1、3.1 3.1 投影法及三视图的形成投影法及三视图的形成3.2 3.2 点点的投影的投影3.3 3.3 直线的投影直线的投影 本章小结本章小结 教学目标教学目标 3.5 3.5 平面内的点和直线平面内的点和直线 3.4 3.4 平面的投影平面的投影3.6 3.6 求直线的实长和平面的实形求直线的实长和平面的实形 第第3 3章章 点、直线和平面的投影点、直线和平面的投影 教学目标教学目标 掌握投影法的基本概念和正投影的基本性质。掌握投影法的基本概念和正投影的基本性质。掌握三视图的形成及投影关系。掌握三视图的形成及投影关系。能够识读和绘制简单形体的三视图。能够识读和绘制简单形体的三视图。掌握点、直
2、线和平面的投影规律与作图法。掌握点、直线和平面的投影规律与作图法。掌握点与线的相对位置中，从属性和定比性的掌握点与线的相对位置中，从属性和定比性的运用。运用。掌握各种位置直线和平面的投影特征，作图方掌握各种位置直线和平面的投影特征，作图方法以及在投影图上正确判断其空间位置。法以及在投影图上正确判断其空间位置。掌握两直线，两平面相对位置的投影特征及判掌握两直线，两平面相对位置的投影特征及判断方法。断方法。3.1 3.1 投影法及三视图的形成投影法及三视图的形成3.1.2 3.1.2 投影法分类投影法分类3.1.3 3.1.3 三视图的形成三视图的形成3.1.1 3.1.1 概述概述3.2 3.2
3、 点点的投影的投影3.2.2 3.2.2 点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系3.2.3 3.2.3 点的三面投影规律点的三面投影规律3.2.1 3.2.1 点的三面投影点的三面投影3.2.5 3.2.5 重影点及其可见性重影点及其可见性3.2.4 3.2.4 两点间的相对位置两点间的相对位置3.5.1 平行平行【例 3-2】过点 P 作一条水平线,使其平行于定平面 ABCD,如图3-34所示。解:过点 C 作属于 ABCD 的直线CE,即先过c作ce,e取在ab上,然后作出ce。然后过点 p 作直线pqce,即pqce、pqce。直线 PQ 即为所求的水平线。3.5.1
4、平行平行3.5.1.2 两平面平行 两平面平行的几何条件:若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线,则这两个平面相互平行。如图3-35所示,位于平面 M 的相交两直线 AD 和 BC与属于平面 N 的两直线 HG 和 FI 对应平行,即ADFI、BCHG,则两平面 M 与 N 平行。【例3-3】判断图3-36所示两平面ABC 和LMN 是否平行。3.5.1 平行平行解:先作属于ABC 和DEF 的一对相交的水平线和正平线,看两平面的相交直线是否对应平行。因此,CE 和BF 为ABC 的水平线和正平线,而LP 和 MQ 为LMN 的水平线和正平线。由图可知:CEMQ(cemq
5、,cemq),BFLP(bflp,bflp),于是两平面平行。3.5.2 相交相交 空间直线与平面相交于一点,这个点称为交点。交点是直线和平面的共有点,既属于直线,又属于平面。平面与平面相交于一条直线,这条直线为交线。交线是相交两平面的共有线。3.5.2.1 一般位置直线与特殊位置平面相交 若直线与平面相交或两平面相交,且其中之一为特殊位置时,可利用该特殊位置直线的某一投影的积聚性,直接求得交点。【例3-4】求直线 MN 与铅垂面CDG 的交点(图3-37)。3.3 3.3 直线的投影直线的投影3.3.2 3.3.2 各种位置直线的投影各种位置直线的投影3.3.3 3.3.3 点与直线点与直线
6、3.3.1 3.3.1 直线的投影直线的投影3.3.5 3.3.5 一边平行于投影面的直角的投影一边平行于投影面的直角的投影3.3.4 3.3.4 两直线的相对位置两直线的相对位置3.4 3.4 平面的投影平面的投影3.4.2 3.4.2 各种位置平面的投影各种位置平面的投影3.4.1 3.4.1 平面的表示法平面的表示法3.5 3.5 平面内的点和直线平面内的点和直线3.5.2 3.5.2 平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线3.5.1 3.5.1 平面内的点和直线的判断条件平面内的点和直线的判断条件3.6 3.6 求直线的实长和平面的实形求直线的实长和平面的实形3.6.2 3.6.2
7、直线的投影变换直线的投影变换3.6.3 3.6.3 平面的投影变换平面的投影变换3.6.1 3.6.1 换面法的基本概念与换面法的基本概念与 投影变换的基本作图投影变换的基本作图3.1.1 3.1.1 概述概述 在日常生活中，人们看到太阳光或灯光照射物体时，在日常生活中，人们看到太阳光或灯光照射物体时，在地面或墙壁上出现物体的影子，这就是一种投影现象。在地面或墙壁上出现物体的影子，这就是一种投影现象。我们把光线称为投射线我们把光线称为投射线(或叫投影线或叫投影线)，地面或墙壁称为，地面或墙壁称为投影面，影子称为物体在投影面上的投影投影面，影子称为物体在投影面上的投影 投影方法投影方法中心投影法
8、中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法单面投影单面投影多面投影多面投影投影面投影面投影面投影面中心投影法得到的投影一般不反映形体的真中心投影法得到的投影一般不反映形体的真实大小。实大小。投影特性投影特性1 1、中心投影法、中心投影法投射中心投射中心投影体投影体A AC CB B投影投影a ab bc c投射线投射线C CA AB Ba ab bc c物体位置改变，物体位置改变，投影大小也改变投影大小也改变度量性较差，作图复杂。度量性较差，作图复杂。3.1.2 3.1.2 投影法的分类投影法的分类能准确、完整地表达出形体的形状和结构，且作能准确、完整地表达出形体的形状和结
9、构，且作图简便，度量性较好，故广泛用于工程图。图简便，度量性较好，故广泛用于工程图。投影特性投影特性投影体投影体A AC CB B投影面投影面立体感较差。立体感较差。投影体投影体A AC CB B投影面投影面a ab bc c斜投影斜投影投射线倾斜投射线倾斜于投影面于投影面a ab bc c正投影正投影投射线垂直投射线垂直于投影面于投影面2 2、平行投影法、平行投影法（正投影法）（正投影法）（斜投影法）（斜投影法）H Ha ac cb b3 3、正投影的基本性质、正投影的基本性质投射方向投射方向A AB BA AB BC Ca ab b（1 1）真实性）真实性H H投射方向投射方向A AB B
10、A AB BC Ca ac cb ba(b)a(b)（2 2）积聚性）积聚性H Ha ac cb b投射方向投射方向A AB BA AB BC Ca ab b（3 3）类似性）类似性 由于用由于用正投影法正投影法得到的得到的投影图能较准确投影图能较准确的表达物体的的表达物体的形形状和大小，状和大小，且作且作图简便，故工程图简便，故工程图样中得到了广图样中得到了广泛应用。泛应用。3.1.3 3.1.3 三视图的形成三视图的形成 一般只用一个方向的投影来表达形体是不确定的，通常一般只用一个方向的投影来表达形体是不确定的，通常须将形体向几个方向投影，才能完整清晰地表达出形体的形须将形体向几个方向投影
11、，才能完整清晰地表达出形体的形状和结构状和结构 设立三个互相垂直的设立三个互相垂直的投影投影平面，构成三面投影体系。这三平面，构成三面投影体系。这三个平面将空间分为八个分角，个平面将空间分为八个分角，(GB4458.1(GB4458.184)84)规定：采用第一规定：采用第一角投影法。角投影法。三面投影体系三面投影体系第一分角第一分角直观图直观图展开投影面展开投影面展开后的三视图展开后的三视图三视图三视图WYWYHHXV0Z(主视图)(俯视图)(左视图)V V面、面、H H面（面（主、俯视图）主、俯视图）长对正长对正。V V面、面、W W面（面（主、左视图）主、左视图）高平齐高平齐。H H面、
12、面、W W面（面（俯、左视图）俯、左视图）宽相等宽相等。直观图直观图总体三等总体三等局部三等局部三等宽宽高长宽宽高长三视图间的对应关系三视图间的对应关系 H H面面(俯视图俯视图)反映了形体的反映了形体的左、右、前、后左、右、前、后方位关系；方位关系；v v面面(主视图主视图)反映了形体的反映了形体的上、下、左、右上、下、左、右位置关系。位置关系。直观图直观图三视图的方位关系三视图的方位关系左左前右下后右后上下前上形体与视图的方位关系形体与视图的方位关系W W面面(左视图左视图)反映了形体的反映了形体的上、下、前、后上、下、前、后位置关系。位置关系。H H三投影面体系的建立：三投影面体系的建立
13、：V V面：正立的投影面；面：正立的投影面；H H面：水平的投影面；面：水平的投影面；W W面：侧立的投影面；面：侧立的投影面；X X轴轴V V与与H H面的交线，代表面的交线，代表长度长度方向；方向；Y Y轴轴H H与与W W面的交线，代表面的交线，代表宽度宽度方向；方向；Z Z轴轴V V与与W W面的交线，代表面的交线，代表高度高度方向；方向；三根投影轴互相垂直，其交点称为原点三根投影轴互相垂直，其交点称为原点O O。Y YX XO OV VZ ZW W1.1.三投影面体系和点的三面投影三投影面体系和点的三面投影3.2.1 3.2.1 点的三面投影点的三面投影H HV VW WY YX X
14、O OZ Z点的三面投影的形成点的三面投影的形成A Aa a a aaa侧立投影面侧立投影面正正立立投投影影面面水平投影面水平投影面A A点的点的Z Z坐标坐标ZaZa=A=A点到点到H H面的距离面的距离AaAa，表示高度。表示高度。x xz zy yX XZ ZY Yw wY YH HO Oa a a aaaV VW WY YX XO OZ ZA Aa a a aaaH HA A点的点的X X坐标坐标XaXa=A=A点到点到W W面的距离面的距离AaAa ，表示长度；表示长度；A A点的点的Y Y坐标坐标YaYa=A=A点到点到V V面的距离面的距离AaAa ，表示宽度；表示宽度；3.2.
15、2 3.2.2 点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系V VW WY YX XO OZ ZA Aaaa aaaH H (2)(2)点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应 投影面的距离。投影面的距离。(1)(1)点的两面投影的连线，必定垂直于投影轴。点的两面投影的连线，必定垂直于投影轴。X XZ ZY Yw wY YH HO Oa aaaaa3.2.3 3.2.3 点的三面投影规律点的三面投影规律O OX XZ ZY YW WY YH H202030301010aaa aaa例例1 1：已知点：已知点A A（3030，1010，2020
16、），），求作它的三面投影图。求作它的三面投影图。1.1.两点的相对位置两点的相对位置空间两点的相对位置由两点的空间两点的相对位置由两点的坐标差来确定。坐标差来确定。左、右位置由左、右位置由X X坐标差确定。坐标差确定。X XA AX XB B，点，点A A在点在点B B的左方；的左方；前、后位置由前、后位置由Y Y坐标差确定；坐标差确定；Y YA AY YB B，点，点A A在点在点B B的后方；的后方；上、下位置由上、下位置由Z Z坐标差确定。坐标差确定。Z ZA AZ ZB B，点，点A A在点在点B B的下方。的下方。aaaaa ab bbbbbX XZ ZY YW WY YH Ho o
17、3.2.4 3.2.4 两点间的相对位置两点间的相对位置 当空间两点的某两个坐当空间两点的某两个坐标相同时，将处于某一投影标相同时，将处于某一投影面的同一条投影线上，则在面的同一条投影线上，则在该投影面上的投影相重合，该投影面上的投影相重合，成为对该投影面的重影点。成为对该投影面的重影点。重影点的可见性需根据这两个点不相重影点的可见性需根据这两个点不相同的坐标大小来判定。同的坐标大小来判定。Y YE E Y YF F故对面故对面V V，E E可见，可见，F F不可见。不可见。eef f f fe eee(f)(f)X XZ ZY YW WY YH Ho oX XY YZ ZH HW WV VO
18、 Of fe eee(f)(f)eef f F FE E3.2.5 3.2.5 重影点及其可见性重影点及其可见性1.1.直线的投影特性直线的投影特性a ab bB BA A(3)(3)类似性：类似性：直线直线倾斜于投影面时，倾斜于投影面时，其投影小于实长；其投影小于实长；a ab bA AB Ba a(b)(b)A AB B(1)(1)显实性：显实性：直线直线平行与投影面时，平行与投影面时，其投影等于实长；其投影等于实长；(2)(2)积聚性：积聚性：直线垂直线垂直与投影面时，其直与投影面时，其投影积聚为一点。投影积聚为一点。3.3.1 3.3.1 直线的投影直线的投影Y YZ ZH HV VX
19、 Xo oW W 直线的三面投影，可由直线上不同位置的两个点的同直线的三面投影，可由直线上不同位置的两个点的同面投影的连线来确定。面投影的连线来确定。2 2、直线的三面投影、直线的三面投影b ba aB BA Aaabbbbaab bbbbbY YW WY YH Ho oZ ZX Xa aaaaaA A、B B两点的三两点的三面投影图面投影图连接连接ABAB两点的同两点的同面投影，即为直面投影，即为直线线ABAB的投影的投影b bbbbbY YW WY YH Ho oZ ZX Xa aaaaa 空间位置直线在三面体系中空间位置直线在三面体系中,对投影面的相对位对投影面的相对位置有三类：置有三类
20、：一般位置直线一般位置直线 投影面平行线投影面平行线 投影面垂直线投影面垂直线统称为特殊位置直线统称为特殊位置直线1.1.一般位置直线一般位置直线 对三个投影面都倾斜的直线为一般位置直线。对三个投影面都倾斜的直线为一般位置直线。投影特性：投影特性：（1 1）一般位置直线的各面投影都与投影轴倾斜。）一般位置直线的各面投影都与投影轴倾斜。（2 2）一般位置直线的各面投影长度都小于实长。）一般位置直线的各面投影长度都小于实长。3.3.2 3.3.2 各种位置直线的投影各种位置直线的投影aabba ab bbbaaX XZ ZO OY YW WY YH H(1)(1)投影面平行线投影面平行线:平行于某
21、一投影面而与另两投影面平行于某一投影面而与另两投影面倾斜的直线。倾斜的直线。水平线水平线（/H/H面）面）、正平线正平线（/V/V面）面）、侧平线侧平线（/W/W面）面）(2)(2)投影面垂直线投影面垂直线:垂直于某一投影面的直线。垂直于某一投影面的直线。铅垂线铅垂线（HH面）面）、正垂线正垂线（VV面）面）、侧垂线侧垂线（WW面）面）2.2.特殊位置直线特殊位置直线投影面平行线的投影特性：投影面平行线的投影特性：1)1)在所平行的投影面上的投影反映实长；在所平行的投影面上的投影反映实长；2)2)其它投影平行于相应的投影轴；其它投影平行于相应的投影轴；3 3）反映实长的投影与投影轴所夹的角度等
22、于空间直线对相应）反映实长的投影与投影轴所夹的角度等于空间直线对相应投影面的倾角。投影面的倾角。投影面垂直线的投影特性：投影面垂直线的投影特性：1)1)在所垂直的投影面上的投影有积聚性；在所垂直的投影面上的投影有积聚性；2)2)其他投影反映实长，且垂直于相应的投影轴。其他投影反映实长，且垂直于相应的投影轴。Z ZX XY YV VH HW WO OaabbaabbX XZ ZY YH HY YW WO OA AB Ba ab ba ab bbbaaaabbabab与与OXOX和和OYOYH H的夹角的夹角、等于等于 ABAB对对V V、W W面的倾角面的倾角水平线水平线 abab=AB=ABa
23、b/OXab/OX、ab/OYab/OYW W都不反映实长都不反映实长Z ZX XY YO OV VH HW Wc cd dC CD Dc cd dX XZ ZY YH HY YW WO Occddc c ddddccddcccdcd/OX/OX、ab/OYab/OYW W都不反映实长都不反映实长cdcd与与OXOX和和OZOZ的夹角的夹角、等于等于CDCD对对H H、W W面的倾角面的倾角 正平线正平线 cd=CDcd=CDZ ZX XY YO OV VW WH Hf fe ef f eeX XZ ZY YH HY YW WO OF FE Eeeff 侧平线侧平线 ef=EFef=EF ef
24、ef/OY/OYH H、ef/OZ ef/OZ 都不反映实长都不反映实长efef与与OYOYW W和和OZOZ的夹角的夹角、等于等于EFEF对对H H、V V面倾角面倾角ffeef f eee ef fZ ZX XY YO OH HV VW WA AB Baabba(b)a(b)aabbY YW WX XZ ZY YH HO Oaabbbbaaa(b)a(b)ab=ab=AB,ab=ab=AB,且且abOXabOX、abOYabOYW W铅垂线铅垂线:水平投影水平投影a a（b b）积聚一点积聚一点Z ZX XY YO OH HV VW Wc(d)c(d)C CD Dd dc cX XZ ZY
25、 YH HY YW WO Oc(d)c(d)d dc cccddddcc正垂线正垂线:正面投影正面投影cc（dd）积聚一点积聚一点cdcd=cd=CD,=cd=CD,且且cdOXcdOX、abOZabOZZ ZX XY YO OH HV VW Wf fe effeef fe effeeX XZ ZY YH HY YW WO O()ee k kF FE E()()eekk侧垂线侧垂线:侧面投影侧面投影ee（ff）积聚一点积聚一点efef=ef=EF,=ef=EF,且且efef OY OYH H、ef OZef OZY YW WY YH Ho oZ ZX Xaabbbbaab ba a1.1.直线
26、上的点直线上的点 其投影必在该直线的同面其投影必在该直线的同面投影上投影上,且符合点的投影规律且符合点的投影规律.Y YZ ZH HV VX XW Wo ob ba aB BA AbbaabbaaC Cccccc cccccc c2.2.点分线段成定比点分线段成定比AC:CB=AC:CB=ac:cbac:cb=ac:cb=ac:cb=ac:cb=ac:cb点点C C的三面投影必在的三面投影必在ABAB的同面投影上的同面投影上3.3.3 3.3.3 点与直线点与直线H H空间两直线的相对位置有空间两直线的相对位置有:平行、相交、交叉平行、相交、交叉。1.1.平行两直线：平行两直线：空间相互平空间
27、相互平行的两直线行的两直线,它们的各组同它们的各组同面投影也一定相互平行。面投影也一定相互平行。a ab bc cd dX XZ ZY YH HY YW WO Oc cd dccddddcca ab ba a b b bbaaA AB BC CD DAB/CDAB/CD，则，则ab/cdab/cd、ab/cd ab/cd、ab/cdab/cd。反之亦成立。反之亦成立。3.3.4 3.3.4 两直线的相对位置两直线的相对位置 空间两直线空间两直线 ABAB，CDCD相交于点相交于点K K，则交点则交点K K是两直线的共有点。同是两直线的共有点。同时时K K要符合点的投影规律。要符合点的投影规律。
28、X XZ ZY YH HY YW WO Oa ab baabbaabbc cd dc c d d ccddk kkkkkA AB BC CD DK Kc cd da ab bk kabab 、cdcd交于交于k kabab、cdcd交于交于k k abab、cdcd交于交于kk2.2.相交两直线相交两直线aabbccdda ab bc cd dV VH HO OX X 在空间既不平行也不相交的两直在空间既不平行也不相交的两直线，叫交叉直线。它们的三面投影不线，叫交叉直线。它们的三面投影不具有平行或相交两直线的投影特性。具有平行或相交两直线的投影特性。4 43 32211X XO O(4)(4)
29、33a ab bc cd d2(1)2(1)A AB BD DC Cccddaabb3(4)3(4)交点是一对重影交点是一对重影点的投影。点的投影。2(1)2(1)3.3.交叉两直线交叉两直线aabbccc ca ab bbbccaac ca ab baabbccc ca ab b(1)(1)不在同一直不在同一直线上的三点线上的三点(2)(2)一直线上和一直线上和直线外一点直线外一点(3)(3)相交两直相交两直线线1.1.用几何元素表示平面用几何元素表示平面3.4.1 3.4.1 平面的表示法平面的表示法bbccaac ca ab bbbccaaddc ca ab bd d(4)(4)平行两直
30、线平行两直线(5)(5)任意平面图形任意平面图形 平面与投影面的交线，称为平面的迹线。平面与投影面的交线，称为平面的迹线。P PH H-水平迹线水平迹线 P PV V-正面迹线正面迹线 P PW W-侧面迹线侧面迹线Z ZX XY YO OH HV VW Wp px xp py yp pz zp pH Hp pV Vp pw wP PX XZ ZY YH HY YW WO Op pH Hp pV Vp pw wp px xp py yp pz zp py y2.2.用迹线表示平面用迹线表示平面Z ZX XY YO OH HV VW WQ QX XZ ZY YH HY YW WO OQ QH H
31、Q QW WQ QH HQ QW W特殊位置平面的迹线表示特殊位置平面的迹线表示Z ZX XY YO OH HV VW WP PV VO OX XP PP PV V特殊位置平面特殊位置平面1.1.一般位置平面一般位置平面 与三个投影面都倾斜的平面，与三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面。称为一般位置平面。一般位置平面一般位置平面 投影面平行面投影面平行面 投影面垂直面投影面垂直面 一般位置平面的投影特性：一般位置平面的投影特性：ABCABC对三个投影面都倾对三个投影面都倾斜，所以各面投影仍然是三角斜，所以各面投影仍然是三角形，但都不反映实形，而是原形，但都不反映实形，而是原形的类似形。形的
32、类似形。ccbbaaxyHywoc cb ba aaaccbb平面按其对投影面的平面按其对投影面的相对位置可分为三类：相对位置可分为三类：3.4.2 3.4.2 各种位置平面的投影各种位置平面的投影（1 1）投影面平行面：投影面平行面：平行于某一投影面的平面。平行于某一投影面的平面。水平面水平面（HH面）、面）、正平面正平面（VV面）面）、侧平面侧平面（WW面）面）投影面平行面的投影特性：投影面平行面的投影特性：1)1)在所平行的投影面上的投影反映实形；在所平行的投影面上的投影反映实形；2)2)其他投影为有积聚性的直线段，且平行于相应的投影轴。其他投影为有积聚性的直线段，且平行于相应的投影轴。
33、（2 2）投影面垂直面：投影面垂直面：垂直于某一投影面且与另两投垂直于某一投影面且与另两投 影面倾斜的平面。影面倾斜的平面。铅垂面铅垂面（HH面）面）、正垂面正垂面（VV面）面）、侧垂面侧垂面（WW面）面）投影面垂直面的投影特性：投影面垂直面的投影特性：1)1)在所垂直的投影面上的投影为有积聚性的直线段；在所垂直的投影面上的投影为有积聚性的直线段；2)2)其他的投影为原形的类似形。其他的投影为原形的类似形。2 2、特殊位置平面、特殊位置平面H HV VW WX XZ ZY YO OccbbaaaabbccA AB BC Cc cb ba ax xz zY YH HYwYwo oc cb ba
34、aaabbccccbbaa水平面：水平投水平面：水平投影反映实形影反映实形正面投影、侧面投影均积聚成直线，正面投影、侧面投影均积聚成直线，分别平行于分别平行于OXOX、OYOYW W轴。轴。水平面水平面H HV VX XZ ZY YO OW Waabbccccbbaa水平投影、侧面投影均积水平投影、侧面投影均积聚成直线，分别平行于聚成直线，分别平行于OXOX、OZOZ轴轴xzYHYwoc cb ba aA AB BC Caabbccc cb ba accbbaa正平面：正面投正平面：正面投影反映实形影反映实形正平面正平面侧平面：侧平投侧平面：侧平投影反映实形影反映实形H HV VW WX XZ
35、 ZY YO Ox xz zY YH HYwYwo oc cb ba aaabbccbbaaccbbaaccbbaaccc cb ba aA AB BC C水平投影、正面投影积水平投影、正面投影积聚成直线，分别平行于聚成直线，分别平行于OYOYH H、OZOZ轴轴侧平面侧平面H HV VW WX XZ ZY YO OY YH Hx xz zYwYwo oc cb ba aaabbccbbaaccaabbccB BC CA Aaaccbb正面投影和侧面投正面投影和侧面投影为原形的类似形影为原形的类似形c cb ba a铅垂面：水平铅垂面：水平投影积聚为直投影积聚为直线段线段铅垂面铅垂面H HV
36、VW WX XZ ZY YO Ox xz zY YH HYwYwo oA AB BC Cc cb ba aaabbccc cb ba abbaacca a ccbb正垂面：正面投正垂面：正面投影为有积聚性的影为有积聚性的直线段直线段。水平投影和侧投影水平投影和侧投影为原形的类似形为原形的类似形aabbcc正垂面正垂面V VW WX XZ ZY YO OH Hc cb ba aA AB BC Caabbccbbaaccc cb ba aaabbccbbaaccx xz zY YH HYwYwo o侧垂面：侧面投侧垂面：侧面投影为有积聚性的影为有积聚性的直线段。直线段。正面投影和水平正面投影和水平
37、投影为原形的类投影为原形的类似形似形侧垂面侧垂面1.1.平面上取直线平面上取直线几何条件：几何条件：（1 1）一直线通过属于平面上的两点。）一直线通过属于平面上的两点。（2 2）一直线通过属于平面上的一点，且平行于该平面另一直线。）一直线通过属于平面上的一点，且平行于该平面另一直线。2.2.取属于平面的点取属于平面的点几何条件：若点在平面内的任意直线上，则此点一定在该平面上。几何条件：若点在平面内的任意直线上，则此点一定在该平面上。3.3.平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线 凡在平面上且平行于某一投影面的直线凡在平面上且平行于某一投影面的直线,称为平面上的投称为平面上的投影面平行线。影面
38、平行线。平面上的投影面平行线，不仅符合平面上平面上的投影面平行线，不仅符合平面上 直线的几何条直线的几何条件，而且具有投影面平行线的投影特性。件，而且具有投影面平行线的投影特性。3.5.1 3.5.1 平面内的点和直线的判断条件平面内的点和直线的判断条件bbcca ab bc cX XO Oaam m m mccaab b a ab bc cX XO Om m n n m mn nd d d d例：已知平面例：已知平面ABCABC，试作出属于该平面的任意一直线。试作出属于该平面的任意一直线。1 12 2c c aabba ab bc cX XO Om m n n m mn nk kkk例：取属
39、于平面的点例：取属于平面的点 m m1122f f 3 3mmf fX XO Oc ca ab baabbcc33X Xb bO Oaabbc ca accm mn nX XO Oaabbc ca ab bccmmm ml lnnmm3.5.2 3.5.2 平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线3.6.1 3.6.1 换面法的基本概念与换面法的基本概念与 投影变换的基本作图投影变换的基本作图 当直线或平面对投影面处于平行位置时，其投影才反映实形。当直线或平面对投影面处于平行位置时，其投影才反映实形。为了求出一般位置直线的实长或平面的实形，可以设置一个新的投为了求出一般位置直线的实长或平面的实
40、形，可以设置一个新的投影面来替换原投影面体系中的某一个投影面，组成一个新的投影面影面来替换原投影面体系中的某一个投影面，组成一个新的投影面体系，使直线或平面在该投影面体系中处于特殊位置，达到解题简体系，使直线或平面在该投影面体系中处于特殊位置，达到解题简化的目的，这种方法称为化的目的，这种方法称为变换投影面法变换投影面法，简称，简称换面法换面法。X X正平线正平线X X水平面水平面 一般位置直线一般位置直线X XX X一般位置平面一般位置平面 不反映实不反映实长长不反映不反映实形实形反映反映实长实长反映反映实形实形V VH HX XV V1 1X X1 1A AC CB Bc ca ba ba
41、abbccaabbcc反映反映ABCABC平平面的实形面的实形（1 1）新投影面必须垂直于原投影体系中的一个投影）新投影面必须垂直于原投影体系中的一个投影面，这样才能建立一个新的直角投影面体系，以便利面，这样才能建立一个新的直角投影面体系，以便利用正投影法作图。用正投影法作图。（2 2）新投影面必须使直线或平面处于有利于解题的）新投影面必须使直线或平面处于有利于解题的位置，使问题求解简便。位置，使问题求解简便。在换面法中，新投影面的设置在换面法中，新投影面的设置 必须满足以下两个条件：必须满足以下两个条件：V V1 1H HX X1 1b1 a a b b b ba aX XV VH Ha a
42、1 1 AB=aAB=a1 1bb1 1 为为直线直线ABAB对对投影面投影面H H的倾角的倾角思考：如果想思考：如果想求求角，应该角，应该换哪一个投影换哪一个投影面面3.6.2 3.6.2 直线的投影变换直线的投影变换 求一般位置直线的实长和对投求一般位置直线的实长和对投影面的倾角。影面的倾角。应该如何绘制新投影轴呢？应该如何绘制新投影轴呢？求投影面垂直面的实形。求投影面垂直面的实形。V V1 1H HX X1 1c c1 1X XV VH Hc cc c bbb bb b1 1 a a1 1 a aa a ABCABC平平面的实形面的实形3.6.3 3.6.3 平面的投影变换平面的投影变换
43、H H2 2XVHc ca ab baabbcc换面法的应用举例换面法的应用举例例例 求求C C点到直线点到直线ABAB的距离，并画出距离的投影。的距离，并画出距离的投影。(k)(k)c ca(b)a(b)B BA AC C分析分析K K(k(k2 2)X X1 1V V1 1H H1 1X X2 2V V2 2H H1 1X XV VH Hc ca ab baabbcca a2 2(b b2 2)c c2 2 a a1 1c c1 1b b1 1CK=CK=c c2 2kk2 2kkk kk k1 1X X例例 求平面求平面P P的实形的实形X X1 1H H1 1V V1 11 14 41
44、 15 51 12 21 13 31 14 45 545 45 1 1112 23 323 23 X X 解题方法小结：解题方法小结：分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几体与投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。何元素（点、线、面等）。根据要求得到的结果，确定出有关几何元素处根据要求得到的结果，确定出有关几何元素处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。确的解题思路与方法。本章学习难度较大，建议多做练习，多进行空间本章
45、学习难度较大，建议多做练习，多进行空间分析和想像，以培养空间思维能力。分析和想像，以培养空间思维能力。点、直线平面是构成形体的基本几何元素，研究它点、直线平面是构成形体的基本几何元素，研究它们的投影是为了正确表达形体和解决空间几何问题们的投影是为了正确表达形体和解决空间几何问题,奠定理论基础和提供有力的分析手段。奠定理论基础和提供有力的分析手段。点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。在平面上确定直线和点的方法。在平面上确定直线和点的方法。点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影 特性。特性。本章小结本章小结
