1、第第12章章 离散控制系统离散控制系统的经典法设计的经典法设计吉林大学仪器科学与电气工程学院吉林大学仪器科学与电气工程学院随阳轶随阳轶连续与离散控制系统连续与离散控制系统主要内容主要内容 概述概述 控制系统的离散化方法控制系统的离散化方法 PID控制器及其算法控制器及其算法 12.1概述概述 数字控制器的设计大体上分成两大类：经数字控制器的设计大体上分成两大类：经典法设计和状态空间法。经典法设计可分典法设计和状态空间法。经典法设计可分两种方法：两种方法：离散化法离散化法和和直接法直接法。离散化法。离散化法则是先设计连续系统的控制器，然后通过则是先设计连续系统的控制器，然后通过某种离散化方法转化
2、成数字控制器，这种某种离散化方法转化成数字控制器，这种方法仅能逼近连续系统的性能，不会优于方法仅能逼近连续系统的性能，不会优于连续系统的性能。直接法为连续系统的性能。直接法为Z平面的根轨迹平面的根轨迹法、法、W平面的伯德图法等等。平面的伯德图法等等。12.2控制系统的离散化方法控制系统的离散化方法 前向差分法；前向差分法；后向差分法；后向差分法；双线性变换法；双线性变换法；脉冲响应不变法；脉冲响应不变法；阶跃响应不变法；阶跃响应不变法；零、极点匹配法等六种方法。零、极点匹配法等六种方法。前向差分法前向差分法已知控制器的传递函数为已知控制器的传递函数为bsbsDsEsU)()()(传递函数转化成
3、微分方程传递函数转化成微分方程()()()()()()U s sbE s bu tbu tbe t再将微分方程改写成积分形式再将微分方程改写成积分形式0()()()tu tbubed0()()()()()kTTkTkTTu kTbubedbubed=u(kT-T)+从从(kT-T)到到kT的面积的面积 前向差分法（续前向差分法（续1）由差分方程求其由差分方程求其Z变换变换 TTkTbeTkTbuTkTukTufff)()()()(111()()()()fffUzz UzTbz UzTbz E z脉冲传递函数脉冲传递函数11()1(1)(1)/fbTzbGzbT zzTb前向差分法（续前向差分法
4、（续2）比较比较s与与z的关系的关系得：得：1zsT故前向差分法就是将模拟控制器的传递函数故前向差分法就是将模拟控制器的传递函数D(s)中的中的s用用 代替即可。代替即可。Tz1必须强调用前向差分关系将连续控制器离散必须强调用前向差分关系将连续控制器离散化成数字控制器时化成数字控制器时稳定性不能保证稳定性不能保证。因此很。因此很少应用。少应用。后向差分法后向差分法推导过程同前向差分法，推导过程同前向差分法，只是变为后向矩形积分。只是变为后向矩形积分。TkTbekTbuTkTukTubbb)()()()(脉冲传递函数脉冲传递函数1()()()()()()(1)/bbbbUzbUzz UzTbUz
5、TbE zE zzTzb比较比较s与与z的关系的关系得：得：1zsTz连续系统时是稳定的连续系统时是稳定的，通过后向差分离散化通过后向差分离散化后，离散系统一定稳定。后，离散系统一定稳定。双线性变换法双线性变换法推导过程同前向差分法，推导过程同前向差分法，只是变为梯形积分。只是变为梯形积分。)()()()(2)()(kTbekTbuTkTbeTkTbuTTkTukTutttt对上式取对上式取Z变换变换 脉冲传递函数脉冲传递函数111()()()()()()2tttTU zz U zz bU zz bE zbUzbE zbzzTbzTbzzbTTbzTbzzbTzEzUt)1()1(2)1()1
6、(2)1(22)1()()(双线性变换法（续双线性变换法（续1）比较比较s与与z的关系的关系得：得：2(1)(1)zsTz该变换保证系统的稳定性不改变。该变换保证系统的稳定性不改变。三种变换关系总结如下：三种变换关系总结如下：前三种方式的稳定性讨论前三种方式的稳定性讨论1.前向差分前向差分z与与s的关系的关系 1 sTz222)()1(TTzTjTz1令令z 为为1 1，对应，对应s平面为一个圆，则平面为一个圆，则以以1/T为为半径的极点映射到半径的极点映射到Z平面单位圆内。平面单位圆内。222)0()1(1TT对于整个对于整个S左半平面映射左半平面映射Z平面平面是是1为边缘的整个为边缘的整个
7、Z平面。平面。01Re Tz令令 jz1则则 前三种方式的稳定性讨论（续前三种方式的稳定性讨论（续1）2.后向差分后向差分z与与s的关系的关系 sTz112121)1121(21)2111(21zsTTssTz可见可见s的虚轴映射为以点的虚轴映射为以点(1/2，0)为圆心，为圆心，1/2为半径的圆，为半径的圆，s左半平面映射到圆内。左半平面映射到圆内。前三种方式的稳定性讨论（续前三种方式的稳定性讨论（续2）3.双线性变换双线性变换z与与s的关系的关系 2/12/1TsTsz2/12/1TjTjzz的模为的模为1，可见为单位圆，可见为单位圆 三种变换法的运用举例三种变换法的运用举例例例12.1分
8、别用前向差分法、后向差分法和双线分别用前向差分法、后向差分法和双线性变换法将传递函数性变换法将传递函数 离散化成脉冲传递函数。离散化成脉冲传递函数。1()(0.10.5)(0.10.5)G ssjsj解：解：(1)三种变换法的离散化三种变换法的离散化前向差分法前向差分法211,11.81.06(0.90.5)(0.90.5)Tszzzjzj设 222226.0)1(2.0)1(26.012.0)1(1)(TTzzTTzTzzGf三种变换法的运用举例（续三种变换法的运用举例（续1）后向差分法后向差分法222221()11(1)0.2(1)0.26()()0.20.26bT zG zzzzTz z
9、TzTzTz221.46,11.50680.68493zTszz设 双线性变换法双线性变换法2222222222221(1)()2(1)2(1)2(1)0.4(1)(1)0.26(1)()0.20.26(1)(1)(1)(1)4.66T1s4(21)0.4(1)0.26(21)1.6050.8283tTzG zzzzzT zTzT zT zzzzzzzzzz，（设）三种变换法的运用举例（续三种变换法的运用举例（续2）通过通过 转换成脉冲传递函数对应的极点转换成脉冲传递函数对应的极点 sTze(0.10.5)0.10.51(0.10.5)0.10.520.9048 0.5,0.90480.5jT
10、jjTjzeeezeee(2)三种变换法的稳定性三种变换法的稳定性前向差分法前向差分法211()1.81.06(0.90.5)(0.90.5)fGzzzzjzj120.90.5,0.90.5zjzj1,21.0290.5071z极点在单位圆外，极点在单位圆外，系统不稳定。系统不稳定。三种变换法的运用举例（续三种变换法的运用举例（续3）后向差分法后向差分法)34253.07534.0)(34253.07534.0(46.1/68493.05068.1)(222jzjzzzzzzGb1,20.82760.4267z极点在单位圆内，系统是稳定的。极点在单位圆内，系统是稳定的。三种变换法的运用举例（续
11、三种变换法的运用举例（续4）双线性变换法双线性变换法2221,2(1)4.66(1)4.66()1.6050.8283(0.80250.4293)(0.80250.4293)0.91010.4912tzzG zzzzjzjz极点在单位圆内，系统是稳定的。极点在单位圆内，系统是稳定的。通过这三种方法得到的离散化结果与通过通过这三种方法得到的离散化结果与通过 的数学关系的数学关系 的离散化结果比较，的离散化结果比较，双线性变换法更接近准确值。双线性变换法更接近准确值。Tsze阶跃响应不变法阶跃响应不变法 使离散近似后数字控制器的阶跃响应序列，与使离散近似后数字控制器的阶跃响应序列，与连续控制器的阶
12、跃响应采样值相等。连续控制器的阶跃响应采样值相等。设设D(z)为离散控制器，为离散控制器，D(s)为连续控制器。即为连续控制器。即111()()()1D zZD szs11()(1)()D zzZD ss脉冲响应不变法脉冲响应不变法 离散近似后数字控制器的脉冲响应序列，与连离散近似后数字控制器的脉冲响应序列，与连续控制器的脉冲响应采样值相等。续控制器的脉冲响应采样值相等。()()D zTZ D sT是补偿采样引进的是补偿采样引进的1/T因子。因子。例例12.2已知连续控制器的传递函数已知连续控制器的传递函数 试用阶跃响应不变法和脉冲响应不变法将连续试用阶跃响应不变法和脉冲响应不变法将连续控制器
13、离散成数字控制器。控制器离散成数字控制器。1()(1)(2)D sss解：解：(1)阶跃响应不变法阶跃响应不变法阶跃脉冲响应不变法举例阶跃脉冲响应不变法举例1122111/211/2()(1)(1)(1)(2)121 11111121222TTTTD zzZzZs ssssszzzzzzzzzezezeze(2)脉冲响应不变法脉冲响应不变法2111)2)(1(1)()(2TTezzezzTssTZssTZsDTZzD零极点匹配等效法零极点匹配等效法通过映射保证连续和离散控制器的零极点匹配。通过映射保证连续和离散控制器的零极点匹配。映射规则如下：映射规则如下：(1)D(s)的全部有限零点和极点按
14、照的全部有限零点和极点按照 映映射到射到Z平面。平面。(2)D(s)的全部无限远的零点映射到的全部无限远的零点映射到Z平面为平面为z=-1。(这是近似映射关系这是近似映射关系)解释如下：解释如下：Tsze时T20从当s1,10TjTjTezez零极点匹配等效法（续零极点匹配等效法（续1）相当于相当于j轴上从轴上从0到到/T这段对应于这段对应于Z平面从平面从z=1到到z=-1的半个单位圆。的半个单位圆。当当=s/2=/T时，该时，该是信号的最高频率，是信号的最高频率，高于此频率则不满足采样定理。高于此频率则不满足采样定理。另外通常另外通常D(s)具有低通特性，即具有低通特性，即 0)(2sjjs
15、sD因此将因此将s的零点映射到的零点映射到Z平面，相当于与平面，相当于与D(z)的的z=-1的零点对应，也就是说在的的零点对应，也就是说在的D(s)上有一上有一个个s 的零点时，则在的零点时，则在D(z)的分子上补一个的分子上补一个(z+1)因子，有两个因子，有两个s 的零点，在的零点，在D(z)的分子的分子上补一个上补一个(z+1)2，以此类推。，以此类推。零极点匹配等效法（续零极点匹配等效法（续2）(3)让数字控制器的增益在某一主频处与模拟让数字控制器的增益在某一主频处与模拟控制器的增益匹配，即控制器的增益匹配，即 若若D(s)具有低通特性则令具有低通特性则令 01()()szD sD z
16、 若若D(s)具有高通特性则令具有高通特性则令 1()()szD sD z 若若D(s)既不具有高通特性也不具有低通特性既不具有高通特性也不具有低通特性则在一个特殊频率处令则在一个特殊频率处令 00()()jTsjz eD sD z零极点匹配等效法举例零极点匹配等效法举例例例12.3已知连续控制器的传递函数已知连续控制器的传递函数 试用零极点匹配等效法将连续控制器离散成数试用零极点匹配等效法将连续控制器离散成数字控制器。字控制器。2()(1)(3)sD sss解：解：(1)将连续系统的有限零极点映射到将连续系统的有限零极点映射到Z平面平面 有限零点有限零点 222,0TTszeze，即 有限极
17、点有限极点TTezezss3,3,1零极点匹配等效法举例（续零极点匹配等效法举例（续1）(2)将连续系统的将连续系统的s零点映射到零点映射到Z平面，对应平面，对应于于D(z)分子上的分子上的(z+1)因子。因子。2()0()(1)(3)sssD ssD sss(可见为的零点)()()(1)sD sD zz的零点对应分子上的因子零极点匹配等效法举例（续零极点匹配等效法举例（续2）(3)匹配增益因子匹配增益因子0()0,()2 3,()ssD sD sD s可见有低通特性，因此增益因子为2310(1)()2()()z10()()(1)(3)TTTzsK zzesD zD sszezess23322
18、(1)2(1)(1)(1)(1)33(1)TTTTTTKeeeKeee通过零极点匹配等效法，得到的总的脉冲传递通过零极点匹配等效法，得到的总的脉冲传递函数为：函数为：3223(1)(1)(1)()0.231551(1)(0.13534)()(),13(1)()()(0.049787)(0.36788)TTTTTTeezzezzD zD zTsezezezz六种离散化方法的特点六种离散化方法的特点 设计者应该设计者应该交替使用交替使用几种等效技术，通常零极几种等效技术，通常零极点匹配映射法和双线性变换法较好。点匹配映射法和双线性变换法较好。1.前向差分法前向差分法：稳定性不能保证，很少使用。：稳
19、定性不能保证，很少使用。2.后向差分法后向差分法：无稳定性问题，并维持稳态增：无稳定性问题，并维持稳态增益不变。但是得到的离散控制器暂态特性和频益不变。但是得到的离散控制器暂态特性和频率响应特性与连续控制器特性有相当大的差别，率响应特性与连续控制器特性有相当大的差别，采用高采样率可减少这种差别。采用高采样率可减少这种差别。3.脉冲响应不变法脉冲响应不变法：无稳定性问题，但存在频：无稳定性问题，但存在频率混叠问题率混叠问题，只适用于连续控制器具有陡峭的，只适用于连续控制器具有陡峭的衰减特性，且为带限信号的场合。衰减特性，且为带限信号的场合。六种离散化方法的特点（续六种离散化方法的特点（续1）4.
20、阶跃响应不变法阶跃响应不变法：相当于连续环节串联一个：相当于连续环节串联一个零阶保持器后取零阶保持器后取Z变换常用来求取控制系统的对变换常用来求取控制系统的对象或其他环节的离散等效。无稳定性问题。象或其他环节的离散等效。无稳定性问题。5.双线性变换法双线性变换法：无稳定性问题，导至频率特：无稳定性问题，导至频率特性的严重畸变，在伯德图的设计中或系统要求性的严重畸变，在伯德图的设计中或系统要求较高时，则要对变换式进行修正。较高时，则要对变换式进行修正。6.零极点匹配等效法零极点匹配等效法：无稳定性问题，这种映：无稳定性问题，这种映射有较好的逼近特性，首推此法。射有较好的逼近特性，首推此法。12.
21、3PID控制器的基本原理控制器的基本原理PID控制器的离散化表示控制器的离散化表示连续域描述连续域描述PID控制器的微分方程通过后向差控制器的微分方程通过后向差分法离散化：分法离散化：0001()(1)()()()()()()(1)()()()(1)()()()kpdiikppdpiikpidipide ke ku kKe ke i TTTTK TK TK e ke ie ke kTTK e kKe iK e ke kuku kuk其中其中Ki为积分系数，为积分系数，Kd为微分系数为微分系数PID控制器的两种形式控制器的两种形式(1)位置式位置式PID上页公式数字控制器的控制量上页公式数字控制
22、器的控制量u(k)与执行机构与执行机构的阀门开启位置一一对应，因此叫位置式的阀门开启位置一一对应，因此叫位置式PID算式算式(2)增量式增量式PID()()(1)()(1)()()2(1)(2)()()(2)(1)(2)()(1)(2)dpppipidpddu ku ku kTTKe ke kKe kKe ke ke kTTKKKe kKKe kK e kme kne kre k优点是改善积分饱和，手动自动切换冲击小，优点是改善积分饱和，手动自动切换冲击小，系统超调减少，动态时间缩短，动态性能改善。系统超调减少，动态时间缩短，动态性能改善。PID控制器的各种算法控制器的各种算法1.不完全微分不
23、完全微分PID控制算法控制算法误差变化率的大小决定微分控制量的大小，误差变化率的大小决定微分控制量的大小，而误差值的绝对大小不影响微分控制量强弱。而误差值的绝对大小不影响微分控制量强弱。当突然大幅度改变给定值时，会导至误差突当突然大幅度改变给定值时，会导至误差突然大幅度改变，引起很大的误差变化率，因然大幅度改变，引起很大的误差变化率，因此产生很强的微分控制量，在一个采样周期此产生很强的微分控制量，在一个采样周期全部输出，使控制系统出现超调和振荡，系全部输出，使控制系统出现超调和振荡，系统的调节性能下降。统的调节性能下降。不完全微分不完全微分PID控制算法控制算法（续（续1）引进不完全微分引进不
24、完全微分PID算法，其传递函数如下：算法，其传递函数如下：()11()1rdrprdrirdT sU sKTE sT ssK其中：其中：U(s)为为PID控制器的输出；控制器的输出；E(s)为偏差为偏差(控控制器的输入制器的输入)；Krp实际的比例放大系数；实际的比例放大系数；Tri实际实际的积分时间常数；的积分时间常数；Trd实际的微分时间常常数。实际的微分时间常常数。微分项为：微分项为：()()1rprdrdrdrdK T sUsE sTsK比例和积分项为：比例和积分项为：1()(1)()rpirpriUsKE sT s不完全微分不完全微分PID控制算法控制算法（续（续2）先处理微分项先处
25、理微分项()(1)()rdrdrprdrdTUssK T sE sK写成时域微分方程写成时域微分方程()()()rdrdrdrprdrdTdutde tutK TKdtdt通过后向差分法离散化通过后向差分法离散化()(1)()(1)()rdrdrdrdrprdrdTukuke ke kukK TKTT1()(1)(1)()(1)rdrdrdrdrprdrdrdTTukukK Te ke kK TK TT不完全微分不完全微分PID控制算法控制算法（续（续3）()(1)()(1)(1)()(1)rdrdrP rdrdrdrdrdrdrdrdTKK Tukuke ke kTTTTKKAukBe ke
26、 k 将不完全微分将不完全微分PID算式的算式的PI部分转化成时域差部分转化成时域差分方程分方程0()()()krpirpjriTukKe ke jT1()(1)()rpirpriUsKE sT s不完全微分不完全微分PID控制算法控制算法（续（续4）不完全微分不完全微分PID算式的差分方程为：算式的差分方程为：01()()()()(1)(1)rdkrdrdrprdrdrdjrirdrdTTKu kKe ke j Te ke kukTTTTTKK积分分离积分分离PID算法算法 积分控制是通过对误差的积分产生控制量来提高积分控制是通过对误差的积分产生控制量来提高控制精度，但是当偏差很大时，投入积
27、分控制会控制精度，但是当偏差很大时，投入积分控制会带来负作用，这时由积分项产生的控制量将很强，带来负作用，这时由积分项产生的控制量将很强，导致系统长时间的超调和大幅度的振荡，产生积导致系统长时间的超调和大幅度的振荡，产生积分饱和。分饱和。数字控制系统中要消除这种现象，可以采用积分数字控制系统中要消除这种现象，可以采用积分分离的方法解决，当误差很大时，不投入积分，分离的方法解决，当误差很大时，不投入积分，当误差比较小时加入积分，改善系统的稳态控制当误差比较小时加入积分，改善系统的稳态控制精度，可以设定一个阀值精度，可以设定一个阀值a，按照下边方式控制。，按照下边方式控制。PD()PIDae ka
28、取消积分，采用控制采用控制变速积分变速积分PID算法算法 积分控制应该是误差大时减小积分作用，防止积分控制应该是误差大时减小积分作用，防止超调和积分饱和，误差小时，加强积分迅速减超调和积分饱和，误差小时，加强积分迅速减少稳态误差，提高系统的控制精度。少稳态误差，提高系统的控制精度。设置积分系数是误差的函数，即设置积分系数是误差的函数，即f(e(k)1()()()()0()e kbae kbf e kbe kabae kab变速积分变速积分PID的积分项为的积分项为10()()()()kiiju kKe jf e k e k变速积分变速积分PID算法（续）算法（续）总的变速积分总的变速积分PID
29、算式算式10()()()()()()(1)kpidiu kK e kKe if e k e kKe ke k(1)能完全消除积分饱和；能完全消除积分饱和；(2)减少超调量，稳定性得到改善；减少超调量，稳定性得到改善；(3)能适应较复杂的情况；能适应较复杂的情况；(4)参数整定简单，参数之间相互影响小。参数整定简单，参数之间相互影响小。(5)积分分离控制属于开关控制，而变速积分积分分离控制属于开关控制，而变速积分控制连续性好，且控制平稳。控制连续性好，且控制平稳。优点：优点：带死区的带死区的PID算式算式 在计算机控制系统中，为了防止执行机构频繁在计算机控制系统中，为了防止执行机构频繁动作，引起
30、系统的不稳定则可以采用带死区的动作，引起系统的不稳定则可以采用带死区的PID控制算式控制算式dkekedkeke)()()(0)(特点是当系统对稳态控制精度要求不很高，如特点是当系统对稳态控制精度要求不很高，如液位控制等。液位控制等。本章小结本章小结 本章首先介绍了控制系统的六种离散化方本章首先介绍了控制系统的六种离散化方法：前向差分法、后向差分法、双线性变法：前向差分法、后向差分法、双线性变换法、阶跃响应不变法、脉冲响应不变法、换法、阶跃响应不变法、脉冲响应不变法、零极点匹配等效法。然后比较了六种方法零极点匹配等效法。然后比较了六种方法的特点。接着介绍的特点。接着介绍PID控制器以及其各种算控制器以及其各种算法。法。本章重点及要求本章重点及要求 重点掌握六种离散化方法及特点重点掌握六种离散化方法及特点 重点掌握重点掌握PID控制器的基本原理、两种形式。控制器的基本原理、两种形式。掌握不完全微分掌握不完全微分PID控制算法、变速积分控制算法、变速积分PID算法。算法。理解积分分离理解积分分离PID算法和带死区算法和带死区PID算法。算法。练习与思考练习与思考 课后课后12.1，12.5，12.7，12.11
