1、例例1.(1.(山东山东0707理理)设设b,cb,c分别是先后掷两次骰子得到的点数分别是先后掷两次骰子得到的点数,用随机变量用随机变量 表示方程表示方程x x2 2+bx+c=0+bx+c=0的实根个数的实根个数.(1)(1)求方程有实根的概率求方程有实根的概率;(2)(2)求求 的分布列和期望的分布列和期望;(3)(3)求在先后两次出现的点数有求在先后两次出现的点数有5 5的条件下的条件下,方程有实根的方程有实根的 概率概率.例例2.2.已知某车站每天已知某车站每天8:009:008:009:00、9:0010:009:0010:00都恰好有一都恰好有一辆客车到站；辆客车到站；8:009:
2、008:009:00到站的客车可能在到站的客车可能在8:108:10、8:308:30、8:508:50到到,其概率依次为其概率依次为1/6,1/2,1/3,9:0010:001/6,1/2,1/3,9:0010:00到站的客车到站的客车可能在可能在9:109:10、9:309:30、9:509:50到，其概率依次为到，其概率依次为1/6,1/2,1/3,1/6,1/2,1/3,今今有甲、乙两位旅客，他们到站的时间分别为有甲、乙两位旅客，他们到站的时间分别为8:008:00和和8:208:20，试问他们候车时间的平均值哪个更多？试问他们候车时间的平均值哪个更多？注：注：8:30到达的概率为到达
3、的概率为1/2即即8:10未到而未到而8:30到达的到达的 概率为概率为1/2.:,:则他们的分布列为则他们的分布列为分钟分钟、车事件分别为车事件分别为设甲、乙两位旅客的候设甲、乙两位旅客的候解解 103050P1/61/21/31030507090P1/21/36161 3161 2161.,92453100.值比旅客乙多值比旅客乙多旅客甲候车时间的平均旅客甲候车时间的平均 EEEE 例例3(073(07宁夏海南理宁夏海南理)如图，面积为如图，面积为S S的正方形的正方形ABCDABCD中有一中有一个不规则的图形个不规则的图形MM，可按下面方法估计，可按下面方法估计MM的面积的面积:在正方在
4、正方形中随机投掷形中随机投掷n n个点，若个点，若n n个点中有个点中有m m个点落入个点落入MM中，则中，则MM的面积的估计值为的面积的估计值为mS/nmS/n.假设正方形的边长为假设正方形的边长为2 2，MM的面的面积为积为1 1，并向正方形中随机投掷，并向正方形中随机投掷1000010000个点，以个点，以X X表示落入表示落入MM中的点的数目中的点的数目（I I）求）求X X的均值的均值EXEX；（II II）求用以上方法估计面积时，）求用以上方法估计面积时，MM的面积的估计值与的面积的估计值与实际值之差在区间实际值之差在区间(-0.03,0.03)(-0.03,0.03)内的概率内的
5、概率k2424242525742575Q(k)0.04030.04230.95700.9590MADCB)(.)1()0(75.025.0)(01000010000kXPXPXPCkQktttt 附表：附表：例例4(2005湖南卷湖南卷).某城市有甲、乙、丙某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且，且客人是否游览哪个景点互不影响，设客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（）求）求
6、的分布及数学期望；的分布及数学期望；（）记）记“函数函数f(x)x23x1在区间在区间2，上单调上单调递增递增”为事件为事件A，求事件，求事件A的概率的概率.解解:(1)分别记分别记“客人游览甲景点客人游览甲景点”,“客人游览乙景客人游览乙景点点”,“客人游览丙景点客人游览丙景点”为事件为事件A1，A2，A3.由已知由已知A1，A2，A3相互独立相互独立,P（A1）=0.4,P（A2）=0.5,P（A3）=0.6.客人游览的景点数的可能取值为客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地相应地,客人客人没有游览的景点数的可能取值为没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以，所以的可的
7、可能取值为能取值为1，3.59的分布列如下的分布列如下）随机变量）随机变量浙江浙江练习练习 1507(:1-101Pabc_,31.DEcba则则若若成成等等差差数数列列、其其中中2221111614(1)(0)(1)33399911331115 2,63291 DabcabcEa ca b cba cabcDa b c 解解析析：由由、成成等等差差数数列列由由分分布布列列性性质质练习练习2(07江西江西)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次
8、烧制，两次烧制过程相互独制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、立根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求，求随机变量随机变量的期望的期望解解:分别记甲、
9、乙、丙经第一次烧制后合格为事件分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1,A2,A3（1）设）设E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则表示第一次烧制后恰好有一件合格，则38.04.04.05.06.06.05.06.04.05.0)()()()(321321321 AAAPAAAPAAAPEP(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3，所以所以B(3,0.3)，故，故E=np=30.3=0.9 练习练习3:3:某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆向保险公司缴纳每辆9009
10、00元的保险金，对在一年内发生元的保险金，对在一年内发生此种事故的车辆，单位获此种事故的车辆，单位获90009000元的赔偿（假设每辆车最元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为概率分别为1/91/9、1/101/10、1/111/11，且各车是否发生事故相互，且各车是否发生事故相互独立。求一年内该单位在此保险中：独立。求一年内该单位在此保险中：（1 1）获赔的概率；）获赔的概率；（2 2）获赔金额）获赔金额 的分别列与期望。的分别列与期望。解解:设设Ak表示第表示第k辆车在一年内发生此种事故辆车在一年内发
11、生此种事故k=1,2,3由由题意知题意知A1，A2，A3独立，且独立，且P(A1)=1/9，P(A2)=1/10，P(A3)=1/11（1）该单位一年内获赔的概率为）该单位一年内获赔的概率为123123891031()1()()()19101111P A A AP A P A P A (2)的所有可能值为的所有可能值为0，9000，18000，2700012312389108(0)()()()()9101111PP A A AP A P A P A123123123(9000)()()()PP A A AP A A AP A A A123123123()()()()()()()()()P A
12、P A P AP A P A P AP A P A P A1110191811910119101191011273990110123123(27000)()()()()PP A A AP A P A P A111191011990综上知，的分布列为综上知，的分布列为090001800027000P8/1111/453/1101/990811310900018000270001145110990E299002718.1811例例5:在灯谜晚会上，猜谜者需猜两条谜语在灯谜晚会上，猜谜者需猜两条谜语(谜谜1和谜和谜2),猜猜谜者对这两条谜语可以按自己选择的先后顺序去猜，如谜者对这两条谜语可以按自己选
13、择的先后顺序去猜，如果他决定先猜果他决定先猜i(i=1,2)，则只有当他猜对此谜后才被允许，则只有当他猜对此谜后才被允许猜另一条谜语，否则就不允许猜另一条谜语了猜另一条谜语，否则就不允许猜另一条谜语了.若猜谜者若猜谜者猜对谜猜对谜i(=1,2)，则奖，则奖xi(i=1,2)元，一中一得，设猜对谜元，一中一得，设猜对谜i(i=1,2)这两件事是互不影响的这两件事是互不影响的.试问：试问：（1）他应先猜哪条谜语？）他应先猜哪条谜语？（2）若）若x1=200，x2=100，P1=60%，P2=80%(P1、P2分别分别为猜中谜为猜中谜1、2的概率）的概率）,则应先猜哪条谜语？则应先猜哪条谜语？（3）
14、若）若x1=200，x2=100，P1=60%，P2=75%，则应先猜，则应先猜哪条谜语？哪条谜语？解解.(1)设猜中谜设猜中谜i(i=1,2)的概率为的概率为Pi(i=1,2)若先猜谜若先猜谜1，则所得奖金，则所得奖金Y1的分布列为的分布列为:Y10 x1x1+x2P1-P1P1(1-P2)P1P22121121212111)()1(ppxpxppxxppxEY 所所得得奖奖金金的的均均值值为为若先猜谜若先猜谜2，则所得奖金，则所得奖金Y2的分布列为的分布列为:Y20 x2x1+x2P1-P2P2(1-P1)P1P22112221211222)()1(ppxpxppxxppxEY 所所得得奖
15、奖金金的的均均值值为为都一样；都一样；与先猜谜与先猜谜先猜谜先猜谜时时即即当当；先猜谜先猜谜时时即即当当；先猜谜先猜谜时时即即当当21,2,1,211222121121211222121121211222121121ppxpxppxpxEYEYppxpxppxpxEYEYppxpxppxpxEYEY ；故先猜谜故先猜谜则则时时若若2,176,168,%80%,60,100,200)2(21212121EYEYEYEYppxx .21,165%,75%,60,100,200)3(21212121都都一一样样与与先先猜猜谜谜故故先先猜猜谜谜则则若若EYEYEYEYppxx 例例6(056(05江西
16、高考江西高考)A)A、B B两位同学各有五张卡片，现以投两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A A赢得赢得B B一张卡片，否则一张卡片，否则B B赢得赢得A A一张卡片一张卡片.规定掷硬币的次数规定掷硬币的次数达达9 9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设设 表示游戏终止时掷硬币的次数表示游戏终止时掷硬币的次数.（1 1）求）求 的取值范围；的取值范围；（2 2）求）求 的数学期望的数学期望EE.解解:(1)设正面出现的次数为设正面出现的次数为m，反面出现的次数为，反
17、面出现的次数为n，则，则 915|nmnm可得：可得：.9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的的所所有有可可能能取取值值为为所所以以时时或或当当时时或或当当时时或或当当 nmnmnmnmnmnm;645)21(2)7(;161322)21(2)5()2(7155 CPP .322756455964571615;64556451611)9(EP例例.某生在解答数学考试时有两种方案某生在解答数学考试时有两种方案:方案一方案一,按题号顺序按题号顺序解答；方案二，先做解答题，后做选择题、填空题，且解答；方案二，先做解答题，后做选择题、填空题，且分别按题号顺序依次解答分别按
18、题号顺序依次解答.根据以往经验，若能顺利地解根据以往经验，若能顺利地解答某题，就增强了解答题目地信心，提高后面答题正确答某题，就增强了解答题目地信心，提高后面答题正确率的率的10；若解答受挫，就增加了心理负担，降低了后；若解答受挫，就增加了心理负担，降低了后面答题正确率的面答题正确率的30.为了科学地决策，他采用了一个特为了科学地决策，他采用了一个特例模型例模型:在某次考试中有在某次考试中有6道题，他答对每道题的概率分布道题，他答对每道题的概率分布和题目的分值如下表和题目的分值如下表:题号题号123456概率概率0.950.90.850.80.50.2分值分值55551214(1)在方案一中，求他答对第在方案一中，求他答对第2题的概率；题的概率；(2)在方案一中，求他答对第在方案一中，求他答对第3题的概率；题的概率；(3)请你帮助他做出科学的决策请你帮助他做出科学的决策.(决策问题决策问题)
