1、1第第六六章章 机机械械振振动动2机械振动基本要求机械振动基本要求5 5、简谐振动的合成。、简谐振动的合成。理解理解掌握掌握了解了解掌握掌握掌握掌握1 1、如何判断一个物体是否、如何判断一个物体是否 做简谐振动；做简谐振动；2 2、如何建立简谐振动方程；、如何建立简谐振动方程；3 3、如何使用旋转矢量法解、如何使用旋转矢量法解决简谐振动的问题；决简谐振动的问题；4 4、简谐振动的能量特征；、简谐振动的能量特征；3 简谐振动简谐振动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动谐振子谐振子 作简谐振动的物体作简谐振动的物体简谐振动简谐振动复杂振动复杂振动 6-1 6-1 简谐振动简谐振动合成合成分解
2、分解4一、简谐振动的基本规律一、简谐振动的基本规律 kl0 xmoAA222d x+x=0dt22dtxdmxkxFkxmk2令令022d xk+xdtm5 222d x+x0dt微分方程的解：微分方程的解：积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定cos()xAt二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程见同济大学应用数学系主编的见同济大学应用数学系主编的高等数学高等数学第五版下册第五版下册305305页例页例4 46kxF222d x+x=0dtcos()xAt1、简谐振动基本规律：、简谐振动基本规律：简谐振动方程简谐振动方程以上三式都可以看成简谐振动的定义式以上三式都
3、可以看成简谐振动的定义式7sin()At 2cos()22d xa=Atdt 简谐振动物体的速度简谐振动物体的速度 简谐振动物体的加速度简谐振动物体的加速度 cos()xAt由由得得2、简谐振动的速度和加速度、简谐振动的速度和加速度简谐振动的速度和加速度仍然是简谐振动的速度和加速度仍然是简谐振动简谐振动dx=dtv8tx 图图tv图图ta 图图TAA2A2AxvatttAAoooTcos()xAt0取取2Tcos()2Atsin()At v2cos()At2cos()aAt T2x cos()2mtvcos()mat9二、描述简谐振动的物理量二、描述简谐振动的物理量 求振动方程求振动方程2co
4、s()cos()xAtAtT 1 1、位移、振幅、位移、振幅maxAxtx图图AA xT2Tto 最大位移：振幅最大位移：振幅 位移和振幅的单位位移和振幅的单位:mx位移位移10cos()xAt2 2、周期、频率周期、频率kmT2弹簧振子周期弹簧振子周期2T 周期周期cos()AtT注意注意tx图图AA xT2Ttomk21121T 频率频率T22 圆频率圆频率 周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关tx图图AA xT2Ttocos()xAtcos()AtT单位单位:赫兹赫兹Hz单位单位:rad/s12 相位的意义相位的意义:表征任意时刻（表征任意时刻（t）物体振动状）物体振动状态态.物体经
5、一周期的振动，相位改变物体经一周期的振动，相位改变 .23 3、相位、相位cos()xAt相相 位位t(t)初相位初相位单位单位:rad(t)0t ，时时(0 2)一般取或之（）间tx图图AA xT2Tto13000txxvv初始条件初始条件sin()At vcos()xAt0cosxAsinA 0v2200()()1xAAv0sinAv22cossin10cosxAA4、常数和的确定1422020vxA00tanxv 对给定振动系统，对给定振动系统，周期由系统本身性周期由系统本身性质决定，振幅和初质决定，振幅和初相由初始条件决定相由初始条件决定.解决了以上问题，就能求出简谐振动方程解决了以上
6、问题，就能求出简谐振动方程.A 常数常数和和的公式的公式150cosA 2 0,0,00vxt已知已知 求求讨论讨论xvo)2 cos(tAxtx图图AA xT2Tto0sinA vsin0取取2cos()xAtsin()At v016竖直方向悬挂的谐振子竖直方向悬挂的谐振子yO光滑斜面上的谐振子光滑斜面上的谐振子mkx0mk 17单摆小角度摆动在角位移很小的时候，单摆的摆动是简谐振动。在角位移很小的时候，单摆的摆动是简谐振动。角频率和振动的周期分别为：角频率和振动的周期分别为：结论gm运动方程为：运动方程为：TttmaF sinmg220dgdtlgl22lTg0cos()tsin当当时时2
7、022d x xdtml22dmldtta=l18 复摆（物理摆）自学复摆（物理摆）自学hOC 22JTmghCOmgmg19几种简谐振动几种简谐振动201 1、如图：、如图：m=2 21010-2-2kgkg，平衡时弹簧的平衡时弹簧的形变为形变为 l=9.8cm9.8cm。将弹簧压缩。将弹簧压缩9.8cm,9.8cm,物体由静止释放。取开始振动时为计时物体由静止释放。取开始振动时为计时零点，写出振动方程。零点，写出振动方程。解解先求先求kxOml得弹簧的弹性系数为：得弹簧的弹性系数为：sradlgmk/10098.08.9 mgklmgFlmgk/cos()xAt211 1、如图：、如图：m
8、=2 21010-2-2kgkg，平衡时弹簧的平衡时弹簧的形变为形变为 l=9.8cm9.8cm。将弹簧压缩。将弹簧压缩9.8cm,9.8cm,物体由静止释放。取开始振动时为计时物体由静止释放。取开始振动时为计时零点，写出振动方程。零点，写出振动方程。解解cos()xAtsrad/10 2020)(vxA 由初条件：由初条件：x0=9.8cm,v0=0,得得mvxA098.0)(2020 x0mmgF0 x取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点下面确定下面确定 A 和和 ：22mvxA098.0)(2020 振动方程为：振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)msrad/10 0co
9、sxA1x0=9.8cm,v0=0,232、已知某简谐振动的、已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线位移与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。如图所示，试求其振动方程。431.431.715.715.01)(st)(cmx解解00v cos()xAt振动方程为：振动方程为：由图可知：由图可知：cm4.31 A cos1/20 sin0vA2/3 2/3 sin0?00:15.7tx 0cos/2,xAA/2,A 24cos(2/3)/2AA2/1)3/2cos(3/3/2 31.4cmA2/3 cos()xAt?431.431.715.715.01)(st)(cmx15.7cm/2xA1s
10、:t 0v(1)x t1cos()tAt25)SI)(32cos(314.0 tx振动方程为：振动方程为：(1)sin(2/3)0v tA2/3/3 0)3/2sin(23353/，cm4.31 A 2/3cos()xAt?431.431.715.715.01)(st)(cmx?26xoAtx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAoooTT问题：问题：有无更简单、更直观有无更简单、更直观的研究简谐振动的方法？的研究简谐振动的方法？6-2 6-2 旋转矢量法旋转矢量法27一、一、描述谐振动的旋转矢量法描述谐振动的旋转矢量法xoxA1、旋转矢量表示法旋转矢量表示法t=0 t+Ax00c
11、osxA tt cos)xAt（cos)xAt（1 1）矢量的）矢量的模等于简谐模等于简谐振动的振幅振动的振幅A A。（2 2）矢量绕）矢量绕O O点作逆时针点作逆时针方向匀速转动，方向匀速转动，其角速度的大其角速度的大小等于简谐振小等于简谐振动的角频率动的角频率 。（3 3）在）在t t=0=0时，时，矢量矢量A A和和x轴的正轴的正方向夹角为方向夹角为。任意时刻任意时刻t t ，它与，它与x 轴的正方向夹角为轴的正方向夹角为 t+t+28cos()xAt 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动.xAo29xoAx0,v
12、0 Ax0,v0 x0 x0,v0 x=A,v=0 x=-A,v=0 x=0,v 02 2、旋转矢量位置与振动状态的关系旋转矢量位置与振动状态的关系x30用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx 313 3、旋转矢量的应用旋转矢量的应用1、两个同频率谐振动的振动步调两个同频率谐振动的振动步调x1=A1 cos(t+1)x2=A2 cos(t+2)21=(t+2)-(t+1)=2-1两个谐振动的相位差：两个谐振动的相位差：称振动（称振动（2）超前超前振动（振动（1）；若若2 1：称振动（称振动（2）落后落后振动（振动（1）。若若2 2 1 1：取小于取小于 的值。的值。x20t
13、 132当当 =2k ,(k=0,1,2,),两振动步调相同两振动步调相同,称同相称同相 同相和反相同相和反相txoA1-A1A2-A2x1x2T同相同相X20t 1x1=A1 cos(t+1)x2=A2 cos(t+2)=2 2-1 133当当 =(2k+1),(k=0,1,2,),两振动步调相反两振动步调相反,称反相称反相x2TxoA1-A1A2-A2x1t反相反相x0t x1=A 1cos(t+1)x2=A2 cos(t+2)=2 2-1 1342、利用旋转矢量确定初相位利用旋转矢量确定初相位 要求条件：要求条件：x0 与与A的关系，初速度的正负。的关系，初速度的正负。xo1 2/23/
14、2 4/3 已知一质点做简谐振动。已知一质点做简谐振动。t=0 t=0 时的运动状态如下：时的运动状态如下：1 1）位于负最大位移处；位于负最大位移处；2 2）经过平衡位置向位移的负方向）经过平衡位置向位移的负方向运动；运动；3 3）经过平衡位置向位移的正方向运动；）经过平衡位置向位移的正方向运动；4 4）经）经过过1/21/2最大位移处且向位移的正方向运动。试用旋转矢最大位移处且向位移的正方向运动。试用旋转矢量法确定各种情况下的初相。量法确定各种情况下的初相。例例题题3 335例例题题4解解用旋转矢量法求解。用旋转矢量法求解。0,2/7.15:000 vAxt xo230,2/7.15:11
15、 vAxt2/A2/A t20 314SI3xAcos(t).cos(t)()431.431.715.715.01)(st)(cmx此时旋转矢量在哪里？此时旋转矢量在哪里？已知某简谐振动的已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线如图位移与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。所示，试求其振动方程。（A、）363、研究质点的运动、研究质点的运动例例题题5已知一质点做简谐振动。已知一质点做简谐振动。t=0 t=0 时的运动状态为过时的运动状态为过1/21/2最大位移处且向位移的负方向运动。已知周期为最大位移处且向位移的负方向运动。已知周期为T=2sT=2s，求再次通过求再次通过1/21/2最大位移
16、处且向位移的正方向运动的时最大位移处且向位移的正方向运动的时刻。刻。xo2-4/3t /t 4/3st/3(/2)T 4/3s2)/3)/(24(5/3t237 6-3简谐振动的能量简谐振动的能量38O x Xmk2m2221sin()2mAt1 1、振动系统的动能、振动系统的动能 以弹簧振子为例讨论简谐振动的能量以弹簧振子为例讨论简谐振动的能量221vmEk21sin()2mAt221sin()2kAtcos()xAt39O x Xm221cos()2kAt3 3、系统总能量、系统总能量kpEEE2 2、振动系统的势能、振动系统的势能221sin()2kEkAt2p12Ekx212kA总能量
17、与振幅的平方成正比这是简谐振动的一个基本总能量与振幅的平方成正比这是简谐振动的一个基本振幅不仅代表振动的振幅不仅代表振动的幅度而且反映振动能幅度而且反映振动能量的大小，或者说反量的大小，或者说反映振动的强度。映振动的强度。特征，对于其它简谐振动这一结论也成立特征，对于其它简谐振动这一结论也成立40简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图tkAE22pcos21tkAEk22sin214T2T43T能量能量otTtx tvv,xtoTtAxcostAsinv221kAE 0 系统机械能守恒系统机械能守恒简谐振动系统的能量特点简谐振动系统的能量特点212kpEEEkA41例例1 1、一弹簧振子作简
18、谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为E E1 1，如果简，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量量增为原来的四倍，则它的总能量E E2 2变为变为 (A)E1/4 (B)E1/2 (C)2E1 (D)4 E1 D222kp1122EEEmAkA42 2、一弹簧振子作简谐振动，当位移为振幅的一半时，其、一弹簧振子作简谐振动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的动能为总能量的 (A)1/4.(B)1/2.(C)2/1 (D)3/4.(E)(D)3/4.(E)2/3.D2p12Ekx2p1()22AEk21 1()4 2kAkpEEE14EE43作业作业 1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、1414
