1、8/17/2022 8:02 AM00lim()()xxf xf x 微积分讲义微积分讲义设计制作设计制作王新心王新心8/17/2022 8:02 AM3.3 导数的基本公式和运算法导数的基本公式和运算法则则（七）（七）导数公式导数公式（一）函数的和、差、积、商的求导法则（一）函数的和、差、积、商的求导法则（二）（二）复合函数的求导法则复合函数的求导法则（三）（三）反函数的求导法则反函数的求导法则（四）（四）隐函数的求导法则隐函数的求导法则（五）（五）对数求导法则对数求导法则（六）（六）由参数方程确定的函数的求导法则由参数方程确定的函数的求导法则（八）（八）综合杂例综合杂例8/17/2022
2、8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分C设()yf xC（为常数）00()()yf xxf x 0CC0lim0 xyyx 0C （一）函数的和、差、积、商的求导法则（一）函数的和、差、积、商的求导法则1、常数的导数、常数的导数8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分0limxyyx 1()nnxnx 2、幂函数的导数、幂函数的导数设nnyx（为正整数），()nnyxxx 122(1)2nnnnnn nxnxxxxxx 由二项式定理知1210(1)lim()2nnnxn nnxxxx 1nnx 以后可以证明，为任何实数公式也成立。n8/17/2022 8:
3、02 AM3、代数和的导数、代数和的导数0()()limhu xhu xh 第三章第三章 导数与微分导数与微分设可导，(),()uu xvv x则()()()y xu xv x也可导，且()()()y xu xv x0()()()limhy xhy xy xh 证明证明0()()()()limhu xhv xhu xv xh 0()()limhv xhv xh()()u xv x()uvuv证毕.8/17/2022 8:02 AM此公式可以推广到有限个函数的情形此公式可以推广到有限个函数的情形第三章第三章 导数与微分导数与微分1212()nnuuuuuu3(5)yx例例1求函数的导数35yx解
4、解3()(5)x 23x 8/17/2022 8:02 AM4、乘积的导数、乘积的导数第三章第三章 导数与微分导数与微分设可导，(),()uu xvv x则()()()y xu xv x也可导，且()()()()()y xu x v xu x v x0()()()limhy xhy xy xh 证明证明0()()()()limhu xh v xhu x v xh 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分()uvu vuv证毕.0()()l m)i(hu xh v xu x v xhhh()()()()u x v xhu x vhx 0()()lim()()hu xh
5、v xv xu xv xhhxhhu ()()()()v xu x v xu x 可导一定连续可导一定连续8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分121212311()nnnnnu uuu uuu u uuuuu 乘积公式可以推广到有限个函数的情形乘积公式可以推广到有限个函数的情形特别地()CvCv（为常数）C32(12)(32)yxxx例例2求的导数解解32(12)(32)xxx 3222(32)(12)(94)xxxxx322434xxxy 32(12)(32)xxx 8/17/2022 8:02 AM5、商的导数、商的导数第三章第三章 导数与微分导数与微分设可
6、导，(),()uu xvv x则()()()u xy xv x 也可导，且2()()()()()()u x v xu x v xy xvx 0()()()limhy xhy xy xh 证明证明且()0,v x 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分0()()()()limhu xhu xv xhv xh 0()()()()lim()()hu xh v xu x v xhhv xh v x 0()()()()()()()()lim()()hu xh v xu x v xu x vhhvxu xxxhxvv 0()()()()lim()()()()()()hu xh
7、v xhv xv xhhv xh v xv xh vxuxux 2()()()()()u x v xu x v xvx 可导一定连续可导一定连续可导一定连续可导一定连续证毕.8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分2()uu vuvvv 特别地2()CCvvv （为常数）C4343xyx例例3求的导数434()()3xyx解解431()4()3xx 344123xx8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分2211xyx 例例4求的导数222222(1)(1)(1)(1)(1)xxxxyx 解解22222(1)(1)2(1)x xxxx 2
8、24(1)xx 8/17/2022 8:02 AM6、对数函数的导数、对数函数的导数log()logaayxxx 第三章第三章 导数与微分导数与微分log(0,1)ayx aa设0limxyyx 01limlog1axxxx 01limlog1xxaxxxx 1logaex 1lnxa 1(log)lnaxxa 1(ln)xx log1axx 8/17/2022 8:02 AM7、三角函数的导数、三角函数的导数第三章第三章 导数与微分导数与微分sinyx（1）设sin()sinyxxx 2cos()sin22xxx0limxyyx 0sin2limcos()22xxxxx cos x 连续连续
9、cos x(sin)cosxx (cos)sinxx 同理可得cosyx（2）设8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分tanyx（3）设sin(tan)()cosxyxx2(tan)secxx 2(cot)cscxx 同理可得cotyx（4）设2(sin)cossin(cos)cosxxxxx 222cossincosxxx 221seccosxx8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分secyx（5）设1(sec)()cosyxx(sec)sectanxxx cscyx（6）设2(cos)cosxx 2sincosxx sectanx
10、x 1(csc)()sinyxx2(sin)sinxx 2cossinxx csccotxx (csc)csccotxxx 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分(2sin)(cosln)yxxxx例例5求的导数2sincoslnyxxxx解解(cos)lncos(ln)xxxx112sin2cossinlncos2xxxxxxxx 11(ln)sin(2)cosxxxxxx2()sin2(sin)xxxx8/17/2022 8:02 AM()yfx 第三章第三章 导数与微分导数与微分(),(),yf uux 设是的一个复合函数xy(),duxdx 若在处有导数(
11、)ux x(),dyfudu 则()yf u 在对应点处有导数u复合函数在点处的导数也存在，()yfx x且()()dyfuxdx 或写成dydydudxdudx（二）（二）复合函数的求导法则复合函数的求导法则8/17/2022 8:02 AM()()fux 第三章第三章 导数与微分导数与微分0lim()uyfuu 则所以()yfuuu 故()(0)yuufuxxxx 0limxdyydxx ()yf u 证明证明因为在点处可导，u0u （当时，）0 所以0lim()xuufuxx 证毕.可导一定连续可导一定连续00 xu 0 dydududx8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导
12、数与微分导数与微分此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形(),(),()yf uuvvx若dydxdudv dvdx()()()fuvxyuvx链式法则链式法则dydydudxdudxdydu 关键关键弄清复合函数结构，弄清复合函数结构，由由外向内外向内逐层求导逐层求导8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分例例6求的导数30(12)yx解解设30,12yuuxdydydudxdudx2930u 2 2960(12)x例例7求的导数lnsinyx 解解dydx coscotsinxxx1sin x (sin)x 8/17/2022 8:02
13、 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分例例8求的导数cosynx 解解dydx()21nxyx 例例9求的导数解解dydx sinnnx 12212()21(21)nxxxnxx 11(21)nnnxx sinnx()nx 1()21nxnx ()21xx 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分例例10求的导数222xyax解解y 2222221()22xaxaxax 22221(2)22xaxxax 222222axax 22221()2axxax 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分例例11求的导数22ln()yxxa解解y
14、222222111()2xaxxaxa 222212(1)2xxxaxa221xa 22221()xxaxxa 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分解解y 例例12设存在，()fu 导数求的(lncos()xyfe sin()(lncos()()cos()xxxxefeee tan()(lncos()xxxeefe lncos(e)()xudf udu(lncos(e)xdfdx(lncos()xfe 1(lncos()(cos()cos()xxxfeee(lncos()xe dudx8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分证证1()
15、xx 例例13证明（为任意常数）ln()()xxe ln(ln)xex 1()xx 1x 证毕.1()xx 8/17/2022 8:02 AM1dydx 第三章第三章 导数与微分导数与微分1111()()()()fyfxfxfy 设在点处可导，()yf x x且()0,fx 则又设反函数在相应点处连续，1()xfy 1()fy 存在，且或dxdy（三）（三）反函数的求导法则反函数的求导法则8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分证证设反函数的自变量取得改1()xfy y变量时，y 因变量取得相应的改变量，xx 当时，0y 必有，0 x 否则由11()()0 xfyy
16、fy 11()(),fyyfy 得因为函数的变量()yf x 是一一对应的，所以0,yyyy 这与的假设相矛盾。0y 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分因此，有当时，0y 10()limyxfyy ()0fx 再由假设得当时，0y 0 x 又由的连续性知，1()xfy 1xyyx 1()fx 01limxyx 证毕.1 dydxdxdy 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分反三角函数的导数反三角函数的导数（1）arcsin(11)yxx 由于的反函数是arcsinyx sin()22xyy(arcsin)yx 1(sin)y 2
17、11x 21(arcsin)(11)1xxx 1cos y 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分（2）21(arccos)(11)1xxx 同理可得（3）21(arctan)1xx （4）21(arccot)1xx 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分解解y 2arcsin(3)yx 例例14求的导数4619xx 1arctanyx 例例15求的导数y 解解2221()1xxx 211x 2211(3)x 2(3)x 2111()x 1()x 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分（四）（四）隐函数的
18、求导法则隐函数的求导法则且可导，设方程 确定了是的函数，(,)0F x y yx并再利用复合函数的两边同时对求导，xyx求导公式可求隐函数对的导数。8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分2dyydx例例16方程确定是的函数，22ypx yxdydx求x解解方程两边同时对求导dypdxy 解得2p 是是的函数的函数yx8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分y 例例17方程确定是的函数，lnyxy yxy 求x解解方程两边同时对求导解得lnyyyyx ln y x 1y y 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与
19、微分(2)1(2)yx 2,2xyyxy 220 xyxyyy(2,2)求其曲线上点处的切线和法线方程例例18方程确定是的函yx224xxyy数，解解方程两边对求导x得2,21xyy 切线方程法线方程4yx(2)1(2)yx 0 xy8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分指数函数的导数指数函数的导数设(0,1)xyaaa两边取对数，写成隐函数的形式lnlnyxa 两边对求导x1lnyay 解得lnyya ()lnxxaaa ()xxee lnxaa 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分例例19求函数的导数xya 解解ln()xyaa
20、x lnxaa 例例20求函数的导数2axbx cye 解解22()axbx cyeaxbxc2(2)axbx caxb e例例21方程确定是的函数，yexy yxy 求解解方程两边对求导xye yyxy解得yyyex (1)yyxyxx y8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分（五）（五）对数求导法则对数求导法则例例22求函数的导数xyx 两边取对数，写成隐函数的形式lnlnyxx 两边对求导x1ln1yxy 解得(ln1)xyxx 解解此函数既不是幂函数也不是指数函数称其为幂指函数幂指函数。不能用幂函数或指数函数的求导公式，8/17/2022 8:02 AM第
21、三章第三章 导数与微分导数与微分例例23求函数的导数(1)(2)(3)(4)xxyxx 两边对求导x11111121234yyxxxx 解解此函数若直接求导会很复杂。两边取对数（设）4x 1ln ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)2yxxxx8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分(1)(2)(3)(4)xxyxx 解得1(1)(2)11112(3)(4)1234xxyxxxxxx 当时，1x 当时，23x(1)(2)(3)(4)xxyxx 用同样的方法求导可得与上面相同的结果。8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分（六）（六）由
22、参数方程所确定的函数的求导法则由参数方程所确定的函数的求导法则若参数方程确定是的函数，()()xtyt yx则称此函数关系为由参数方程所确定的函数由参数方程所确定的函数。设有连续反函数()xt 1(),tx 又(),()tt存在，且()0,t 则有dydydtdxdtdx1dydxdtdtdydydxdtdtdx dydxdtdt 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分例例24已知cos,sinxatyat 求dydx解解dydydxdtdtdx(sin)(cos)atat coscotsinattat 例例25已知2arctan,ln(1)xtyt 求dydxd
23、ydydxdtdtdx 解解2ln(1)(arctan)tt 222111ttt 2t 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分(1)()C （七）（七）导数公式导数公式基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式(2)()x (3)()xa ()xe (4)(log)ax (ln)x (5)(sin)x (6)(cos)x (7)(tan)x (8)(cot)x (9)(sec)x (10)(csc)x 01x lnxaaxe1lnxa1xcos xsin x 2sec x2csc x sectanxxcsccotxx 8/17/2022 8:02 AM第三章第三
24、章 导数与微分导数与微分(11)(arcsin)x (12)(arccos)x (13)(arctan)x (14)(arccot)x (11)x (11)x 说明说明在公式中,0,1Caa 均为常实数。211x 211x 211x 211x 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分(1)()uv (4)()fx 说明说明在公式中C为常实数，运算法则运算法则(2)()uv ()Cu (3)()uv 1(5)()fy ()(6),()xtyt ,u v均为函数。xuv u vuv Cu 2(0)u vuvvv ()()fxx 1()0)()fxfx ()()tt dy
25、dx 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分（八）（八）综合杂例综合杂例例例26设2lncos(103),yx求y 解解y 22sin(103)cos(103)xx 26 tan(103)xx 21cos(103)x 2cos(103)x 2(103)x 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分例例27设3333,xxyxx求y 解解2ln3 ln330()xxxyxe23 ln33(ln1)xxxxx函数，求y 例例2822lnarctanyxyx确定是的yx解解221 ln()2xy 整理得xyyxy 2211()y xyyxx 2
26、2xyyxy 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分例例29设21 02 01(),1 1214 22xxxxf xxxxx 求()fx 解解()1fx 当时，0 x ()2fx 当时，01x()2fxx 当时，12x1()2fx 当时，2x8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分 1 02 01()2 121 22xxfxxxx由上节例10知(0)f 不存在，(1)2,f (2)f 不存在，故有8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分例例30已知可导，()f u求(ln),fx 解解(),(),nnfxaf
27、 xa其中为常数a(ln)(ln)(ln)fxfxx1(ln)fxx ()nfxa 1()()nnn xafxa ()nf xa ()()nnfxaxa1()()nn f xafxa 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分例例31已知2()(),fxyy xe若1(),2()faf a 求证()()y ay a 证证2()2()()fxy xefx2()2()()fxf x fx e 2()()2()()fay af a fa e 2()12()2()faf aef a 2()fae()y a 证毕.8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与
28、微分求当球半径时，10rcm 例例32设球半径以的速度等速r2/cm s增加，V其体积增加的速度。解解343Vr 两边对时间求导t24dVdrrdtdt 当时2,10drrdt102800rdrdtdVdt （此题为相关变化率问题）8/17/2022 8:02 AM内容小结内容小结1.导数公式导数公式2.函数的求导法则函数的求导法则3.隐函数求导法则隐函数求导法则4.对数求导法则对数求导法则作业作业P138 15-45第三章第三章 导数与微分导数与微分 和、差、积、商反函数、复合函数由参数方程确定的函数8/17/2022 8:02 AM备用题备用题第三章第三章 导数与微分导数与微分22arct
29、anln,1xxxeyee 1.已知1xdydx 则（2004）22212(2)121xxxxdyeedxee解解21arctan2ln(1)2xxyexe211xxee 11221111xxxxdyeedxee211ee 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分()f u2.已知可导，解解（1）（1）()()f xxyef e 求下列函数的导数（2）()yff f x()()()()()f xxf xxxyefx f eefee()()()()f xxxxefx f ee fe（2）()()()yff f xff xfx 8/17/2022 8:02 AM第三章第
30、三章 导数与微分导数与微分,xxyx 3.设解解两边取对数求dydxlnlnxyxx 11(ln1)lnxxdyxxxxy dxx21(lnln)xxxdyxxxdxx 8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分解解方程两边取对数求dydxlnlnyxxy()yy x 4.设由方程所确定，yxxy lnlndyyx dyxydxxy dx22lnlndyyxyydxxxyx 再对求导x8/17/2022 8:02 AM第三章第三章 导数与微分导数与微分5.设232,e sin10yxttty 求0tdydx 解解方程组两边同时对求导，得t001ttydydydxdtdtdx 01cos(1sin)(62)ytyyetett 2e 62dxtdtsincos0yydydyetetdtdt62dxtdtcos1sinyydyetdtet
