比分点坐标公式得：由定比分点坐标公式得：又点在抛物线又点在抛物线y24x 上，上，所以，即点的轨迹方程为所以，即点的轨迹方程为OPOQ32OPPQ 3()yx222433yx26xx031 3yy031 3xx023yy023 2006届高中数学专题复习轨迹方程的求法法 四、四、待定系数法待定系数法已知曲线类型，设相应的曲线方程，再由题设已知曲线类型，设相应的曲线方程，再由题设条件确定其系数即可。条件确定其系数即可。例例4 4：已知圆已知圆C C1
7、1的方程为，椭圆的方程为，椭圆C C2 2的方程为的方程为（abcabc），），C C2 2离心率为，若离心率为，若C C1 1与与C C2 2相交于相交于A A、B B两点，且线段两点，且线段ABAB恰好为圆恰好为圆C C1 1的直径，求直径的直径，求直径ABAB的方程和椭圆的方程和椭圆C C2 2的方程。的方程。()()xy2220213xyab2222122得得 ()()()()xxxxyyyy1212121220将将、代入代入 yyxx 12121所以直线的方程为所以直线的方程为()yx 12xxyyxybbxybb1212221122222222421212解：由解：由e e得得a
8、a2 22b2b2 2，设椭圆方程为，设，设椭圆方程为，设A A（x x1 1，y y1 1），），B B（x x2 2，y y2 2），），则有：则有：xybb22221222直线与椭圆相交直线与椭圆相交0 0，得，得b b2 23 3()ABbxx2212182202244233由由b 28得得椭圆方程为椭圆方程为xy221168即：即：将代入椭圆方程得将代入椭圆方程得:yx 3xxb223121820yx 3 轨迹方程的求法轨迹方程的求法 解：设解：设Q Q点坐标为（点坐标为（1+cos1+cos，sinsin），），PP（x x，y y）的坐标为）的坐标为消去消去得得cossinxy1
9、22()xyx 221124例例5 5：设圆设圆C C：(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1，过原点，过原点O O作圆的任意弦，作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程。求所作弦的中点的轨迹方程。xyOCPQ若动点若动点P P（x x，y y）中坐标）中坐标x x、y y之间的关系难以找之间的关系难以找 出，可引进参数出，可引进参数t t，用，用t t分别表示分别表示x x、y y（即（即x=f(t)x=f(t)，y=g(t)y=g(t)），再由两式消去），再由两式消去t t，便得到所求曲线的普通方程。，便得到所求曲线的普通方程。六、交轨法六、交轨法是两条已知曲线是两条已知曲线f f
10、1 1(x(x，y)=0y)=0，f f2 2(x(x，y)=0y)=0联立，联立，解出两曲线交点，然后寻找交点横、纵坐标之间的关系式。解出两曲线交点，然后寻找交点横、纵坐标之间的关系式。分析：分析：M M是动直线是动直线PFPF1 1和和QFQF2 2的交点，用交轨法。的交点，用交轨法。联立，解得联立，解得,yxyxx0042将上面结果代入得将上面结果代入得 xy220013()yxx222214213点的轨迹方程为且轨迹是椭圆。点的轨迹方程为且轨迹是椭圆。xy221643解：设点解：设点P P的坐标（的坐标（x x0 0，y y0 0），则），则Q Q（x x0 0，-y-y0 0），），
11、直线直线PFPF1 1的方程：的方程：-直线直线QFQF2 2的方程：的方程：-()yyxx0022()yyxx0022例例6 6：如图，：如图，F F1 1，F F2 2是双曲线，的两个焦点，垂直于是双曲线，的两个焦点，垂直于x x轴的直线交双轴的直线交双曲线于曲线于P P、Q Q两点，求直线两点，求直线PFPF1 1和和QFQF2 2的交点的交点M M的轨迹方程，并说明这是什么曲的轨迹方程，并说明这是什么曲线。线。xy2213yOxMPF1F2Q解法二解法二（直接法）：设（直接法）：设OQOQ为过为过O O的一条弦，的一条弦，P P（x x，y y）为中点，）为中点，则则CPOQCPOQ，
12、设，设OCOC中点为中点为 ，则，则得方程得方程(,)1M02MPOC1122()()xyx22110124()()xy 222121 即即:()xy221111又又()xyx 221124解法三解法三：代入法（转代法）设：代入法（转代法）设Q Q（x x1 1,y,y1 1),),则则xxyy1122xxyy1122例例5 5还可以用什么方法求解？还可以用什么方法求解？4.4.思考：思考：例例5 5：设圆设圆C C：(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1，过原点，过原点O O作圆的作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程。任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程。OxyCPQM 轨迹方程的求
13、法轨迹方程的求法 解法五解法五：（交轨法）设直线：（交轨法）设直线OQOQ的方程为的方程为 CPOQCPOQ，直线直线PCPC的方程为的方程为 ykx得得()yx x 21()xyx 221124即即()yxk 11解法四解法四：（定义法）（定义法）OPC=90OPC=90，动点动点P P在以在以M M（，（，0 0）为）为圆心，圆心，OCOC为直径的圆上，其圆心（，为直径的圆上，其圆心（，0 0），半径为），半径为212121所求动点所求动点P P的轨迹方程为的轨迹方程为 ()xyx 2211242 2.ABCABC的三边的三边a a、b b、c c依次成等差数列，且依次成等差数列，且a a
14、b bc c，A A（-1-1，0 0），），C C（1 1，0 0），则顶点），则顶点B B的轨迹为的轨迹为_。1 1、在、在ABCABC中，已知中，已知A A（-4-4，0 0）、）、B B（4 4，0 0）,且且sinA-sinB=sinCsinA-sinB=sinC，则点则点C C的轨迹方程是（的轨迹方程是（）xy22141 2A A()xyx2210412B Bxy221124C C D.D.以上都不是以上都不是以、为焦点，长轴长为的椭圆以、为焦点，长轴长为的椭圆提示提示：由正弦定理得：由正弦定理得 ，即，即 故点故点C C的轨迹是以的轨迹是以A A、B B为焦点，实轴长为为焦点，实
15、轴长为4 4的双曲线。的双曲线。BCACAB142abc12提示提示：由：由 得得BCBAAC24bac2 轨迹方程的求法轨迹方程的求法 3.3.已知定点已知定点A A（1 1，0 0），动点），动点B B在圆在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上，连接上，连接ABAB，并延，并延长到长到C C，使，使|AC|AC|:|AB|AB|2 2，则，则C C点的轨迹是（点的轨迹是（）A.A.圆圆 B.B.椭圆椭圆 C.C.曲线曲线 D.D.抛物线抛物线A A提示提示：设：设 ,xyxy00122即即有有xy22004又又()()xy221122)xy2214:(即即故选故选 C(,),B(,),x
16、 yxy00 轨迹方程的求法轨迹方程的求法 、求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、代入、求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、代入、简化、检验。检验就是要检验点轨迹的纯粹性和完备性。简化、检验。检验就是要检验点轨迹的纯粹性和完备性。、如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知、如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法。识推出等量关系，求方程时可用直接法。、如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线、如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线的定义写出方程，这种方法称为定义法。的定义写出方程，这
17、种方法称为定义法。、如果轨迹动点（、如果轨迹动点（x、y）依赖于另一动点（）依赖于另一动点（a、b），而），而又在又在某已知曲线上，则可先列出关于某已知曲线上，则可先列出关于x、y、a、b的方程组，利用的方程组，利用x x、y y表示表示出出a、b，把，把a、b代入已知曲线方程便得动点的轨迹方程，此法称为代入已知曲线方程便得动点的轨迹方程，此法称为代入法。代入法。、如果轨迹动点（、如果轨迹动点（x x、y y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将关点可用时，可先考虑将x x、y y用一个或几个参数来表示，消去参数得用一个或几个参数来表示，
18、消去参数得轨迹方程，此法称为参数法。参数法中常选变角、变斜率等为参数。轨迹方程，此法称为参数法。参数法中常选变角、变斜率等为参数。小结小结谢谢指导谢谢指导 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它
19、裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约
20、翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找
21、全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是
22、时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论
23、是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
24、阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，
25、主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
