1、2022年全国统一高考数学试卷（新高考）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合A1，1，2，4，Bx|x1|1（）A1，2B1，2C1，4D1，42（5分）（2+2i）（12i）（）A2+4iB24iC6+2iD62i3（5分）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA，BB，DD是桁，相邻桁的水平距离称为步，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为0.5，1，k2，k3已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3（）A
2、0.75B0.8C0.85D0.94（5分）已知向量（3，4），（1，0），+t，若，则t（）A6B5C5D65（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻（）A12种B24种C36种D48种6（5分）若sin（+）+cos（+）2（+）sin，则（）Atan（）1Btan（+）1Ctan（）1Dtan（+）17（5分）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，则该球的表面积为（）A100B128C144D1928（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）（xy）f（x）f（y），f（1）1，则f（k）（）A3B2C0D1二、选择题：本题
3、共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）已知函数f（x）sin（2x+）（0）的图像关于点（，0），则（）Af（x）在区间（0，）单调递减Bf（x）在区间（，）有两个极值点C直线x是曲线yf（x）的对称轴D直线yx是曲线yf（x）的切线（多选）10（5分）已知O为坐标原点，过抛物线C：y22px（p0）焦点F的直线与C交于A，B两点，点M（p，0）若|AF|AM|，则（）A直线AB的斜率为2B|OB|OF|C|AB|4|OF|DOAM+OBM180（多选）11（5分）如图，四边形ABCD为正
4、方形，ED平面ABCD，ABED2FB记三棱锥EACD，FABC1，V2，V3，则（）AV32V2BV3V1CV3V1+V2D2V33V1（多选）12（5分）若x，y满足x2+y2xy1，则（）Ax+y1Bx+y2Cx2+y22Dx2+y21三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知随机变量X服从正态分布N（2，2），且P（2X2.5）0.36（X2.5） 14（5分）曲线yln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ， 15（5分）设点A（2，3），B（0，a），若直线AB关于ya对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）21有公共点，则a的取值范围是 16（5分）已知直线l与
5、椭圆+1在第一象限交于A，B两点，N两点，且|MA|NB|，则l的方程为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知an是等差数列，bn是公比为2的等比数列，且a2b2a3b3b4a4（1）证明：a1b1；（2）求集合k|bkam+a1，1m500中元素的个数18（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b1，S2，S3已知S1S2+S3，sinB（1）求ABC的面积；（2）若sinAsinC，求b19（12分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）
6、估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20，70）的概率；（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间40，50）的人口占该地区总人口的16%从该地区中任选一人，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 ）20（12分）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，E为PB的中点（1）证明：OE平面PAC；（2）若ABOCBO30，PO3，PA521（12分）已知双曲线C：1（a0，b0）的右焦点为F（2，0）x
7、（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1x20，y10过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M从下面中选取两个作为条件M在AB上；PQAB；|MA|MB|注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分22（12分）已知函数f（x）xeaxex（1）当a1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）1，求a的取值范围；（3）设nN*，证明：+ln（n+1）2022年全国统一高考数学试卷（新高考）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
8、要求的。1（5分）已知集合A1，1，2，4，Bx|x1|1（）A1，2B1，2C1，4D1，4【分析】解不等式求集合B，再根据集合的运算求解即可【解答】解：|x1|1，解得：7x2，集合Bx|0x4AB1，2故选：B2（5分）（2+2i）（12i）（）A2+4iB24iC6+2iD62i【分析】由已知结合复数的四则运算即可求解【解答】解：（2+2i）（82i）26i+2i4i262i故选：D3（5分）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA，BB，DD是桁，相邻桁的水平距离称为步，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为0.5，1，k
9、2，k3已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3（）A0.75B0.8C0.85D0.9【分析】由题意，结合等差数列的性质求解即可【解答】解：设OD1DC1CB6BA11，则CC6k1，BB1k4，AA1k3，由题意得：k6k30.3，k2k36.1，且，解得k36.9，故选：D4（5分）已知向量（3，4），（1，0），+t，若，则t（）A6B5C5D6【分析】先利用向量坐标运算法则求出（3+t，4），再由，利用向量夹角余弦公式列方程，能求出实数t的值【解答】解：向量（3，（1，+t，（2+t，解得实数t5故选：C5（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站
10、成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻（）A12种B24种C36种D48种【分析】利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果【解答】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有，甲站在两端的情况有24种情况，甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有482424种，故选：B6（5分）若sin（+）+cos（+）2（+）sin，则（）Atan（）1Btan（+）1Ctan（）1Dtan（+）1【分析】由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求，进而可求【解答】解：因为sin（+）+cos（+）2cos（+，所以sin（cos（+，即sin（）2co
11、s（+，所以sin（）cos+sincos（）sin，所以sin（）cossincos（，所以sin（）0，所k，所以k，所以tan（）1故选：C7（5分）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，则该球的表面积为（）A100B128C144D192【分析】求出上底面及下底面所在平面截球所得圆的半径，作出轴截面图，根据几何知识可求得球的半径，进而得到其表面积【解答】解：由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为，如图，设球的半径为R，则轴截面中由几何知识可得，该球的表面积为4R2625100故选：A8（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）（xy）f（x）f（y），f（1）
12、1，则f（k）（）A3B2C0D1【分析】先根据题意求得函数f（x）的周期为6，再计算一个周期内的每个函数值，由此可得解【解答】解：令y1，则f（x+1）+f（x8）f（x），f（x+2）f（x+1）f（x），f（x+8）f（x+2）f（x+1），f（x+8）f（x），则f（x+6）f（x+3）f（x），f（x）的周期为6，令x1，y0得f（1）+f（1）f（1）f（0），又f（x+4）f（x）f（x1），f（2）f（1）f（0）1，f（3）f（2）f（1）3，f（4）f（3）f（2）1，f（5）f（4）f（3）1，f（6）f（5）f（4）2，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）3故选：A二
13、、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）已知函数f（x）sin（2x+）（0）的图像关于点（，0），则（）Af（x）在区间（0，）单调递减Bf（x）在区间（，）有两个极值点C直线x是曲线yf（x）的对称轴D直线yx是曲线yf（x）的切线【分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的判断A、B、C、D的真假【解答】解：因为f（x）sin（2x+）（0）的图象关于点（，0）对称，所以+k，所以k，因为0，所以，故f（x）sin（2x+），令8x+x，故f（x）
14、在（5，）单调递减；x（，），2x+，），根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（，故B错误；令2x+k+，得x，C显然错误；结合正弦函数的图象可知，直线y显然与ysin（6x+，故直线y，故D正确故选：AD（多选）10（5分）已知O为坐标原点，过抛物线C：y22px（p0）焦点F的直线与C交于A，B两点，点M（p，0）若|AF|AM|，则（）A直线AB的斜率为2B|OB|OF|C|AB|4|OF|DOAM+OBM180【分析】由已知可得A的坐标，再由抛物线焦点弦的性质求得B点坐标，然后逐一分析四个选项得答案【解答】解：如图，F（，0），4），A（，），由抛物线焦点弦的性质可得，则，则B（，）
15、，故A正确；，|OF|，故B错误；|AB|8p4|OF|；，|OA|3+|OB|2|AB|2，|AM|5+|BM|2|AB|2，AOB，AMB均为钝角，故D正确故选：ACD（多选）11（5分）如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，ABED2FB记三棱锥EACD，FABC1，V2，V3，则（）AV32V2BV3V1CV3V1+V2D2V33V1【分析】利用等体积法，先求出几何体的体积V，再求出三棱锥EACD，FABC的体积V1、V2，V3VV1V2，可得V1、V2、V3之间的关系【解答】解：设ABED2FB2，ED平面ABCD，|ED|为四棱锥EABCD的高，FBED，|FB|为三棱锥
16、FABC的高，平面ADE平面FBC，点E到平面FBC的距离等于点D到平面FBC的距离，即三棱锥EFBC的高|DC|5，几何体的体积VVEABCD+VEFBC+VEABFSABCD|ED|+SFBC|DC|+SABF|AB|4，V1SACD|ED|，V2SABC|FB|，V4VV1V23故C、D正确，A故选：CD（多选）12（5分）若x，y满足x2+y2xy1，则（）Ax+y1Bx+y2Cx2+y22Dx2+y21【分析】原等式可化为，（x）2+1，进行三角代换，令，则，结合三角函数的性质分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可【解答】解：由x2+y2xy6可得，（x）2+3，令，则，x+y2s
17、in（，3，B对，x2+y2，故C对，D错，故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知随机变量X服从正态分布N（2，2），且P（2X2.5）0.36（X2.5）0.14【分析】利用正态分布曲线的对称性求解【解答】解：随机变量X服从正态分布N（2，2），P（6X2.5）+P（X8.5）0.7，P（X2.5）2.50.365.14，故答案为：0.1414（5分）曲线yln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 xey0，x+ey0【分析】当x0时，ylnx，设切点坐标为（x0，lnx0），利用导数的几何意义表达出切线的斜率，进而表达出切线方程，再把原点代入即可求出x0的
18、值，从而得到切线方程，当x0时，根据对称性可求出另一条切线方程【解答】解：当x0时，ylnx0，lnx3），y，切线的斜率k，切线方程为ylnx0（xx0），又切线过原点，lnx08，x0e，切线方程为y1，即xey0，当x0时，yln（x），切线方程也关于y轴对称，切线方程为x+ey6，综上所述，曲线yln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为xey0，故答案为：xey0，x+ey715（5分）设点A（2，3），B（0，a），若直线AB关于ya对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）21有公共点，则a的取值范围是 ，【分析】求出AB的斜率，然后求解直线AB关于ya对称的直线方程，利用圆的圆心到
19、直线的距离小于等于半径，列出不等式求解a的范围即可【解答】解：点A（2，3），a），kAB，所以直线AB关于ya对称的直线的向量为：，即：（3a）x2y+2a2，（x+3）2+（y+4）21的圆心（5，2），所以，得12a222a+62，解得a，故答案为：，16（5分）已知直线l与椭圆+1在第一象限交于A，B两点，N两点，且|MA|NB|，则l的方程为 x+y20【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为E，可得kOEkAB，设直线l的方程为：ykx+m，k0，m0，M（，0），N（0，m），可得E（，），kOEk，进而得出k，再利用|MN|2，解得m，即可得出l的方程【解
20、答】解：设A（x1，y1），B（x4，y2），线段AB的中点为E，由+1，+，相减可得：，则kOEkAB，设直线l的方程为：ykx+m，k0，M（，N（0，E（，），kOEk，kk，解得k，|MN|2，2+m7123m212，m5l的方程为yx+4y2，故答案为：x+y2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知an是等差数列，bn是公比为2的等比数列，且a2b2a3b3b4a4（1）证明：a1b1；（2）求集合k|bkam+a1，1m500中元素的个数【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由题意可得a1+d2b1a1+2d4b1，a1+d
21、2b14d（a1+3d），根据这两式即可证明a1b1；（2）由题设条件可知2k12m，由m的范围，求出k的范围，进而得出答案【解答】解：（1）证明：设等差数列an的公差为d，由a2b2a6b3，得a1+d3b1a1+6d4b1，则d6b1，由a2b8b4a4，得a4+d2b12b1（a1+6d），即a1+d2b44d（a1+2d），a1b1（2）由（1）知，d2b12a7，由bkam+a1知，即2k12m，又1m500，故23k11000，则2k10，故集合k|bkam+a2，1m500中元素个数为9个18（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b1，S2，S3已知
22、S1S2+S3，sinB（1）求ABC的面积；（2）若sinAsinC，求b【分析】（1）根据S1S2+S3，求得a2b2+c22，由余弦定理求得ac的值，根据SacsinB，求ABC面积（2）由正弦定理得a，c，且ac，求解即可【解答】解：（1）S1a2sin60a2，S2b2sin60b2，S5c5sin60c5，S1S2+S6a7b5+c8，解得：a5b2+c23，sinB，a3b2+c220，即cosB0，cosB，cosB，解得：ac，SABCacsinBABC的面积为（2）由正弦定理得：，a，c，由（1）得ac，ac已知，sinB，解得：b19（12分）在某地区进行流行病学调查，随
23、机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20，70）的概率；（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间40，50）的人口占该地区总人口的16%从该地区中任选一人，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 ）【分析】（1）利用平均数公式求解即可（2）利用频率分布直方图求出频率，进而得到概率（3）利用条件概率公式计算即可【解答】解：（1
24、）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：50.00110+155.00210+250.01210+350.01710+454.02310+550.02010+650.01710+755.00610+850.0021047.9岁（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20，70）的频率为：（2.012+0.017+0.023+2.020+0.017）100.89，估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20，70）的概率为2.89（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间40，此人患这种疾病为事件C，则P（C|B）0.001420（12分）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAP
25、B，E为PB的中点（1）证明：OE平面PAC；（2）若ABOCBO30，PO3，PA5【分析】（1）连接OA，OB，可证得OAOB，延长BO交AC于点F，可证得OEPF，由此得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面ACE及平面ABE的法向量，利用向量的夹角公式得解【解答】解：（1）证明：连接OA，OB，OP平面ABC，又OA平面ABC，OB平面ABC，OPOB，POAPOB90，又PAPB，OPOP，OAOB，延长BO交AC于点F，又ABAC，O为BF中点，在PBF中，O，E分别为BF，则OEPF，OE平面PAC，PF平面PAC，OE平面PAC；（2）过点A作AMOP，以AB
26、，AF分别为x轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于PO3，PA5，又ABOCBO30，则，设ACt，则C（3，t，设平面AEB的一个法向量为，又，则，则可取，设平面AEC的一个法向量为，又，则，则可取，设锐二面角CAEB的平面角为，则，即二面角CAEB正弦值为21（12分）已知双曲线C：1（a0，b0）的右焦点为F（2，0）x（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1x20，y10过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M从下面中选取两个作为条件M在AB上；PQAB；|MA|MB|注：若选择不同的组合分别解
27、答，则按第一个解答计分【分析】（1）根据渐近线方程和a2b2+c2即可求出；（2）首先求出点M的轨迹方程即为yMxM，其中k为直线PQ的斜率，若选择：设直线AB的方程为yk（x2），求出点M的坐标，可得M为AB的中点，即可|MA|MB|；若选择：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ym（x2）（m0），求出点M的坐标，即可PQAB；若选择：设直线AB的方程为yk（x2），设AB的中点C（xC，yC），求出点C的坐标，可得点M恰为AB中点，故点M在直线AB上【解答】解：（1）由题意可得，2，解得a1，b，因此C的方程为y21，（2）设直线PQ的方程为ykx+b，（k0）y28可得（3k2）
28、x22kbxb220，x1+x3，x1x2，x1x2，设点M的坐标为（xM.yM），则，两式相减可得y1y24xM（x5+x2），y1y2k（x1x2），4xM（x7+x2）+k（x1x6），解得XM，两式相减可得6yM（y1+y2）（x1+x2），y5+y2k（x1+x5）+2b，2yM（x1x2）+k（x8+x2）+2b，解得yM，yMxM，其中k为直线PQ的斜率；若选择：设直线AB的方程为yk（x2），并设A的坐标为（x7，y3），B的坐标为（x4，y7），则，解得x3，y3，同理可得x4，y4，x3+x3，y3+y4，此时点M的坐标满足，解得XM（x3+x6），yM（y2+y4），M为
29、AB的中点，即|MA|MB|；若选择：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F（2，此时不在直线y，矛盾，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ym（x2）（m0）5，y3），B的坐标为（x4，y8），则，解得x3，y3，同理可得x4，y4，此时xM（x3+x6），yM（y3+y4），由于点M同时在直线yx上2m2，解得km，因此PQAB若选择，设直线AB的方程为yk（x2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则，解得x3，y6，同理可得x4，y4，设AB的中点C（xC，yC），则xC（x3+x4），yC（y7+y4），由于|MA|MB|，故M在AB的垂直平分线上C（x
30、xC）上，将该直线yx联立MxC，yMyC，即点M恰为AB中点，故点M在直线AB上22（12分）已知函数f（x）xeaxex（1）当a1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）1，求a的取值范围；（3）设nN*，证明：+ln（n+1）【分析】（1）先求出导函数f（x），再根据导函数f（x）的正负即可得到函数f（x）的单调性（2）构造函数g（x）f（x）+1xeaxex+1（x0），则g（x）g（0）0在x0上恒成立，又g（x）eax+xaeaxex，令h（x）g（x），则h（x）a（2eax+axeax）ex，根据h（0）的正负分情况讨论，得到g（x）的单调性以及最值，判断是否满足题
31、意，即可求出a的取值范围（3）求导易得t2lnt（t1），令t，利用上述不等式，结合对数的运算性质即可证得结论【解答】解：（1）当a1时，f（x）xexexex（x1），f（x）ex（x8）+exxex，ex0，当x（0，+）时，f（x）单调递增，7）时，f（x）单调递减（2）令g（x）f（x）+1xeaxex+1（x2），f（x）1，f（x）+12，g（x）g（0）0在x0上恒成立，又g（x）eax+xaeaxex，令h（x）g（x），则h（x）aeax+a（eax+axeax）exa（2eax+axeax）ex，h（0）2a1，当3a10，即a0，x60，使得当x（0，x5），有0，所以g（x）单调递增，g（x0）g（0）4，矛盾；当2a14，即a，g（x）xeax+xaeaxexeax+ln（4+ax）exex0，所以g（x）在0，+）上单调递减，符合题意综上所述，实数a的取值范围是a（3）求导易得t7lnt（t1），令t，8lnln（2+），ln（），ln（）ln（n+3），即+.+23 / 23
