1、吉林建筑工程学院吉林建筑工程学院3-1 3-1 点的投影点的投影3-2 3-2 直线的投影直线的投影3-4 3-4 两直线的相对位置两直线的相对位置3-5 3-5 平面的投影平面的投影3-3 3-3 一般位置直线的一般位置直线的实长及其与投影面的倾角实长及其与投影面的倾角Ya ab ba ab ba ab b 3-1 3-1 点的投影点的投影 一、点的三面投影（立体图）一、点的三面投影（立体图）点是构成立体的最小几何元素。点是构成立体的最小几何元素。a 点点A的水平投影的水平投影a 点点A的正面投影的正面投影a 点点A的侧面投影的侧面投影OYXZWVHaa A AaYaZaXa 展开展开YHW
2、OXZVHYWa a aa Xa Za Y一、点的三面投影（投影图）一、点的三面投影（投影图）点的三面投影特性：点的三面投影特性：1.点的正面投影和水平投影连线必垂直于点的正面投影和水平投影连线必垂直于OXOX轴，即轴，即aaaaOXOX轴轴。展开后点的三面投影展开后点的三面投影:a Xa Ya Za Yaa a YHYWOXZ2.点的正面投影和侧面投影连线必垂直于点的正面投影和侧面投影连线必垂直于OZ轴，即轴，即aaOZ轴。轴。3.点的水平投影到点的水平投影到OX轴的距离等于该点的侧面投影到轴的距离等于该点的侧面投影到OZ轴的距离，即轴的距离，即aa X aa Z。a YYHYWOXZVWH
3、aa Xa Za a a Y一、点的三面投影一、点的三面投影b bb YHYWOXZ【例例31】已知点已知点B的两面投影，求第三面投影。的两面投影，求第三面投影。45bbXZYHYWOb方法一：方法一：利用利用45辅助线辅助线方法二：方法二：利用特性利用特性3：bbXbbZbXbZOYXZWVHA(X,Y,Z)a aa aa aa ay ya ax xa a Z Z二、点的投影与直角坐标的关系二、点的投影与直角坐标的关系 把三面投影体系看成是直角坐标系，则点把三面投影体系看成是直角坐标系，则点A的空间位置可由它到三个投影面的的空间位置可由它到三个投影面的距离，也就是它的三个距离，也就是它的三个
4、坐标坐标来确定。记为来确定。记为A(X,Y,Z)，三个投影的坐标分别为，三个投影的坐标分别为a a(x,y)，a a(x,z)，a a(y,z)，坐标值单位为，坐标值单位为mmmm。如下图：。如下图：XYZ立体图立体图XYZ XA=|A W|=aaaaYY=a aa aZ Z ；投影与坐标的关系投影与坐标的关系 YA=|A V|=aaaax x=a aa az z；ZA=|A H|=a aa aX X=a aa aYY。a a Z投影图投影图a aa a Xa a a a Ya a Ya a YHYWOXZ(x,y)(x,z)(y,z)二、点的投影与直角坐标的关系二、点的投影与直角坐标的关系立
5、体图立体图投影图投影图【例例32】空间点的坐标空间点的坐标A（10，5，20）、）、B（20，0，5）、）、C（0,10,0，），求作三点的立体图和三面投影图。，），求作三点的立体图和三面投影图。OYXZWVHa aa aa aA(10,5,20)b bb bb bB(20,0,5)c cc cc cC(0,10,0)a a a aa a 投影面上的点投影面上的点投影轴上的点投影轴上的点空间空间一般一般点点YWYHOXZb bb bb bc cc cc c三、两点的相对位置和重影点三、两点的相对位置和重影点1 1点与点的点与点的相对位置相对位置 指空间点之间的指空间点之间的左右、前后、上下左右
6、、前后、上下的位置关系。的位置关系。上上下下左左右右左左右右前前后后上上下下前前后后 H投影反映左右、前后关系；投影反映左右、前后关系；V投影反映左右、上下关系；投影反映左右、上下关系；W投影反映前后、上下关系。投影反映前后、上下关系。见右图：见右图：A点在点在 S点之左、后、下方；点之左、后、下方；B点在点在A点之右、前方；点之右、前方；B点在点在S点之前、下方；点之前、下方；C点在点在A点的正右方点的正右方！A点与点与C点的相点的相对位置如何？对位置如何？OYXZWVH三、两点的相对位置和重影点三、两点的相对位置和重影点请分析下图中请分析下图中A、B、C、D的相对位置，并标出重影点的投影。
7、的相对位置，并标出重影点的投影。YHYWOXZA、B为为H面重影点，面重影点，a a在上、在上、b b在下，记为在下，记为 a(ba(b)。A、C为为V面重影点，面重影点，a a在前、在前、c c在后，记为在后，记为 a a(c(c)。A、B为为W面重影点，面重影点，a a在左、在左、b b在右，记在右，记为为 a a(b(b)。(c(c)(d(d)投影图投影图YHXOZYWAa a (c(c)a(a(b b)CBb ba a(d d)c cb bc cDd dd da(ba(b)c ca ab ba ab bd dc cd da ab bc cd da ab bc cd da ab bc c
8、(d d)XZY 3-2 3-2 直线的投影直线的投影ABCDOYHYWXZa aa aa ab bb bb bc c(d d)c cc cd dd d立体图立体图投影图投影图立体上的直线立体上的直线 请分析请分析AB、BC、CD这三段直这三段直线的线的空间位置空间位置和和投投影特点影特点有何不同？有何不同？展开展开直线的投影直线的投影一、直线的分类一、直线的分类直直线线一般位置直线一般位置直线特殊位置直线特殊位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线(简称简称一般线一般线)。投影面平行线投影面平行线投影面垂直线投影面垂直线仅平行于一个投影面的直线。仅平行于一个投影面的直线。垂直
9、于一个投影面的直线。垂直于一个投影面的直线。(H：水平线水平线；V：正平线正平线；W：侧平线侧平线)(H：铅垂线铅垂线；V：正垂线正垂线；W：侧垂线侧垂线)a ab bc cd da ab bc cd da ab bc c(d d)XZYABCD一般线一般线 侧平线侧平线侧垂线侧垂线立体表面上何种位置直线？立体表面上何种位置直线？1.投影面的平行线投影面的平行线立体上的投影面平行线立体上的投影面平行线OYXZWVHABCa ab bc ca ab bc c正平线正平线 ABV 面面水平线水平线 BCH 面面侧平线侧平线 ACW 面面a ab bc c它们的投影它们的投影有何特性？有何特性？二、
10、直线的投影特性二、直线的投影特性水平线投影特性：水平线投影特性：（1）直线的水平投影反映直线的实长，且反映）直线的水平投影反映直线的实长，且反映、角的实角的实形；形；（2）直线的）直线的V投影（投影（a b）平行）平行OX轴，轴，W投影（投影（ab ）平行平行OYW轴轴,均小于实长。均小于实长。投影面平行线的投影面平行线的投影投影：Za a b babbOXYWYHOYXZWVHaba b ab水平线水平线b OYXZWVHa ba ba ab b b ba a正平线正平线正平行投影特性：正平行投影特性：（1）直线的正面投影反映直线的实长，且反映）直线的正面投影反映直线的实长，且反映、角的实角
11、的实形；形；（2）直线的）直线的H投影（投影（ab）平行）平行ox轴，轴，W投影（投影（ab ）平）平行行oz轴轴,均小于实长。均小于实长。a b aABabbOYXZWVHe ee eff e ef e ef侧平线侧平线f侧平行投影特性：侧平行投影特性：（1）（ab ）侧平面投影反映直线的实长，且反映）侧平面投影反映直线的实长，且反映、角的实形；角的实形；（2）直线的）直线的V、H投影（投影（ef、e f）都垂直）都垂直ox轴，均小于实轴，均小于实长。长。EFeef2.投影面的垂直线投影面的垂直线OYXZWVHABCDa(ba(b)a ab ba ab bc cc c(c c)(d d)d
12、dd d立体上的投影面垂直线立体上的投影面垂直线 铅垂线铅垂线 ABH 面面正垂线正垂线 ACV 面面侧垂线侧垂线 ADW 面面它们的投影有它们的投影有何特性？何特性？投影面垂直线的投影面垂直线的投影投影立 体 图 三 视 图 投 影 图 投 影 特 性 正垂线铅垂线侧垂线1a b2ab/O Ya b /O Y、积聚成一点。、，并反映实长。H W 1ac2a c/O Za c /O Z 、积聚成一点。、，并反映实长。1a d 2a d/O Xad/O X 、积聚成一点。、，并反映实长。投影面垂直线的两面投影面垂直线的两面投影图投影图:c c(d(d)c cd da(ba(b)a ab be f
13、e fe e f f铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线投影特性：投影特性：（1）在所垂直的投影面上的投影积聚为一点（积聚性）；）在所垂直的投影面上的投影积聚为一点（积聚性）；（2）另外两面投影同时平行于同一投影轴，且反映实长）另外两面投影同时平行于同一投影轴，且反映实长 （显实性）。（显实性）。3.一般位置直线一般位置直线Ya ab ba ab ba ab bOYXZb ba ab ba aa ab b立体上的一般立体上的一般 位置直线位置直线一般线的投影和倾角一般线的投影和倾角直线与直线与H面的倾角面的倾角直线与直线与V面的倾角面的倾角直线与直线与W面的倾角面的倾角a ab bb ba a
14、a ab bXZYHYWOYa ab ba ab ba ab bO一般位置直线的一般位置直线的投影投影：投影特性：投影特性：（1）三面投影均倾斜于投影轴；）三面投影均倾斜于投影轴；（2）投影长度都小于实长；）投影长度都小于实长；（3）倾角的投影都不反映实形。）倾角的投影都不反映实形。从直观图中分从直观图中分析析投影长、实长、投影长、实长、倾角倾角之间有何联系？之间有何联系？三、直线上的点三、直线上的点Ya ab ba ab ba ab bOCc cc cc ca ab bb ba aa ab bXZYHYWO投影特性投影特性：（：（1）点的投影必在直线的同面投影上（）点的投影必在直线的同面投影
15、上（从属性从属性）；）；（2）点分直线所成的比例投影后保持不变（）点分直线所成的比例投影后保持不变（定比性定比性）。）。如下图：如下图：AC/CB=ac/cb=ac/cb=ac/cb.c cc cc c【例例33】点点K K在侧平线在侧平线AB上上,已知点已知点K的正面投影的正面投影k,求求k。(教材教材21页）页）已知已知 作图一作图一 a ab ba ab bXOk ka ab ba ab bXOk ka ab ba ab bXOk k作图二作图二 k k作图步骤作图步骤:作图一：根据作图一：根据定比性定比性 ak/kb=ak/kb,在在H面投影上用定比法作出面投影上用定比法作出;作图二：
16、先补出直线的侧面投影作图二：先补出直线的侧面投影,再根据从属性，利用线上定点的方法求出。再根据从属性，利用线上定点的方法求出。k kk ka ab b任意位任意位置置平行平行【例例34】已知点已知点K在水平线在水平线MN上上,点点K到到V面的距离为面的距离为15mm,求点求点K的的 两面投影。两面投影。(教材教材21页）页）m m n nm mn nm m n nm mn n已知已知 作图作图 15k kk k作图步骤作图步骤:在在H面上作与面上作与OX轴相距为轴相距为15mm的平行线的平行线,该平行线与该平行线与mnmn的交点为的交点为k k；自自k k向上引投影线向上引投影线,在直线的正面
17、投影在直线的正面投影m mn n上求出上求出k k。Z ZABAB 3-3-3 3 一般位置直线的实长及其与投影面的倾角一般位置直线的实长及其与投影面的倾角OXZ ZABABaba b Y YABABABa b abB1A1baa bb Z ZABAB实长实长Y YABABab实长实长省略画图省略画图Z ZABAB35mmb aa b【例例35】已知已知AB=35mm及及a 和和ab,求求a b。Z ZABABY YABABaa【例例36】已知已知AB=35mm、3030、4545及及A点的投影，求点的投影，求AB的水平投影的水平投影ab和正投影和正投影a b。Z ZABAB35mma b a
18、bbb 3-3-4 4 两两直线的直线的相对位置相对位置平行平行相交相交交错交错一般相交一般相交垂直垂直相交相交一般交错一般交错垂直垂直交错交错立体表面相对位置不同的直线立体表面相对位置不同的直线ABCDEFGHL平行平行(BF与LH)垂直交错垂直交错(BC与GE)相交相交(AB与AC)两直线的两直线的相对位置相对位置OX一、两直线平行一、两直线平行a ab ba ab bCDc cd dc cd dAa ab bc cYHYWXZOa aa ab bb bc cc cd dd dd d判别方法判别方法：若两条直线同面投影平行，则这两条直线就：若两条直线同面投影平行，则这两条直线就 平行。平行
19、。如果如果ABCD,则则 ababcdcd,a ab bc cd d,a ab bc cd d；例例1 1判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。对于对于一般位一般位置直线置直线，只要有，只要有两个同面投影互两个同面投影互相平行，空间两相平行，空间两直线就平行。直线就平行。AB/CDabcdc a b d Xb d c a cbadd b a c 对于对于侧平线侧平线，只有两个同只有两个同面面投影投影互相平行，空间直互相平行，空间直线不一定平行。线不一定平行。AB与与CD不平行。不平行。例例2 2判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。XZoYHYW必须求出两直线的必须
20、求出两直线的侧投影，看是否平行。侧投影，看是否平行。abcdb a c d kk X二、两直线相交二、两直线相交判别方法：判别方法：(1)(1)若空间两直线相交，则其同面投影必相交。若空间两直线相交，则其同面投影必相交。(2)(2)交点的交点的V V投影与投影与H H投影连线必垂直投影连线必垂直oxox轴。轴。HVABCDKabcdka b c k d X交点是两直交点是两直线的线的共有点共有点交点连线垂交点连线垂直直OX轴轴 三、两直线交错三、两直线交错OXa ab ba ab bc cd dc c3(4)d dCDA43121(2)b ba ac cd db ba ac cd dH面重影点
21、面重影点投影特性：投影特性：（1）既不平行，又不相交。）既不平行，又不相交。（2）同面投影有时相交，但投影的交点连线不垂直投影）同面投影有时相交，但投影的交点连线不垂直投影轴。轴。1(2)12343(4)V面重影点面重影点a ab ba ab bc cd dc cd d【例例36】判断下图中直线判断下图中直线AB、CD是否相交。是否相交。同面投影同面投影相交相交交点的投影连交点的投影连线垂直于线垂直于OX轴轴结论结论：AB与与CD相交相交判断方法：判断方法：将两直线的同将两直线的同面投影延长后，检面投影延长后，检查是否相交。查是否相交。【例例37】判断下图中直线判断下图中直线AB、CD是否相交
22、。是否相交。a aa ab bb bc cd dc cd da aa ab bb bc cd dc cd d方法一：补方法一：补W投影投影方法二：定比法方法二：定比法a ac cd db b结论结论：AB与与CD不相交不相交【例例38】作一水平线作一水平线MN与与H面相距面相距15mm，并与，并与AB、CD相交。相交。15mmabcdmna m d c b n 四、两直线垂直四、两直线垂直OXa ab ba ab bc cc cCABOXa ab ba ab bc cc cCAB 1.垂直两直线垂直两直线同时平行同时平行于某于某投影面时，它们在该投影面的投投影面时，它们在该投影面的投影影反映直
23、角实形反映直角实形。2.垂直两直线中有垂直两直线中有一条直线一条直线平行平行于某投影面时，它们在该投于某投影面时，它们在该投影面的投影影面的投影也反映直角实形也反映直角实形。问题：空间两直线垂直，其投影是否还垂直？问题：空间两直线垂直，其投影是否还垂直？两直线垂直两直线垂直 垂直两直线中有垂直两直线中有一条直线平一条直线平行行于水平面，它们在该投影面的于水平面，它们在该投影面的投影投影也反映直角实形也反映直角实形。a ab ba ab bc cc cOXa ab ba ab bc cc cCAB证明：证明：BCABBCAB BCBb(BCBCBb(BC是水平线）是水平线）BCBC平面平面Abb
24、a,Abba,又又BCBCbcbc bcbc平面平面Abba,Abba,bcabbcab 垂直两直线中有垂直两直线中有一条直线平行一条直线平行于某投影面时，它于某投影面时，它们在该投影面的投影们在该投影面的投影反映直角实形反映直角实形。(a)与水平线垂直相交与水平线垂直相交(b)与水平线垂直交错与水平线垂直交错(c)与正平线垂直相交与正平线垂直相交(d)与正平线垂直交错与正平线垂直交错a ac ca ab bb bc c(a)(b)a a(c)(c)a ab bb bc cd dd d(c)a ab bb bc ca ac cd dd da ab bb bc ca ac c(d)直角投影定理直
25、角投影定理:练习：练习：判断下图中两直线判断下图中两直线AB与与CD的相对位置。（习题集的相对位置。（习题集19页）页）d da ab bc ca ab bc c(1)d da ab bc ca ab bc cd d(2)a ab bc cd da ab bc c(3)垂直相交垂直相交垂直相交垂直相交相交相交(不垂直不垂直)练习：练习：判断下图中两直线判断下图中两直线AB与与CD的相对位置。（习题集的相对位置。（习题集19页）页）a ab bc ca ab bc c(4)d dd dc ca ab bc ca ab b(5)(6)a aa ab bc cd db bc cd d垂直交错垂直交错
26、相交相交(不垂直不垂直)垂直相交垂直相交作图练习作图练习1.求点求点M到直线到直线AB的距离。的距离。abmm b a n n距离的投影距离的投影2.求两直线求两直线AB、CD之间的距离。之间的距离。aba n m b c C(d)d m(n)距离的实长距离的实长 3-3-5 5 平面的投影平面的投影一一、平面的表示法平面的表示法不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点直线及线直线及线外一点外一点两平行两平行直线直线平面平面图形图形两相交两相交直线直线一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面与三个投影面都倾斜的平面与三个投影面都倾斜的平面(简称简称一般面一般面)。投影面平行面投影面
27、平行面投影面垂直面投影面垂直面平行于一个投影面的平面。平行于一个投影面的平面。仅仅垂直于一个投影面的平面。垂直于一个投影面的平面。(H：水平面水平面；V：正平面正平面；W：侧平面侧平面)(H：铅垂面铅垂面；V：正垂面正垂面；W：侧垂面侧垂面)二、平面的分类二、平面的分类根据平面对于三投影面的位置不同可分为根据平面对于三投影面的位置不同可分为两大类两大类：三、平面的投影特性三、平面的投影特性1.水平面水平面OYZp ppPYHYWOXZp pp投影特性：投影特性：（1）水平投影）水平投影p反映实形；反映实形；（2）正投影）正投影p 积聚成直线，且平行于积聚成直线，且平行于OX轴；侧投影轴；侧投影
28、p积聚成直线，积聚成直线，且平行于且平行于OYOYW W轴轴。2.2.正平面正平面 YZp ppPYHYWOXZp pp投影特性：投影特性：（1）正面投影）正面投影p 反映实形；反映实形；（2）水平投影）水平投影p积聚成直线，且平行于积聚成直线，且平行于OX轴；侧投影轴；侧投影p积聚成直积聚成直线，且平行于线，且平行于OZOZ轴轴。3.3.侧平面侧平面 YZp ppP投影特性：投影特性：（1）侧面投影）侧面投影p反映实形；反映实形；（2）水平投影）水平投影p积聚成直线，且垂直于积聚成直线，且垂直于OX轴；正投影轴；正投影p积聚成直线，积聚成直线，且平行于且平行于OZOZ轴轴。YHYWOXZp
29、pp【例题例题1 1】已知等边已知等边ABCABCHH面，面，求求ABCABC的三面投影。的三面投影。（习题集（习题集2222页页3 32828题）题）a b abcc 解题：解题：1.1.作作abab的垂直平分线；的垂直平分线；2.2.截取截取bcbc=abab得得c c点；点；3.3.连接连接acac。4.4.正垂面正垂面YZYHYWOXZp ppP投影特性：投影特性：（1）正投影）正投影p 积聚成直线，并反映平面的倾角积聚成直线，并反映平面的倾角和和；（2）水平投影）水平投影p和侧投影和侧投影p不反映实形不反映实形，为变小的类似形，为变小的类似形。YZ5.5.铅垂面铅垂面YHYWOXZ投
30、影特性：投影特性：（1）水平投影）水平投影p积聚成直线，并反映平面的倾角积聚成直线，并反映平面的倾角和和；（2）正投影）正投影p 和侧投影和侧投影p不反映实形不反映实形，为变小的类似形，为变小的类似形。p ppPp pp6.6.侧垂面侧垂面 YZ投影特性：投影特性：（1）侧投影）侧投影p 积聚成直线，并反映平面的倾角积聚成直线，并反映平面的倾角和和；（2）水平投影）水平投影p和正投影和正投影p 不反映实形不反映实形，为变小的类似形，为变小的类似形。YHYWOXZp ppPp pp【例题例题1 1】已知正方形已知正方形ABCDABCDH H面面，求求其其V V、H H面投影。面投影。（习题集（习
31、题集2222页页3 32929题）题）a db cb a c d(a)d(b)cYZ7.7.一般位置平面一般位置平面 Aaa a bb Bb c c cCXOYHYWZabcc b a b a c 投影特性：投影特性：（1）三个投影都不反映实形，投影小于实形；）三个投影都不反映实形，投影小于实形；（2）投影图中）投影图中不能直接反映其三个倾角不能直接反映其三个倾角、。四、平面上的点和直线四、平面上的点和直线ABCDK判定定理：判定定理：1.如果点在平面上，那么点一定在该平面内如果点在平面上，那么点一定在该平面内 的一条直线上。的一条直线上。2.如果直线在平面上，那么直线一定通过平面上的如果直线
32、在平面上，那么直线一定通过平面上的两个点。两个点。ABCD例例1已知平面已知平面ABC内一点内一点K的的H投影投影k,试求试求K 点的点的V 投影投影k。2）abca b c k过平面内一个已知点作平面过平面内一个已知点作平面内已知直线的平行线求解内已知直线的平行线求解k X01）abca b c kd过平面内两已知点过平面内两已知点作辅助线求解作辅助线求解k X0ddd 例例2 2判别判别E E、F F点是否在平面点是否在平面ABCABC上。上。abca b c e1e 1f f22判别方法：判别方法：是否在平面上通过是否在平面上通过点取到一条直线。点取到一条直线。练习练习1 1：已知直线：已知直线EFEF在在ABCABC平面上，求直线平面上，求直线EFEF的三面投影。（习题集的三面投影。（习题集2222页页3 32828题）题）fef e cbac b a 211 2 练习练习1 1：已知五边形：已知五边形ABCDEABCDE的的H H投影，及其一边投影，及其一边CDCD的的V V面投影，并面投影，并知知BDBD为水平线，试完成其为水平线，试完成其V V面的投影。（习题集面的投影。（习题集2323页页3 33333题）题）abcded c b a e 作图：1.求BD的投影；2.求A、E点的投影。本本 章章 结结 束束吉林建筑工程学院 制图教研室制图教研室
