1、2.2.4 平稳随机过程的相关性分析实平稳过程自相关函数的性质：()XRE X t X t ()XXXCEX tmX tm XXRR XXCC 1.00XR 0XXRR 2.2022-8-1723.周期过程 X tX tT ，则 XXRRT 非周期过程 4.X t 2limXXRm ()XR:整个相关成分:总功率()XC:交流相关成分2(0)XXC:交流功率2Xm:直流功率)()0(2XXXRR)0()(2XRtXE2022-8-1732022-8-17429()161 3XR例:xm2X求和22(0)9XXRm解:416)(2XXXmRm2022-8-175例:()5sin(5)XR是否可能
2、为相关函数?()cos(6)YRe(1)(1)(2)2022-8-176222()()()XXXXXXCRmr自相关系数也有类似性质:XX 01XX 1.2.2022-8-177 定义自相关时间定义自相关时间 ：1.00.05X 0 2.00Xd (等效矩形)相关系数函数下降越快，相关系数函数下降越快，0 越小，随机过程的起伏越快越小，随机过程的起伏越快 2022-8-1782()()(),11()2sin(2)()aXYX tY tCeaCaa例：设平稳过程和其自协方差函数为（）其中 为正数，求它们的相关系数和相关时间，并判断过程起伏的快慢。2022-8-1792200000000()()(
3、0)1()2()sin()(0)sin()2XYYXaXXXaXYYYYCreCrdedaCarCaarddaa解：过程比过程起伏快2022-8-1710联合平稳过程的互相关函数的性质联合平稳过程的互相关函数的性质 XYYXRR 1.XYYXCC 注意不是偶函数注意不是偶函数 200XYXYRRR 2.（小于几何平均）（小于几何平均）1002XYXYRRR 3.3.（小于算术平均（小于算术平均）2022-8-1711222()()()()E X t Y tE X tE Y t2()()(0)(0)2()0YXXYEY tX tRRR2:证明3:3:证明证明2022-8-1712 0cosX t
4、At 例例1:1:0,2U 噪声 Y t为零均值为零均值 2expYRBa X t与与 Y t不相关不相关 Z tX tY t 求求:12,ZRt t的2022-8-1713()()Y tbX tc例2:,b c为常数为常数,()X t证明证明 联合平稳性联合平稳性.()X t()Y t和和平稳平稳2022-8-1714(),()()()cos()()sin(),()0()()()()()()ABABX t Y tX tAttY tBttAt BtmmRRRZ tX tY t例：若 随 机 过 程都 是 非 平 稳 随 机 过 程。相 互 独 立，且 各 自 平 稳求 证的 广 义 平 稳 性
5、。2022-8-17152.3 2.3 平稳随机过程的功率谱平稳随机过程的功率谱从这里开始都讲平稳过程。且进从这里开始都讲平稳过程。且进行频域分析行频域分析.采用变换的方法使其信息在频域采用变换的方法使其信息在频域显露出来。显露出来。2022-8-1716本小节要解决的问题本小节要解决的问题 v随机信号是否也可以应用频域分析方法随机信号是否也可以应用频域分析方法?v傅里叶变换能否应用于随机信号？傅里叶变换能否应用于随机信号？v相关函数与功率谱的关系相关函数与功率谱的关系 v功率谱的应用功率谱的应用 v白噪声的定义白噪声的定义 2022-8-17172.1 随机过程的谱分析随机过程的谱分析 一一
6、 预备知识预备知识1 付氏变换付氏变换设设x(t)是时间是时间t的非周期实函数，且的非周期实函数，且x(t)满足满足 在在 范围内满足狄利赫利条件范围内满足狄利赫利条件)(tx),(绝对可积，即绝对可积，即)(txdttx)(信号的总能量有限，即信号的总能量有限，即)(txdttx2)(有限个极值有限个极值有限个断点有限个断点断点为有限断点为有限值值2022-8-1718则则 的傅里叶变换为：的傅里叶变换为：)(txdtetxXtjX)()(其反变换为：其反变换为：deXtxtjX)(21)(称称 为为 的频谱密度，也简称为频谱。的频谱密度，也简称为频谱。)(tx)(XX包含：振幅谱包含：振幅
7、谱 相位相位谱谱2022-8-17192 帕塞瓦等式帕塞瓦等式dtdeXtxdttxtjX)(21)()(2dtdetxXtjX)()(21dXXXX)()(21*dXX2)(21221()()(2Xx tdtXdE总能量）即即能量谱密能量谱密度度功率功率2022-8-1720二二 随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度 随机过程频谱分析的特殊性1.随机过程为非能量有限信号，不满足狄氏条件，不能直接对随机信号的表达式求傅里叶变换；2.随机信号频域特性也要求统计平均。办法：借用傅里叶变换理论，按随机信号性 质进行修正，使之符合随机信号的特性2022-8-1721二二 随机过程的功率谱密度随机过
8、程的功率谱密度 应用截取函数应用截取函数 TtTttxtxT0)()(1.对随机信号的任一个样本取截断函数对随机信号的任一个样本取截断函数 （特点：确定性，可进行傅里叶变换）（特点：确定性，可进行傅里叶变换）2022-8-1722当当 为有限值时，为有限值时，的傅里叶变换存在的傅里叶变换存在 )(txT(,)()j tTTXTx t edtTTtjdtetx)(应用帕塞瓦等式应用帕塞瓦等式 221()(,)2TTTx t dtXTd2211()(,)24TTTx t dtXTdTT2211()(,)24TTTEx t dtEXTdTT除以除以2T取集合平均取集合平均)(txT有限时间的有限时间
9、的平均功率平均功率有限时间有限时间总功率总功率统计统计平均平均功率功率2022-8-1723令令 取极限，交换求数学期望和积分的次序取极限，交换求数学期望和积分的次序 T22(,)11lim()lim222TTTTTE XTE Xt dtdTT功率功率Q)(XS非负非负存在存在 dSdttXETQXTTT )(21)(21lim2（1）Q为确定性值，不是随机变为确定性值，不是随机变量量)(XS（2）为确定性实函数。为确定性实函数。注意：注意：2(,)()lim2TXTE XTST功率谱密功率谱密度度哟！哟！整个样本平均整个样本平均功率的功率的密度密度2022-8-1724两个结论：两个结论：)
10、(2tXEAQ1 .21lim.TAT表示时间平均表示时间平均 若若平稳平稳)0()()(22XRtXEtXEAQ dSQX)(212总功率总功率一般情况一般情况非平稳非平稳2022-8-1725功率谱密度：功率谱密度：描述了随机过程描述了随机过程X(t)X(t)的的 功率在各个不同频率上的分布功率在各个不同频率上的分布 称为随机过程称为随机过程X(t)X(t)的功率谱密度。的功率谱密度。)(XS)(XS对对 在在X(t)X(t)的整个频率范围内积分，的整个频率范围内积分，便可得到便可得到X(t)X(t)的功率。的功率。)(XS对于平稳随机过程，有：对于平稳随机过程，有：dStXEX)(21)
11、(2功率谱功率谱 的物理意义的物理意义()XS2022-8-1726例：设随机过程例：设随机过程 ，其中，其中 皆是实常数，皆是实常数，是服从是服从 上均匀分布的随上均匀分布的随机变量，求随机过程机变量，求随机过程 的平均功率。的平均功率。)cos()(0tatX0和a），（20)(tX)(cos)(0222taEtXE)22cos(1 202taEdtaa)22cos(2220202220022)22sin(22taa解：解：taa0222sin2不是宽平稳的不是宽平稳的)(tX2022-8-1727)(2tXEAQ2)2sin2(212022limadttaaTTTT2022-8-1728
12、三三 功率谱密度与自相关函数之间的关系功率谱密度与自相关函数之间的关系 确定信号：确定信号：)()(jXtx1 1 维纳维纳辛钦定理辛钦定理 若随机过程若随机过程X(t)X(t)是平稳的，自相关函数绝是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：付氏变换，即：平稳随机过程：自相关函数平稳随机过程：自相关函数 功率谱密度功率谱密度 傅立叶变换对傅立叶变换对2022-8-1729deRSjXX)()(deSRjXX)(21)(2.证明：证明：TTXESXTX2),(lim)(2 ),(),(21lim*TXTXETXXT TT2
13、1lim)()(221121TTtjTTtjdtetXdtetXE TTTTttjTdtdtetXtXET21)(2112)()(21lim TTTTttjXTdtdtettRT21)(1212)(21lim2022-8-1730设设12tt 12ttu 则则22ut 21 ut所以：所以：2121212121),(),(21 uttJ t1t2-TT2T2Tu-2T Tu2Tu2 Tu2Tu22022-8-1731则则dueRdTSjXTTTTX )(2121lim)(2022 )(210222dueRdjXTTT )(2121lim2222dueRdTjXTTTTTdeRTTjXTTT)(
14、)2(21lim22deRTjXTTT)()21(lim22deRjX)(deRTjXTTT)(2lim22T02T 0)(XR(注意注意 ，且且 ，。因此，通常情。因此，通常情况下，第二项为况下，第二项为0)0)deRjX)(2022-8-1732推论：对于一般的随机过程推论：对于一般的随机过程X(t)，有：，有：dettRASjXX),()(deSttRAjXX)(21),(平均功率为：平均功率为：211lim()()22TXTTPE Xt dtSdT 利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳数的性质，又可将维纳辛钦定理表示成：辛钦定理表示成
15、：dRSXXcos)(2)(dSRXXcos)(1)(2022-8-17333单边功率谱单边功率谱 由于实平稳过程由于实平稳过程x(t)的自相关函数的自相关函数 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函数。有时我们经常利用只有正频率部分的数。有时我们经常利用只有正频率部分的单边功率谱。单边功率谱。)(XR000)(2)(XXSG2022-8-1734例：平稳随机过程的自相关函数为例：平稳随机过程的自相关函数为 ，A0，求过程的功率谱密度。，求过程的功率谱密度。AeRX)(0 解：应将积分按解：应将积分按 和和 分成两部分进行分成两部分进行 deAedeAeSjj
16、X00)(0)(0)()(jeAjeAjjjjA11222A2022-8-1735例：设例：设 为随机相位随机过程为随机相位随机过程其中，其中，为实常数为实常数 为随机相位，在为随机相位，在 均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳均匀分布。可以推导出这个过程为广义平稳随机过程，自相关函数为随机过程，自相关函数为 求求 的功率谱密度的功率谱密度 )(tX)cos()(0tAtX0,A)2,0()cos(2)(02ARX)(XS)(tX2022-8-1736解：注意此时解：注意此时 不是有限值，即不不是有限值，即不可积，因此可积，因此 的付氏变换不存在，需要的付氏变换不存在，需要引入引入 函数。函
17、数。dRX )()(XR deAdeRSiiXX)cos(2)()(02deeeAjjj22002)2)(cos(000jjeedeeeAjjj）（0042)()(2002A)(2(00je2022-8-1737例：设随机过程例：设随机过程 其中其中 皆为皆为常数，常数，为具有功率谱密度为具有功率谱密度 的平稳随机的平稳随机过程。求过程过程。求过程 的功率谱密度。的功率谱密度。ttaXtY0sin)()(0,a)(tX)(XS)(tY解：解：)()(),(tYtYEttRY)(sin)(sin)(00ttaXttaXE2000()coscos(2)2XaRt dettRASjYY),()(de
18、RajX02cos)(2)()(4002XXSSa2022-8-1738四四 平稳随机过程功率谱密度的性质平稳随机过程功率谱密度的性质 一一 功率谱密度的性质功率谱密度的性质 1 功率谱密度为非负的功率谱密度为非负的,即即 0)(XS证明：证明：TTXESXTX2),(lim)(20),(2TXX0)(XS2 功率谱密度是功率谱密度是 的实函数的实函数 2022-8-17393 对于实随机过程来说，功率谱密度是对于实随机过程来说，功率谱密度是 的偶函数，的偶函数，即即)()(XXSS证明：证明：)(txT是实函数是实函数*(,)()j tTTXTx t edtdtetxtjT)(dtetxtj
19、T)()(,)TXT2*(,)(,)(,)TTTXTXTXT(,)(,)TTXTXT*(,)(,)TTXTXT2(,)TXT2(,)()lim2TXTE XTST)()(XXSS又又2022-8-17404 功率谱密度可积，即功率谱密度可积，即 dSX)(证明：对于平稳随机过程，有：证明：对于平稳随机过程，有：dStXEX)(21)(2平稳随机过程的均方值有限平稳随机过程的均方值有限dSX)(2022-8-1741二二 谱分解定理谱分解定理 1 谱分解谱分解 在平稳随机过程中有一大类过程，它们在平稳随机过程中有一大类过程，它们的功率谱密度为的功率谱密度为 的有理函数。在实际中，的有理函数。在实
20、际中，许多随机过程的功率谱密度都满足这一条许多随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使不满足，也常常可以用有理函数件。即使不满足，也常常可以用有理函数来逼近来逼近 。这时。这时 可以表示为两个可以表示为两个多项式之比，即多项式之比，即 )(XS)(XS2022-8-1742 （1）为实数。为实数。(2)分母不能进行因式分解，分母不能有实根。分母不能进行因式分解，分母不能有实根。0S（3）MN。02222222022222220)()(dddcccSSNNNMMMX2022-8-17432.2 联合平稳随机过程的互谱密度联合平稳随机过程的互谱密度一、互谱密度一、互谱密度 考虑两个平稳实随机过程考
21、虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t)，它们它们的样本函数分别为的样本函数分别为 和和 ，定义两个截取，定义两个截取函数函数 、为：为：)(tx)(ty txT tyTTtTttxtxT0)()(TtTttytyT0)()(2022-8-1744 因为因为 、都满足绝对可积的条件，都满足绝对可积的条件，所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围所以它们的傅里叶变换存在。在时间范围 (-T，T)内，两个随机过程的互功率内，两个随机过程的互功率 为为:（注意（注意 、为确定性函数，所以求平均为确定性函数，所以求平均功率只需取时间平均）功率只需取时间平均）txT tyT)(TQXY txT tyTTTTT
22、XYdttytxTTQ)()(21)(TTdttytxT)()(21 由于由于 、的傅里叶变换存在，故帕的傅里叶变换存在，故帕塞瓦定理对它们也适用，即塞瓦定理对它们也适用，即:txT tyT2022-8-1745dttytxTT)()(*1(,)(,)2TTXTYTddttytxTT)()(TTXYdttytxTTQ)()(21)(*(,)(,)122TTXTYTdT 注意到上式中，注意到上式中，和和 是任一样本函数，因是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令此具有随机性，取数学期望，并令 得：得：)(tx)(ty T2022-8-1746)()(21lim)(limdttytxTEQ
23、TQETTTXYXYT ),(21limdtttRTTTXYT*(,)(,)1lim22TTTE XTY TdT 定义互功率谱密度为：定义互功率谱密度为：*1()lim(,)(,)2XYTTTSE XTY TTdSQXYXY)(21则则2022-8-1747同理，有：同理，有：*TT1()lim(,)(,)2YXTSE YTXTTdSQYXYX)(21YXXYQQ且且2022-8-1748二、互谱密度和互相关函数的关系二、互谱密度和互相关函数的关系自相关函数自相关函数 功率谱密度功率谱密度 F互相关函数互相关函数 互谱密度互谱密度 F 定义：对于两个实随机过程定义：对于两个实随机过程X(t)、
24、Y(t)，其互谱密度其互谱密度 与互相关函数与互相关函数 之间之间的关系为的关系为)(XYS),(ttRXYdettRASjXYXY),()()(),(XYXYSttRA即即2022-8-1749若若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有各自平稳且联合平稳，则有)()(XYXYSRdeRSjXYXY)()(deSRjXYXY)(21)(即即结论：对于两个联合平稳结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平至少是广义联合平稳稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。关函数互为傅里叶变换。2022-8-1750三、互谱密度的性质三、互谱密度的
25、性质性质性质1 1：)()()(*YXYXXYSSS 证明：证明：deRSjXYXY)()(deRjYX)(（令（令 ）deRjYX)()(*YXSdeRjYX)()()(YXS2022-8-1751性质性质2：)(Re)(ReXYXYSS)(Re)(ReYXYXSS证明：证明：deRSjXYXY)()(djRXY)sin()cos(dRSXYXYcos)()(RedRXYcos)()(ReXYS（令（令 ）同理可证同理可证)(Re)(ReYXYXSS2022-8-1752性质性质3：)(Im)(ImXYXYSS)(Im)(ImYXYXSS证明：类似性质证明：类似性质2证明。证明。性质性质4：
26、若若X(t)与与Y(t)正交，则有正交，则有 0)(YXS0)(XYS证明：若证明：若X(t)与与Y(t)正交，则正交，则 0),(),(2121ttRttRYXXY所以所以0)()(YXXYSS2022-8-1753性质性质5 5：若若X(t)与与Y(t)不相关，不相关，X(t)、Y(t)分分别具有常数均值别具有常数均值 和和 ，则，则 XmYm)(2)()(YXYXXYmmSS证明：证明：因为因为X(t)与与Y(t)不相关，所以不相关，所以YXmmtYtXE)()(21 deRSjXYXY )()(demmjYX)(2YXmm)(21（）2022-8-1754性质性质6：)(),(XYXY
27、SttRA)(),(YXYXSttRA例：设两个随机过程例：设两个随机过程X(t)和和Y(t)联合平稳，联合平稳，其互相关函数其互相关函数 为为:)(XYR0009)(3eRXY求互谱密度求互谱密度 ，。)(XYS)(YXS2022-8-1755解：解：deRSjXYXY)()(deej39(3)09jed j39jSSXYYX39)()(*2022-8-17562.4 高斯过程和白噪声22()21(,)2x mXfx te2.4.1 高斯过程（正态过程）定义：若随机过程X(t)的任意n维（n=1,2,）概率分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。一维高斯：一维高斯：f(x)12Oa
28、x2022-8-175722112222()2()()()()21()12221(,;)21()xmrxmxmxmrXfx x tter 二维高斯分布二维高斯分布例：例：P90 2.102022-8-1758N维高斯分布11()()211221 11 212 12 2121()(2).TymCymYnnnnnnn nfyeCYmYmYmYmCCCCCCCCC2022-8-1759高斯分布随机信号性质 广义平稳和严格平稳等价；广义平稳和严格平稳等价；不相关和独立等价；不相关和独立等价；高斯过程通过线性变换后仍然是高斯分布；高斯过程通过线性变换后仍然是高斯分布；相互独立的高斯随机过程（变量）之和仍
29、为相互独立的高斯随机过程（变量）之和仍为高斯分布。高斯分布。2022-8-17602.4 2.4 白噪声白噪声一、理想白噪声一、理想白噪声定义：若定义：若N(t)N(t)为一个具有零均值的平稳随机为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀分布在过程，其功率谱密度均匀分布在 的整个频率区间，即的整个频率区间，即),(021)(NSN其中其中 为一正实常数，则称为一正实常数，则称N(t)N(t)为白噪声为白噪声过程或简称为白噪声。过程或简称为白噪声。0N高斯白噪声高斯白噪声:白噪声白噪声+高斯。高斯。2022-8-1761自相关函数为自相关函数为 deSRjNN)(21)(deNj40)(2
30、10N0001)0()()(NNNRRr自相关系数为自相关系数为 2022-8-1762总结：总结：（1 1）白噪声只是一种理想化的模型，是不存在的。）白噪声只是一种理想化的模型，是不存在的。（2 2）白噪声的均方值为无限大）白噪声的均方值为无限大 )0(2)0()(02 NRtXEN而物理上存在的随机过程，其均方值总是有而物理上存在的随机过程，其均方值总是有限的。限的。（3 3）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。）白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。2022-8-1763二、限带白噪声二、限带白噪声1 1低通型低通型定义：若过程的功率谱密度满足定义：若过程的功率谱密度满足 WWSS
31、X0)(0则称此过程为低通型限带白噪声。将白噪则称此过程为低通型限带白噪声。将白噪声通过一个理想低通滤波器，便可产生出声通过一个理想低通滤波器，便可产生出低通型限带白噪声。低通型限带白噪声。2022-8-1764低通型限带白噪声的自相关函数为低通型限带白噪声的自相关函数为deSRjXX)(21)(WWjdeS021WWWS sin02022-8-1765图图3.11示出了低通型限带白噪声的示出了低通型限带白噪声的 和和 的图形，注意，时间间隔的图形，注意，时间间隔 为整为整数倍的那些随机变量，彼此是不相关的数倍的那些随机变量，彼此是不相关的（均值为（均值为0，相关函数值为，相关函数值为0）。）
32、。)(XS)(XRW 2022-8-17662.2.带通型带通型带通型限带白噪声的功率谱密度为带通型限带白噪声的功率谱密度为 其它022)(000WWSSX 由维纳由维纳辛钦定理，得到相应的自相辛钦定理，得到相应的自相关函数为关函数为 00cos)2/()2/sin()(WWWSRX2022-8-1767 带通型限带带通型限带白噪声的白噪声的 和和 的图形的图形)(XS)(XR2022-8-1768三、色噪声三、色噪声 按功率谱度函数形式来区别随机过程，按功率谱度函数形式来区别随机过程，我们将把除了白噪声以外的所有噪声都称我们将把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声或简称色噪声。为有色噪声或简称色噪声。2022-8-1769小小 结结 1.随机过程的时间无限性，导致能量无限，随机过程的时间无限性，导致能量无限，因而随机过程的付氏变换不存在，但其功因而随机过程的付氏变换不存在，但其功率存在。所以，不能对随机过程直接求付率存在。所以，不能对随机过程直接求付氏变换，即：氏变换，即：)()(jXtX 但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即换，即)(),(XXSttRA 若随机过程若随机过程X(t)平稳，则平稳，则)()(XXSR
