1、主讲：钱长照主讲：钱长照一、力矩分配法的基本思路一、力矩分配法的基本思路 力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架。力力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架。力矩分配法与位移法的基本理论是一致的，即认为结构最后矩分配法与位移法的基本理论是一致的，即认为结构最后的内力状态是由荷载单独作用（此时不考虑结点位移，即的内力状态是由荷载单独作用（此时不考虑结点位移，即把结点位移约束住）和结点位移单独作用下把结点位移约束住）和结点位移单独作用下 （放松约束，（放松约束，使结构产生变形）产生的内力相叠加的结果。使结构产生变形）产生的内力相叠加的结果。但二者的不同之处在于但二者的不同之处在于用位移法计算
2、时，我们把用位移法计算时，我们把结构的最后变形看作是由初始状态一次性完成的；力矩分结构的最后变形看作是由初始状态一次性完成的；力矩分配法则是每次只完成一部分变形，经过几次循环之后才逐配法则是每次只完成一部分变形，经过几次循环之后才逐渐达到最后的变形值，因而结构在总变形下产生的总内力渐达到最后的变形值，因而结构在总变形下产生的总内力也应当是由这几次变形各自产生的内力相叠加。也应当是由这几次变形各自产生的内力相叠加。力矩分配法小结力矩分配法小结例：例：图示结构中各杆图示结构中各杆EI 相同，求分配系数相同，求分配系数BA 。BCAD3m4m4m解：解：43EISBD54EISBA0BCS3116B
3、A注意：本题需正确求解注意：本题需正确求解SBC 。，所以所以A(a)FBCFal/2ll/2FaMB(b)1M2M=FaF8FM （2）结点有外力偶的结构。）结点有外力偶的结构。当结点上有外力偶时，当结点上有外力偶时，为正确计算该处不平衡力矩，宜取该结点为隔离体，画出集为正确计算该处不平衡力矩，宜取该结点为隔离体，画出集中力偶和固端弯矩的实际方向，则由结点的力矩平衡方程求中力偶和固端弯矩的实际方向，则由结点的力矩平衡方程求出不平衡力矩，出不平衡力矩，不平衡不平衡弯矩以逆时针旋转为正。弯矩以逆时针旋转为正。1.1.几种情形下约束力矩的计算几种情形下约束力矩的计算 （1）带悬臂的结构。）带悬臂的
4、结构。求图求图a 所示连续梁结点所示连续梁结点B 的不的不平衡力矩，可将悬臂端的平衡力矩，可将悬臂端的F 等效平移到支座等效平移到支座C上（图上（图b），），杆杆BC 的的C 端弯矩为端弯矩为M，B 端的传递弯矩为端的传递弯矩为M/2，得，得B 端的端的约束力矩约束力矩MB=Fl/8+M/2。例：例：求图求图a所示所示连续梁结点连续梁结点B的不平衡力矩的不平衡力矩。163122FlqlMMB解解：由图：由图b b可得结点可得结点B的的不平衡力矩不平衡力矩为为ll/2l/2(a)qACBMF12ql2MBM316 FlMB(b)Fl1632ql12（3）支座沉降）支座沉降 例：例：求图求图a所示
5、所示连续梁有支座沉降时，结点连续梁有支座沉降时，结点C 的约束的约束力矩。力矩。=13DCEIl3l22BEI(a)A36CMEI33l22l22(b)EI23322236lEIlEIMC解：解：(1)思路一致。思路一致。力矩分配法和位移法的思路是一致的，力矩分配法和位移法的思路是一致的，即都是先固定结点，只考虑除变形外的其他因素，然后再即都是先固定结点，只考虑除变形外的其他因素，然后再令结构发生变形，使结构达到最后的变形状态。令结构发生变形，使结构达到最后的变形状态。(2)实现最后的内力和变形状态的方法不同。实现最后的内力和变形状态的方法不同。位移法的位移法的最后变形状态是一次性完成的，内力
6、是由广义荷载和变形最后变形状态是一次性完成的，内力是由广义荷载和变形各自作用的结果相叠加来实现的；力矩分配法则是经循环各自作用的结果相叠加来实现的；力矩分配法则是经循环运算、逐步修正，将各结点反复轮流地固定、放松，才使运算、逐步修正，将各结点反复轮流地固定、放松，才使各结点的不平衡力矩逐渐趋近于零，杆端力矩也就逐步修各结点的不平衡力矩逐渐趋近于零，杆端力矩也就逐步修正到精确值。正到精确值。二、力矩分配法与位移法的比较二、力矩分配法与位移法的比较例：例：已知各杆已知各杆EI=常数，作图常数，作图a 所示结构的所示结构的M图图。EFDABC(a)3m6m3m3m10kN/m5kN3m(b)1266
7、243015M 图(kN.m)解解:ABCD为静定部分，先求出该部分为静定部分，先求出该部分M 图，再把图，再把MAB反作用于基本部分反作用于基本部分EABF，用位移法或力矩分配法求，用位移法或力矩分配法求解，答案见图解，答案见图b。例：例：写出图写出图a 所示结构的解题方法（用计算简图表示，所示结构的解题方法（用计算简图表示，并作简要说明）。并作简要说明）。(a)FHGEIDCBAqllllll 解：解：易知，易知，CIE为静定的附属部分，取为静定的附属部分，取CIE为隔离为隔离体，即可求出体，即可求出E、C的支座反力。再将支座反力分别反的支座反力。再将支座反力分别反作用于两个基本部分（如图
8、作用于两个基本部分（如图b、c）。）。2ql/CqlDBAl(b)2(c)ql/ql2ql/CqlDBAl(b)2(c)ql/ql 由于图由于图b、c中竖向反力中竖向反力ql不产生弯矩，故可不考虑。不产生弯矩，故可不考虑。再分别将再分别将图图b、c取半结构，如图取半结构，如图d、e所示，二者均极易求所示，二者均极易求解（图解（图d用力法，只有一个未知量，而图用力法，只有一个未知量，而图e为静定结构）。为静定结构）。ql/(d)(e)44ql/ql/(d)(e)44ql/例：例：用力矩分配法计算图用力矩分配法计算图a所示刚架，作所示刚架，作M图。图。EI=常数。常数。EABCDM36.51137
9、.54058.522404m4m10kN4m12kN/m(a)12kN/m10kN40kN.m图(kN.m)(b)(c)解：解：先直接画出先直接画出CD部分的弯矩图，再将图部分的弯矩图，再将图a化成图化成图b，用力矩分配法极易求出用力矩分配法极易求出M 图（图图（图c）。）。三、思考题三、思考题提示提示:单结点结构的力矩分配法计算结果是精确的。单结点结构的力矩分配法计算结果是精确的。力矩分配法是以位移法为基础的渐近法，力矩分配法是以位移法为基础的渐近法，这种计这种计算算 方法是否只能获得近似解？方法是否只能获得近似解？9.4 无剪力分配法无剪力分配法一、两个概念一、两个概念1 1、有侧移杆与无
10、侧移杆、有侧移杆与无侧移杆杆件杆件两端没有垂直于杆轴的相对线位移两端没有垂直于杆轴的相对线位移，称无侧移杆，称无侧移杆杆件两端在垂直杆轴的方向上有相对线位移，称有侧移杆杆件两端在垂直杆轴的方向上有相对线位移，称有侧移杆2 2、剪力静定杆、剪力静定杆杆件内的各截面剪力可以杆件内的各截面剪力可以由静力平衡条件唯一确定由静力平衡条件唯一确定的杆的杆称为剪力静定杆称为剪力静定杆BACA图（图（A）1 1、刚架特点：竖杆为剪力静定杆，节点、刚架特点：竖杆为剪力静定杆，节点A A水平移动时，竖杆除水平移动时，竖杆除受本身的弹性约束外无其他杆件或支座的约束。受本身的弹性约束外无其他杆件或支座的约束。位移法解
11、题：位移法解题：一般一般A A处加刚臂，处加刚臂，C C点加支杆，基本结构如右下图点加支杆，基本结构如右下图力矩分配法：力矩分配法：通常只适用于计算仅以通常只适用于计算仅以节点角位移节点角位移为基本未知量为基本未知量 的结构。是位移法解决的结构。是位移法解决基本未知量中基本未知量中无节点线位无节点线位 移的结构移的结构其内力的一种近似方法其内力的一种近似方法二、无剪力分配法二、无剪力分配法CBA图（图（B）如果如果某结构为有节点线位移的结构，但某结构为有节点线位移的结构，但独立的节点线位移可以不作为位移法基独立的节点线位移可以不作为位移法基本未知量，而只以角位移为基本未知量，本未知量，而只以角
12、位移为基本未知量，因而也可以用力矩分配法计算因而也可以用力矩分配法计算。图示刚架，若只取节点图示刚架，若只取节点A A的转角为基本未知量的转角为基本未知量，也就是只在节点，也就是只在节点A A施加刚臂控制节点转动、不加水平链杆控制节点水平位移，施加刚臂控制节点转动、不加水平链杆控制节点水平位移，则则竖杆竖杆ABAB成为上端定向支承、下端固端支承的单跨梁；成为上端定向支承、下端固端支承的单跨梁；梁梁BCBC仍可仍可看作左端固定、右端铰支的单跨梁（看作左端固定、右端铰支的单跨梁（因因A A、C C两点同时等量左右两点同时等量左右移动时不引起内力，移动时不引起内力，无侧移杆无侧移杆）。此时图）。此时
13、图D D仍是各基本单跨梁的仍是各基本单跨梁的组合体，可用组合体，可用位移法（留为作业），位移法（留为作业），因此也可直接用因此也可直接用力矩分配力矩分配法法。BCAA图（图（D）BACA图（图（C）BACBACAABMAB-MABAQ=0SAB=iAB CAB=-1加刚臂阻止转动加刚臂阻止转动AASAB=iAB SAC=3iAC放松节点使产生真实转角放松节点使产生真实转角(节点节点A处产生处产生不平衡力矩不平衡力矩)(A处不平衡力矩处不平衡力矩反号后待分配反号后待分配)A右右2图图A处实际转角时，处实际转角时，水平杆在水平杆在A端有转动端有转动刚度，刚度，AB杆受弯杆受弯（参与（参与A节点不平
14、衡节点不平衡力矩的分配）力矩的分配）右右1图因节点图因节点A,C 同时同时水平移动，水平移动，AC 杆作杆作刚体平刚体平 移不引起内力移不引起内力B由以上知：由以上知：1）此类结构中侧移杆皆为剪力静定杆的有侧移刚架可采用力矩）此类结构中侧移杆皆为剪力静定杆的有侧移刚架可采用力矩分配法（不这样称呼），此剪力静定杆在力矩分配和传递时剪分配法（不这样称呼），此剪力静定杆在力矩分配和传递时剪力为零，因此称为力为零，因此称为无剪力分配法无剪力分配法。2）求）求剪力静定杆剪力静定杆的固端弯矩时，对节点角位移处施加刚臂，按的固端弯矩时，对节点角位移处施加刚臂，按该端滑动、远端固定的杆该端滑动、远端固定的杆在
15、在杆端剪力和杆上荷载共同作用下杆端剪力和杆上荷载共同作用下通通过过查载常数表查载常数表确定固端弯矩确定固端弯矩（若某剪力静定杆上（若某剪力静定杆上无直接作用荷载无直接作用荷载则可则可先由平衡条件求出杆先由平衡条件求出杆端剪力端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动、远端固定该端滑动、远端固定杆杆件计算固端弯矩）件计算固端弯矩）3）剪力静定杆件剪力静定杆件的转动刚度的转动刚度 S=i；传递系数；传递系数 C=-1。4）AC杆的计算与以前一样。杆的计算与以前一样。三、应用条件三、应用条件结构中有线位移的杆件其剪力是静定的。结构中有线位移的杆件其剪力是静定的。即：刚架中
16、除了无侧移杆外，其余有侧移杆件全是剪力静定杆。即：刚架中除了无侧移杆外，其余有侧移杆件全是剪力静定杆。PPPPPPABCDPPPABCD柱剪力图柱剪力图P2P3P剪力分配法剪力分配法（按侧移刚度分配）（按侧移刚度分配）例题例题1、用无剪力分配法求图示刚架的弯矩图。用无剪力分配法求图示刚架的弯矩图。解：选取结点角位移为基本解：选取结点角位移为基本未知量，加刚臂成基本体系，未知量，加刚臂成基本体系，竖杆为剪力静定杆件，可用竖杆为剪力静定杆件，可用无剪力分配法。无剪力分配法。（1）求固端弯矩）求固端弯矩MF75345163.MFBC672641622.MFBAql33532.MFABql2m2m4m
17、5kNABC1kN/mi1=4i2=3BABC5KN（2）求杆端转动刚度）求杆端转动刚度S、分配系数、分配系数 和传递系数和传递系数C123312iSiSBCBA80123201233.12.BCBA1BAC0.20.8-2.67-3.75-5.331.285.14-1.28-1.391.39-6.61BAi2i2i21SBCSBA13i1CB1.395.706.61M M图图(kNm)1.39四、多四、多层单层单跨跨剪力静定剪力静定刚架刚架MAB1 1）AB、BC杆是剪力静定杆，由静力条件求出杆端剪力杆是剪力静定杆，由静力条件求出杆端剪力；2）将杆端剪力作为杆端荷载，按）将杆端剪力作为杆端荷
18、载，按该端滑动、另端固定该端滑动、另端固定求杆求杆 件固端弯件固端弯1、施加刚臂约束节点的转动，用于求固端弯矩。、施加刚臂约束节点的转动，用于求固端弯矩。P1P2ABCDEP1P2ABP1MBABCMBCMCBP1+P22、逐次释放节点转角，反号分配不平衡弯矩并传递、逐次释放节点转角，反号分配不平衡弯矩并传递 同前述单层刚架，在结点力矩作用下，剪力静定的杆件其剪同前述单层刚架，在结点力矩作用下，剪力静定的杆件其剪力均为零，也就是说力均为零，也就是说在放松结点时，弯矩的分配与传递均在在放松结点时，弯矩的分配与传递均在零剪力条件下进行零剪力条件下进行，这就是无剪力分配法名称的来源。，这就是无剪力分
19、配法名称的来源。BCDEASBA=iABSBE=3iBESBC=iBCQ=0Q=0iABABCBA=-1MBA=AQ=0ABECBC=-1AMBC=-MBCAQ=0iBCBAADAB8kN17kNi=27i=27i=3.5i=3.5i=5i=53.3m3.6mABC4kN8.5kN4kNi=3.5i=5i=54i=54-6.6-6.612.5kN-22.5-22.5ABC例题例题2、用无剪力分配法求图示刚架的弯矩图用无剪力分配法求图示刚架的弯矩图AB4kN8.5kNi=3.5i=5i=54i=54ABC由结点由结点B 开始开始4kN-6.6-6.612.5kN-22.5-22.5ABBCDE-
20、21.646-22.5-0.85-0.01-23.360000.02060.95010.0293BA BDBC-22.50.850.0040-6.60.6-0.150.003-6.15-6.6-0.60.15-7.057.057.050.0211 0.9789ABAE27.650.14327.7900001 1、适用范围（或条件）不同：、适用范围（或条件）不同：除无侧移杆外皆为剪力静定杆。除无侧移杆外皆为剪力静定杆。2 2、加刚臂后剪力静定杆的模型不同：、加刚臂后剪力静定杆的模型不同：剪力静定杆按该端定向、远端固端；无侧移杆不变。剪力静定杆按该端定向、远端固端；无侧移杆不变。3 3、固端弯矩求
21、法不同、固端弯矩求法不同（荷载不同：荷载不同：杆端剪力和杆上荷载杆端剪力和杆上荷载）可直接查载常数表求出可直接查载常数表求出（例题（例题1），），有时需先求杆端有时需先求杆端剪力并将其作为杆端荷载查载常数表（例题剪力并将其作为杆端荷载查载常数表（例题2 2）4 4、由于上述、由于上述2 2中模型变化，导致杆端转动刚度、分配系中模型变化，导致杆端转动刚度、分配系 数、数、传递系数相应改变。传递系数相应改变。5 5、相同之处：计算步骤、书写格式同力矩分配法、相同之处：计算步骤、书写格式同力矩分配法归纳：无剪力分配法与前述力矩分配法异同归纳：无剪力分配法与前述力矩分配法异同无剪力分配法的应用无剪力分
22、配法的应用符合倍数关系的多跨刚架符合倍数关系的多跨刚架在一定条件下多跨刚架可以分解成几个单跨对称刚架，多跨刚在一定条件下多跨刚架可以分解成几个单跨对称刚架，多跨刚架的变形（内力）状态可以分解成几个单跨对称刚架的变形架的变形（内力）状态可以分解成几个单跨对称刚架的变形（内力）状态。（内力）状态。先讨论刚架在什么条件下才可能合并成一个多先讨论刚架在什么条件下才可能合并成一个多跨刚架。跨刚架。一、倍数定理一、倍数定理独立倍数刚架独立倍数刚架ADB1E1i1i2i1P1B2E2ni1ni2ni1CFnP1hCBBA21CBBA21位移位移内力成内力成1:n 的关系的关系结论表明：两个刚架的线刚度与荷载
23、均成比例时，结论表明：两个刚架的线刚度与荷载均成比例时，内力也成比例而变形相等内力也成比例而变形相等。刚架刚架和刚架和刚架线刚度成线刚度成1:1:n刚架刚架和刚架和刚架 荷载成荷载成1:1:n刚架的串联刚架的串联ADB1E1i1i2i1P=（1+n）P1B2E2ni1ni2ni1CF刚架串联且荷载叠加后，两个刚架的内力和位移（变形）与原分开时相刚架串联且荷载叠加后，两个刚架的内力和位移（变形）与原分开时相同（刚度成比例时荷载也按比例分配）。同（刚度成比例时荷载也按比例分配）。独立倍数刚架独立倍数刚架ADB1E1i1i2i1P1B2E2ni1ni2ni1CFnP1内力成比例而变形（位移）相等内力
24、成比例而变形（位移）相等多跨刚架多跨刚架ADi1i2BE （n+1）i1ni2ni1CFP=（1+n）P1在刚架串联中两个中间柱子的变形相同，故可合二为一，其线刚度为两个相邻在刚架串联中两个中间柱子的变形相同，故可合二为一，其线刚度为两个相邻柱线刚度之和，内力等于两个柱之和。柱线刚度之和，内力等于两个柱之和。合成条件为：各单跨对称刚架的线刚度及结点水平荷载应符合倍数关系。合成条件为：各单跨对称刚架的线刚度及结点水平荷载应符合倍数关系。二、计算步骤二、计算步骤例例:10kNkN310kN3102kN35kN35kN310kN310(1)(1)分解分解(2)(2)基本单元计算基本单元计算2.043
25、33BA8.0BCmkNmBA5.233521mkNmAB5.20.2 0.8-2.5-2.50.5 2.0-0.5-2.0 2.0-3.0(3)(3)单元弯矩图单元弯矩图2232344646623224496（4 4）原刚架弯矩图）原刚架弯矩图3mM(kNm)10kN3m方法方法2.2.合成计算合成计算10kN18240.2 0.8-15-15312-3-1212-18121218M(kNm)符合倍数关系的多层符合倍数关系的多层多跨刚架在水平结点多跨刚架在水平结点荷载作用下的特性：荷载作用下的特性：P1P2ABCDEFP1P2332P12P233(1)(1)同层各结点转角相等：同层各结点转角相等：CBA(2)(2)由由(1)(1)，各横梁两端转，各横梁两端转角相等，反弯点在各角相等，反弯点在各跨中点，跨中截面无跨中点，跨中截面无挠度。挠度。(3)(3)由由(2)(2)，对原刚架的，对原刚架的计算可用半刚架或合计算可用半刚架或合成半刚架代替。成半刚架代替。练习:试用渐近法作出7-7、7-16弯矩图
