1、33.3点到直线的距离点到直线的距离33.4两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离一、阅读教材P106109回答1点P(x0，y0)与直线l：AxByC0的位置关系：点P在直线l上；点P不在直线l上点P不在直线l上时，点P(x0，y0)到直线l的距离d Ax0By0C0Ax0By0C02点P(x0，y0)到直线yb的距离d ；到直线xa的距离d.3直线xa与xb之间的距离为.4直线l1：AxByC10与直线l2：AxByC20之间的距离为 .|x0a|ba|y0b|二、解答下列问题：1点P(1，2)到直线x3y30的距离为 .2两平行线l1：3x4y10和l2：3x4y15之间的距离为 .3
2、在x轴上与直线3x4y50的距离等于5的点的坐标为 .1本节学习重点：点到直线距离公式、两平行直线之间的距离的推导及应用本节学习难点：点到直线距离公式的推导轴对称一、点A到直线l的距离是直线l上所有点P到定点A的距离中的最小值当|PA|最小时，PAl.在应用点到直线距离公式时，直线方程要化为一般形式注意：只有当l1、l2中x、y项的系数分别对应相等时，才能应用该公式*三、对称问题1中心对称点A(x1，y1)关于点P(x0，y0)对称点A的坐标为(2x0 x1,2y0y1)，即P为A与A的中点中心对称问题实质是中点坐标公式的变形2轴对称(1)设直线l1l，则l1关于l对称的直线l2是与l平行且到
3、l的距离等于l1到l的距离的一条直线所以与直线l距离为d的点的轨迹是两条平行线，它们与l平行若l1l2，则到l1与l2距离相等的点的轨迹是一条与l1和l2都平行且与l1和l2距离相等的直线(2)设l1与l相交于点P，则l1关于l的对称直线l2的求法如下：设M(x，y)为直线l2上任一点，它关于l的对称点M(x，y)在l1上，则由MMl及MM中点在l上列出方程组解出x，y，由M在l1上代入可得l2的方程在l1上取异于P的另一点Q，求出Q关于直线l的对称点Q，则直线PQ即为直线l2.3关于轴对称问题要牢记两点：一是对称的两点连线与轴垂直通过直线斜率来体现；二是对称的两点的中点在轴上，由中点坐标代入
4、轴的方程来表达另外一些特殊的轴对称问题也应注意当特殊直线为对称轴时经过用基本方法推导可得如下结论(不是下述特殊直线的用基本方法)(1)点P(x，y)关于x轴对称点(x，y)，曲线f(x，y)0关于x轴对称曲线方程为f(x，y)0；(2)点(x，y)关于y轴对称点为(x，y)；曲线f(x，y)0关于y轴对称曲线为f(x，y)0；(3)点(x，y)关于xa对称点为(2ax，y)；曲线f(x，y)0关于xa对称曲线方程为f(2ax，y)0；(4)点(x，y)关于yb对称点为(x,2by)；曲线f(x，y)0关于yb对称曲线方程为f(x,2by)0；(5)点(x，y)关于yx对称点为(y，x)；曲线f
5、(x，y)0关于yx对称曲线方程为f(y，x)0；(6)点(x，y)关于yx对称点为(y，x)；曲线f(x，y)0关于yx轴对称曲线方程为f(y，x)0；(7)点(x，y)关于yxb对称点为(yb，xb)；曲线f(x，y)关于yxb对称曲线方程为f(yb，xb)0；(8)点(x，y)关于yxb对称点为(yb，xb)；曲线f(x，y)关于yxb轴对称曲线方程为f(yb，xb)0；这么多条，记忆起来是不是很麻烦，应用起来特别易混不用担心，记忆方法很简单，只有两条：关于坐标轴对称的：关于x轴将y变y，关于y轴将x变x即可；关于直线xa对称将x换作2ax；关于直线yb对称将y换作2by.对称轴AxBy
6、C0中，|A|B|1的，直接解出x，y代入即可，例如：点P(2,3)关于直线xy40的对称点坐标(x0，y0)求法，在方程中解出xy4，x0341，在方程中解出yx4，y0246.曲线yx2关于直线xy10的对称曲线方程为：(1x)(1y)2(x1y，y1x)(2)因为直线y6平行于x轴，所以d|6(2)|8.(3)因为直线x4平行于y轴，所以d|43|1.过点P(1,2)引直线，使A(2,3)、B(4，5)到它的距离相等，则这条直线的方程是()A4xy60Bx4y60C2x3y70，或x4y60D3x2y70，或4xy60答案D分析设出过P(1,2)的直线方程后，可利用点到直线的距离公式解之
7、也可由平面几何知识知，过P与直线AB平行的直线，以及过P与AB中点的直线到A、B的距离相等解析解法1：kAB4，过P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y24(x1)，即4xy60.此直线符合题意即3x2y70.此直线也是所求故所求直线方程为4xy60，或3x2y70.应选D.解法2：显然这条直线斜率存在设直线方程为ykxb，据条件有总结评述：解法2是解此类题的通法.例2两平行直线3x4y120和6x8y110的距离为_解析将直线方程3x4y120化为6x8y240.点评求两平行直线之间的距离，应用公式前，必须将两直线方程中x、y的系数化成相同的情形，这是易错的地方 例 3 已 知 A B C
8、 中，A(1,1)，B(m，)，C(4,2)(1m4)，求m为何值时，ABC的面积S最大分析以AC为底，则点B到直线AC的距离就是高，求出S与m之间的函数关系式，求函数最值即可设ABC中两条高所在直线的方程为2x3y10和xy0，且它的一个顶点是A(1,2)BC边所在直线的方程为_，ABC的面积为_分析观察点A不在已知两条高线方程上，可求出AB、AC边方程解析由题意知：点A不在两条高所在直线上，故这两条直线分别是AB和AC边上的高AB与AC分别和两条高垂直，可设AB，AC两条边所在直线方程分别为3x2ym0和xyn0，过A(1,2)，m7，n1，方程为：3x2y70和xy10.得B，C两点坐标
9、分别为(7，7)和(2，1)，BC所在的直线为2x3y70.例4两互相平行的直线分别过A(6,2)、B(3，1)，并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行线间的距离为d，(1)求d的变化范围；(2)求当d取得最大值时的两条直线方程解析解法1：(1)设两条直线方程分别为ykxb1和ykxb2，点评上面我们用两种思路作了解答，不难发现解法2比解法1简捷的多，这足以显示数形结合的威力，在学习解析几何过程中，一定要有意识的往形上联系，以促进数形结合能力的提高和思维能力的发展若A(6,2)，B(3，1)，过点B的直线l与点A的距离为d.(1)d的取值范围为_；(2)当d取最大值时，直线l的方程为_解析(1)
10、用数形结合法容易得到，当直线lAB时，d取最大值，当l经过A、B时，d取最小值，例5(1)求直线2x11y160关于点P(0,1)对称的直线方程(2)求直线2xy10关于直线xy20对称的直线方程(3)若两平行直线3x4y10与6x8y30关于直线l对称，求l的方程解析(1)解法1：所求直线与直线2x11y160平行，它们到P点距离相等，设所求直线方程2x11yC0，由点P到两直线距离相等解出C38，所求直线方程为2x11y380.解法2：设M(x，y)是所求直线上任一点，它关于点P(0,1)的对称点(x,2y)在直线2x11y160上，2(x)11(2y)160即2x11y380.(2)设所
11、求直线上任一点M(x，y)，它关于直线xy20的对称点M(x1，y1)，代入M所在直线方程2xy10中得：2(y2)(x2)10，即x2y50.点评对称问题教材上没有介绍，但线段AB的中点为P，即A与B关于点P对称，因此学习了中点坐标，就应同时掌握中心对称点的特征，同样学习了点到直线的距离公式，就应当了解轴对称的相关知识一条光线沿直线x2y30方向射到直线xy0上且被反射，则反射光线所在直线方程为()A2xy30 B2xy30C2xy30 D2xy30答案D解析反射光线l与入射光线x2y30关于直线xy0对称，故l：2xy30.总结评述：反射问题要抓住入射角等于反射角找出入射光线所在直线和反射
12、光线所在直线的关系反射问题实质就是对称问题一、选择题答案D2过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有()A3条B2条C1条D0条答案B解析解法1：设所求直线方程为y3k(x1)即kxy3k0二、填空题3两条平行线分别经过点(1,0)和(0,5)，且两条直线的距离为5，它们的方程是_答案y5和y0或者5x12y600和5x12y50.解析设l1：ykx5，l2：xmy1，在l1上取点A(0,5)由题意A到l2距离为5，l1：y5或5x12y600，结合l2斜率不存在的情况知两直线方程分别为：l1：y5，l2：y0；或l1：5x12y600，l2：5x12y50.4光线由点P(2,3)射到直线x
13、y10上，反射后经过点Q(1,1)，则反射光线所在的直线方程为_答案4x5y10解析P关于直线xy10对称点P(4，3)，反射光线所在直线为PQ：4x5y10.5ABC中，A(3,2)，B(1,5)，C点在直线3xy30上，若ABC的面积为10，则点C坐标为_6ABC中，B、C的平分线所在直线的方程分别为x0，yx，顶点A(3，1)，BC边所在直线的方程为_答案2xy50解析A(3，1)，B的平分线方程为x0，A关于直线x0的对称点A1(3，1)在直线BC上，C的平分线为yx，A关于直线yx的对称点A2(1,3)在直线BC上，A1、A2都在BC所在的直线上直线BC的方程为2xy50.三、解答题7直线y2x是ABC中C的平分线所在直线，若A(4,2)，B(3,1)，求点C的坐标，并判断ABC的形状解析设A关于y2x的对称点A(a，b)
