1、*立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*空间中的角有：空间中的角有：异面直线所成角异面直线所成角,线面角线面角,二面角。二面角。立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*b空间角空间角一、异面直线所成的角：一、异面直线所成的角：aaO立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*1.两条异面直线所成的角：两条异面直线所成的角：平移其中一条直线或者两条直线，找出平移其中一条直线或者两条直线，找出两异面直线所成的角，然后解三角形；如两异面直线所成的角，然后解三角形；如果求出的是钝角，则取其补角；果求出的是钝角，则取其补角；先求两条异面直线的方向向量所成的角，先求两条异面直线的方向向量所成的角，但如
2、果求出的是钝角，要注意转化成相应但如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角的锐角.方法论坛方法论坛 立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*ABDCA1B1D1C1在正方体在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线A1B和和B1C所成的角？所成的角？A1B和和B1C所所成的角为成的角为60立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*在边长为在边长为1的正方体的正方体AC1中，中，M,N分分别是别是A1A和和B1B的中点，求异面直线的中点，求异面直线CM和和D1N所成的角的余弦？所成的角的余弦？ABDCA1B1D1C1MN1立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*斜线与平面所成的角斜线与平面所
3、成的角平面的一条斜线平面的一条斜线和它在这个平面内的射影和它在这个平面内的射影所成的所成的锐角锐角AOB立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*2.直线和平面所成的角：直线和平面所成的角：“一找二证三求一找二证三求”，三步都必须要清楚地，三步都必须要清楚地写出来写出来.向量法，先求直线的方向向量与平面的法向量法，先求直线的方向向量与平面的法向量所成的角向量所成的角 ，令所要求的角为，令所要求的角为，则，则Sin=|Cos|立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*若斜线段若斜线段AB的长度是它在平面的长度是它在平面内内的射影长的的射影长的2倍，则倍，则AB与与所成的所成的角为角为 。60AO
4、B立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*正三棱锥正三棱锥PABC中，中，PA ，AB1求侧棱求侧棱PA与底面与底面ABC所成的角所成的角PABCHD23123立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*从一条直线出发的两个半平面所形成从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这条直线叫做二面角的棱从一条直线出发的两个半平面所形成从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这条直线叫做二面角的棱立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意
5、一点为端点，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角这两条射线所成的角叫做二面角的平面角O立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*3.平面与平面所成的角平面与平面所成的角:“一找二证三求一找二证三求”.一找：找出这个二面角一找：找出这个二面角的平面角；二证：证明所找角即为二面角的的平面角；二证：证明所找角即为二面角的平面角；三求：解三角形求角平面角；三求：解三角形求角.向量法向量法:先求两个平面的法向量所成的角先求两个平面的法向量所成的角为为 ，那么这两个平面所成的二面角的平面，那么这两个平面所
6、成的二面角的平面角为角为 或或 .cos原原射射影影SS 立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*ABCD求正四面体的侧面与求正四面体的侧面与底面所成的二面角底面所成的二面角的余弦？的余弦？立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*ABDCA1B1D1C1如图，在长方体如图，在长方体AC1中，中，AD=2,DC=1,DD1=2/3,求二面角求二面角D1ACD的大小？的大小？H1122立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*注意：注意：(1)在求角时，若比较容易建在求角时，若比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，则用向量立坐标系，找出各点的坐标，则用向
7、量方法比较好；否则，用非向量方法比较方法比较好；否则，用非向量方法比较简便简便.(2)用非向量方法求角时，要做到用非向量方法求角时，要做到“一找二证三求一找二证三求”，在解题过程中一定，在解题过程中一定要出现形如要出现形如“就是所要求的角就是所要求的角”的的句子句子.立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*【例【例3】如图，四棱锥】如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为的底面是边长为a的的正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD,PD=AD,找出二面角找出二面角A-PB-C的平面角的平面角 ABCDPE立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*（1）平移法：平移法：即根据定义，以即根据定
8、义，以“运动运动”的观点，用的观点，用“平移转化平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。的方法，使之成为相交直线所成的角。（2）补形法：补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。发现两条异面直线的关系。(3)坐标法立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*直线与平面平行或在平面内，直线和平面所成的角的是0；斜线和平面所成的角是：斜线及斜线在平面上的射影所成的角。直线与平面垂直，直线和平面所成的角是90；通常是从斜线上找特殊点，作平面的垂线段，构作含所求线
9、面角的三角形求之。求斜线与平面所成的角，关键是找准斜线段在平面内的射影；立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*例例2.2.如图如图,在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中，中，AB=BC=CAAB=BC=CA，PAPA底面底面ABCABC，D D为为ABAB的中点的中点 (1)(1)求证：求证：CDPBCDPB；(2)(2)设设PA=AB,PA=AB,求二面角求二面角A-PB-CA-PB-C的正切值的正切值.B BA AP PD DC CO立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*(1)(1)垂线法垂线法利用三垂线定理作出平利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小面角，通过解直
10、角三角形求角的大小立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*当直线与平面垂直时，直当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是线与平面所成的角是90当直线在平面内或当直线在平面内或与平面平行时，与平面平行时，直线与平面所成的角直线与平面所成的角是是0立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角。3 3、二面角、二面角 二面角的大小用它的平面角来度量；（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角；AB求二面角常用方法有：立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*（3）垂面法：作二面角棱的垂面，则垂面和二面角的两个面的交线所成的角即是该二面角的平面角。（2）
11、用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角；如图，由三垂线定理(或逆定理),过二面角-a-的一个面上一点P向另一个面作垂线PA，再由垂足A(或点P)向棱作垂线AB(或PB)，连PB(或AB)，则PBA就是二面角-a-的平面角。APBa立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*二、二、斜线和平面所成的角：斜线和平面所成的角：射影射影垂线垂线斜线斜线立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题*求直线与平面所成的角时求直线与平面所成的角时,应注意的问题应注意的问题:(1)先判断直线与平面的位置关系先判断直线与平面的位置关系(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：作出或
12、找出斜线上的点到平面的垂线作出或找出斜线上的点到平面的垂线作出或找出斜线在平面上的射影作出或找出斜线在平面上的射影求出斜线段，射影，垂线段的长度求出斜线段，射影，垂线段的长度解此直角三角形解此直角三角形立体几何中的角度问题立体几何中的角度问题1庄子用“郊祭之牺牛”作比，说明自己只要到了楚国，就会被楚国治罪。2从庄周拒绝楚王聘任，可以看出庄子拒绝功名利禄，追求自由的精神。3.我记得有一句著名的格言是这样的:“真理诞生于一百个问号之后”。其实,应该说,这句格言本身也是真理。4.这次假期作业能全部完成的同学,充其量只能说占全班的十分之二、三,至于完成的质量就更不好说了。5庐冢，也叫“庐墓”，古时为了表示孝顺父母或尊敬师长，在他们死后服丧期间，为守护坟墓而盖的屋舍。6古代以山南水北为阴，山北水南为阳。故“以其乃华山之阳名之也”中的“华山之阳”是指华山的北面。
