1、第第5 5章章 哈密顿力学哈密顿力学2221 ():2,()()1 ,BAxxABABvy xvgydxdyydsvdxdtdtdtTdt、最速落径问题铅直平面内在所有联结二个定点和的曲线中，找出一条曲线来，使得初速度为零的质点，在重力作用下，自点沿它无摩擦地下滑时，以最短时间到达点。解：这是泛函极值问题。速度与坐标的关系而质点自沿曲线自由滑下到点所需的时间为21(),()2BAxxydxT y xy xyg1显然这是一个泛函(即函数的函数)。oxyAB212211 ()():()()()0 ()()xxxxxxT y xT y xT y xf y,y,x dxT y xTffTf y,y,x
2、 dxf y,y,x dxyyy现在的任务是寻找一个函数,使泛函取极值，即从众多的函数中找出一条路径使时间最短.设泛函的普遍形式为 可以证明泛函取极值的条件是其变分为零,即（变分算符和微分算符的运算相似）21212211 0 0,xxxxxxxxABydxfdfdfyyy dxydxydxyfdffyydxydxyyyyydffdxy这属动边是变且任条意的(于于不不界界分分件件)0 y欧勒方程223/221/2221/23/223/221231 -0.2111;(1)222111(1)0222111(1)0(1)222(1)ydfffgydxyyfyfyyyygygydyyyydxgygyyy
3、yCgygyy 例：求最速落径方程解：已知，根据欧勒方程引入参数1122111112112 (1 cos2)12sin22sincos 2sin:(1 cos2)(2sin2)2:(2sin2);(1 cos2)22CCyctgyctgdydddxCCCdyctgctgCxdxCdCCCxCy ，使而积分得最速落径的参数方程为222 3/2()1;1 -0(1)BAxxBABBABASS y xdsy dxfyfdffdxyydfyyydxyyyyx yxyxxx12AABB例：求连接两点之间最短长度的曲线解：要使泛函S取极值,函数 必须满足欧勒方程:=0=0=c x+c该曲线必须通过两个端点
4、的坐标:(x,y),(x,y)BBAyxx显然证明了连接两点长度最短的曲线为直线1A2BAB根据经典力学的基本假设,系统某时刻(t)从(q)出发,到另一时刻(t)到达(q),中间所经历的真实轨道 q(t)是唯一的.经典力学的目标就是从所有连接q 到q 满足给定约束条件的可能轨道中找出一条满足力学规律的真实轨道来.:最小作用原理对给定初末态,系统的真实演化轨道使作用量取极值(极大或极小或常点，通常为极小),即其变分为零：S=0t1,qAt2,qBq(t)真实轨道真实轨道1()()q ttSL t dt2t引入一个轨道相关的函数(物理上称为作用量,数学上称为泛函)：21(,)ttSL q q t
5、dt对完整保守力系，假定拉格朗日量可以表示为 L(q,q,t)，并定义哈密顿作用函数：211212:t t ,()(),(),(,)0ttq tq tq tSL q q t dt哈密顿原理在和时刻和相同（即端点固定）在约束许可的一切可能路径中使作用函数取极值的路径为物理上可以实现的真实运动路径：由最小作用原理导出运动方程需通过数学上称为变分的方法,通常假定变分路径由每一时刻坐标变量的一个独立的小变化(q(t)构成,时间的变分为零(t=0),即等时变分.等时变分下的最小作用原理一般称为哈密顿原理.),(tqqqqqqLLss2121 22111 ()sttttLLLSL q,q,t dtqqt
6、dtqqt211 sttLLqqdtqq211sttLdLdLqqqdtqdtqdtq0t dqqdt12 0ttqq22111tstttLLdLqq dtqqdtq q是任意的2110sttLdLq dtqdtq 0(1,2.)dLLsdtqq ,q q(0),(0)qq q =1,2.sLpq(,)=1,2.sLpp q q tq(,)=1,2.sqq q p t1(,)sLH q qLqconstq 111(,),(,),(,)sssLH q p tLqLp qqL q q q p t tp q q p t 12(,.)nFF u uu12(,.)nG G v vviiFvu1si iG
7、uvF(,)H q p t(,)L q q tLpq1sHp qL 11d(d)dssaaaaaHdLp qqpp dqL=0 dpdLLLdtqqdtq11dddssaaaaaaLLLLLdqdqtp dqp dqtqqttsaaaaattLdqppqH1d)d(dsaattHdqqHdppHH1dd =1,2,.s HqpHpq tLtH22112121 (,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)jjjjjjjjjjjjttjjjjjjtttjjjjttjjjjjjtjjH pq tp qL qq tL qq tp qH pq tSL qq t dtp qH pq t dtSp qH pq
8、 t dtHHp qpqpqdtpq2211 (ttjjjjjjjjttjjHHqppqdtpqpq dtpq2221112112()0 (0,0)tttjjjjjjjjttttjjjjtt tt tjjjjjjddpqpq dtpq dtpqdtdtdtpqqqHHSqppqdtpq210 ,ttjjjjjjHqppqHpq 是任意的正则方程tHppHqqHtHs1ddtHtHddqHppHq,0tHHconst112()ssTHLp qLqTT VTVq 012TTTT2011ssTHLp qLqTTVq 0iiHqpqi=const，pi为循环坐标为循环坐标 0iiHpq pi=cons
9、t，qi为循环坐标为循环坐标 LHtt iiLHqq;=1,2,.s dqdpHHdtpdtq 11,sjjjjjsjjjjjd FFFFqpd tqptFHFHFqppqtFFHt(,)FF q p t,0FF Ht0dFdt0,0FtF HF 守恒量,(1,2.),jjjjqq Hjspp H1,sjjjjjFGFGFGqppq,0,01 ,(,1,2.)0 jkjkjkjkqqppjkqpjksjk,0,0,0,FGF HG Httd F GF GF G HdttF Gc2222221(sin)2Tm rrr2222221(sin)(,)2Lm rrrV r rLpm rr2Lpmr22
10、sinLpmr()V r222,sinrppprmmrmr1122222222222222222221(sin)21sin(,)2sinsin12ssrrrrrHLp qTVp qm rrrVp rpppppmrrV rmmrmrppppppmmrmrpm 22222(,)sinppV rrr 2222221(sin)(,)2HTVm rrrV r 222,sinrppprmmrmr2222221(,)2sinrppHpV rmrr 0sincos MMmmxxyxxlyl 0;cossinMMmmxxyxxlyllmMoxyx22222222221111()()(cos)(sin)22221
11、1()cos22MMmmTM xym xyMxmxllmM xmlmlxcosVmgl 22211()coscos22LmM xmlmlxmgl()cos0dLLdmM xmldtxxdt2(cos)sinsin0dLLdmlmlxmlxmgldtdt2()cos0cossin0mM xmlmlmlxmgl22(sin)sincos()sin0MmlmlMm gl()cosxLpmMxmlx22211()coscos22LmM xmlmlxmgl2cosLpmlmlx21cossinxxppMml221cos(sin)xm lpMmpMmm l22211()coscos22HTVmM xmlm
12、lxmgl2222212cos()cos2(sin)xxml pmlp pMm pmglmlMm0 xHpx()cos0 xpmMxm l2222()sincossin(sin)HmMppmgllMm()cos0 xpmM xml2cospmlmlx22(sin)sincos()sin0MmlmlMm gl*例例3 exyzrZeexyzrZerarZeV204122222212sinrppaHTVpmrrr p=C 223232sin ramrpmrprHpr322sincosmrpHp0p mppHrrr2mrppH22sinmrppH sin 222 m rpm rprm pr2222
13、sin rarmrmrm 22sin rmC0 sin 22322rarmCrmrm 322sin cosrmCp00,0C0)(dd0 222 mrtrarmrmconst2mr22)(rarrm hr2cos12222kAhkhrcos1epr()V r22202 e 4 ZekkVrkGMm 电子在 Z的库仑场中质点在 M 的引力场中2221()()2LTVm rrV r2221()()2HTVm rrV r(,),(,),(,)jjjjQQ q p tPP q p tHH Q P t,P j=1,2,.s jjjjHHQPQ 11ssjjjjjjdFp qHP QHdt(,),(,)(1,2.)jjjjjjQQ q p tcPP q p tdjs(,),(,),(1,2,.)jjjjqqc d tppc d tjs(,)0(,)SSHqtqtSSqPt,0dHdtt
