1、2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础1第五章第五章 信号处理初步信号处理初步2重点：重点：数字信号处理的初步概念。数字信号处理的初步概念。相关分析及其应用、功率谱分析及其应用。相关分析及其应用、功率谱分析及其应用。难点：难点：信号数字化中出现的问题：信号数字化中出现的问题：采样、混叠、截断、泄漏和窗函数等概念。采样、混叠、截断、泄漏和窗函数等概念。2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础3测试的目的是获取反映被测对象状态和特征的信测试的目的是获取反映被测对象状态和特征的信息。实际中有用的信息总是和各种噪声混杂在一息。实际中有用的信息总是和各种噪声混杂在一起，难于直接识别和利用。
2、只有分离信号和噪声起，难于直接识别和利用。只有分离信号和噪声并经过必要处理和分析，消除和修正系统误差之并经过必要处理和分析，消除和修正系统误差之后，才能准确提取信息中有用信息。后，才能准确提取信息中有用信息。信号处理目的信号处理目的:（1 1）分离信号和噪声，提高信噪比。）分离信号和噪声，提高信噪比。（2 2）从信号中提取有用的）从信号中提取有用的特征信号特征信号。（3 3）修正测试系统的某些误差（如非线性误差，）修正测试系统的某些误差（如非线性误差，温度影响）。温度影响）。2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础4 信号分析信号分析（Sig
3、nal analysis）：研究信号的构成和特征值（对信号结构无影响）。研究信号的构成和特征值（对信号结构无影响）。信号处理信号处理（Signal process）：把信号经过必要的变换，以获得所需信息的过程把信号经过必要的变换，以获得所需信息的过程（有可能改变信号本身结构）。（有可能改变信号本身结构）。二者密切相关，没明确的界限，有时作同义语。二者密切相关，没明确的界限，有时作同义语。信号处理类型信号处理类型模拟信号处理系统：模拟信号处理系统：由模拟滤波器、乘法器、微分放大器等实现模拟运由模拟滤波器、乘法器、微分放大器等实现模拟运算功能的电路组成。作为数字信号处理的前奏。算功能的电路组成。作
4、为数字信号处理的前奏。数字信号处理系统：数字信号处理系统：用数学方法处理信号，通常在计算机上实现，也可用数学方法处理信号，通常在计算机上实现，也可用专用信号处理机完成。用专用信号处理机完成。优点优点：稳定，灵活，快速，：稳定，灵活，快速，高效，应用广，设备轻。高效，应用广，设备轻。51 1）电压幅值调理，以适宜采样。）电压幅值调理，以适宜采样。2 2）滤波，以提高信噪比。）滤波，以提高信噪比。3 3）隔离信号中的直流分量。）隔离信号中的直流分量。4 4）调制信号的解调。）调制信号的解调。模拟信号经采模拟信号经采样、量化并转样、量化并转化为二进制。化为二进制。数字信号处理器数字信号处理器或或计算
5、机计算机预处理预处理预处理预处理A/DA/D转换转换x(t)y(t)A/DA/D转换转换结果显示结果显示第一节第一节 数字信号处理的基本步骤数字信号处理的基本步骤 图图5-1 数字信号处理系统的简图数字信号处理系统的简图对采集到的对采集到的数字信号进数字信号进行分析、计行分析、计算。算。2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础6x x(t t)x xq q(nTnTS S)量化量化计算机计算机x x(n n)编码编码x x(n n)n n001001011011100100010010010010011011t tx x(t t)x xq q
6、(nTnTS S)t tq q2q2q3q3q4q4qT TS S2T2TS S3T3TS S测试信号的数字化过程测试信号的数字化过程x xS S(nTnTS S)采样采样/保持保持t tx xS S(nTnTS S)T TS S2T2TS S3T3TS STs How Long时间离散化时间离散化幅值离散化幅值离散化2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础7模模数转换数转换（AD）指模拟信号经采样、量化并转换为二进制的过程。指模拟信号经采样、量化并转换为二进制的过程。（1 1）采样：）采样：是将连续信号变为离散时间序列信号的是将连续信号变为离散时间序列信号的过程。过程。（2 2）截断：
7、）截断：将采样得到的离散时间序列乘以窗函数，将采样得到的离散时间序列乘以窗函数，使之成为有限时间序列的过程。使之成为有限时间序列的过程。（3 3）量化：）量化：是把采样信号经过舍入变为有限个有效是把采样信号经过舍入变为有限个有效数字的数的过程。数字的数的过程。（4 4）编码：）编码：将经过量化的值变为二进制数字的过程。将经过量化的值变为二进制数字的过程。2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础8第二节第二节 信号数字化出现的问题信号数字化出现的问题 一一 概述概述（以计算一个模拟信号的频谱为例）（以计算一个模拟信号的频谱为例）采样采样图图5-2 原模拟信号及其幅频谱原模拟信号及其幅频谱图
8、图5-3 采样函数及其幅频谱采样函数及其幅频谱Ts采样间隔采样间隔1/Ts=fs采样频率采样频率图图5-4 采样后信号及其幅频谱采样后信号及其幅频谱若若fm1/2Tsfm-fm 采样采样：就是用一个等时距的周期脉冲序列就是用一个等时距的周期脉冲序列s(t)去乘去乘x(t)，Ts 采样间隔；采样间隔；1/Ts=fs 采样采样频率；频率；2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础9图图5-5 时窗函数及其幅频谱时窗函数及其幅频谱T：窗宽窗宽图图5-6 有限长离散信号及其幅频谱有限长离散信号及其幅频谱N=T/Ts：序列长度序列长度截断截断截断：截断：就是再乘一个窗口函数（矩形），就是再乘一个窗口
9、函数（矩形），T 为窗宽；为窗宽；N=T/Ts 所截取的时间序列数所截取的时间序列数据点数（序列长度）；据点数（序列长度）；2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础10离散频率序列离散频率序列)1()(nTnffDf=fs/N=1/(TsN)=1/Ts(T/Ts)=1/T图图5-8 DFT DFT后的频谱及其时域函数后的频谱及其时域函数图图5-7 频域采样函数及其时域函数频域采样函数及其时域函数N点的点的离散频率序列离散频率序列离散频率序列：离散频率序列：就是离散傅立叶变换；就是离散傅立叶变换；2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础11 计算机按照一定算法计算机按照一定算法离散傅
10、立叶变换离散傅立叶变换(Discrete Fourie Transform)将将N点长的点长的离散时间序列离散时间序列x(t)s(t)w(t)变换为变换为N点的点的离散频率序列离散频率序列，并输出。，并输出。输出离散频率序列的频率间距输出离散频率序列的频率间距 f=1/T。频域采样函数是频域采样函数是 计算机实际输出是：计算机实际输出是：(5-1)频域采样形成的频域函数离散化，把其时域函数周频域采样形成的频域函数离散化，把其时域函数周期化了。期化了。上述处理过程的每一个步骤：采样、截断、上述处理过程的每一个步骤：采样、截断、DFT计计算都会引起失真或误差。算都会引起失真或误差。)1()(nTn
11、ffD)()()()()(PfDfWfSfXfX2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础12二二 时域采样、混叠和采样定理时域采样、混叠和采样定理长度为长度为 T 的连续信号的连续信号x(t)，采样得到的离散时间序列为，采样得到的离散时间序列为 x(n)=x(nTs)=x(n/fs)n=0,1,2,N-1 (5-2)Ts采样间隔；采样间隔；N序列长度，序列长度，N=T/Ts；fs采样频率采样频率采样间隔太小，其数字序列就长，效率低；采样间隔太小，其数字序列就长，效率低；采样间隔太大，可能丢掉有用的数据，出现采样间隔太大，可能丢掉有用的数据，出现混叠现象混叠现象。图图5-9混叠现象混叠现象
12、2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础13图图5-4 采样后信号及其幅频谱采样后信号及其幅频谱rsTrfXsTrsTrfsTfXfSfXfSfXtstxr)sTr(fsTfSn)snT(ts(t)(1)(1)()()()()()()(1)(2sf2sf2fs2fsf1f2f1混叠混叠必定出现在必定出现在 f=fs/2 左右两侧的频率处，左右两侧的频率处，称为称为折叠频率折叠频率，高于折叠频率的高频成分，高于折叠频率的高频成分 f1 和低于折叠频率的低频成分和低于折叠频率的低频成分 f2，它们之，它们之间的关系是间的关系是(f1+f2)/2=fs/2。2022年8月13日星期六机械工程测
13、试技术基础14抗混叠滤波预处理后，若采样频率抗混叠滤波预处理后，若采样频率fs 大于带限信号大于带限信号最高频率最高频率 fh 的的 2 倍，即倍，即 (5-5)就不会发生混叠。实际上考虑高于截止频率就不会发生混叠。实际上考虑高于截止频率fc有过有过渡带，采样频率渡带，采样频率fs常选用常选用(34)fc。hfsTsf21 图图5-10 不产生混叠的条件不产生混叠的条件采样定理，也称香农（采样定理，也称香农（Shannon）定理）定理2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础15三三 量化和量化误差量化和量化误差 若采样点的电平落在两相邻量化之间，就必须若采样点的电平落在两相邻量化之间，就
14、必须含入到相近的一个量化电平上。一般认为，量含入到相近的一个量化电平上。一般认为，量化误差化误差(n)为为()()()量化电平量化电平实际实际nxnxnex/2-x/2-x/2(n)x/22022年8月13日星期六机械工程测试技术基础16可认为可认为(n)在在x/2之间等概率分布。之间等概率分布。则则 x.xx方差方差标准差标准差x均方均方值值均均值值x概率密度概率密度29032012212201设设A/D转换器位数为转换器位数为b，允许的动态工作范围，允许的动态工作范围D(5V，010V)，相邻量化电平之间差为，相邻量化电平之间差为 (5-6)12bDx-x/2(n)20221TtTttTt
15、wT()2sin222sin222fTcTfTfTTfWT 特点：特点：主瓣宽度约为矩形窗主瓣宽度约为矩形窗的的2 2倍，但旁瓣低且不会出倍，但旁瓣低且不会出现负值。现负值。2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础23 旁瓣明显降低，有旁瓣明显降低，有抑制泄漏的作用，但主瓣较抑制泄漏的作用，但主瓣较宽，致使频率分辨能力较差。宽，致使频率分辨能力较差。在截断随机信号或在截断随机信号或非整周期截断周期函数时，非整周期截断周期函数时，为了平滑或削弱截取信号的为了平滑或削弱截取信号的两端，减小泄漏，宜加汉宁两端，减小泄漏，宜加汉宁窗。窗。2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础24（四）、
16、指数窗（四）、指数窗 无旁瓣，主瓣很宽，其频率分辨力低。无旁瓣，主瓣很宽，其频率分辨力低。对脉冲响应类信号宜加指数窗，若适对脉冲响应类信号宜加指数窗，若适 当选择衰减函数，可起到抑制噪声的当选择衰减函数，可起到抑制噪声的 作用。作用。2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础25常用窗函数常用窗函数2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础26五五 频域采样、时域周期延拓和栅栏效应频域采样、时域周期延拓和栅栏效应频域采样频域采样频率离散化，无疑是将时域信号频率离散化，无疑是将时域信号“改造改造”成周期信号。相当于在时域中将窗内成周期信号。相当于在时域中将窗内的信号波形在窗外进行的信号波
17、形在窗外进行周期延拓周期延拓。采样就是采样就是“摘取摘取”采样点上对应的函数值，如采样点上对应的函数值，如透过栅栏的缝隙看景，不全面，此现象称之为透过栅栏的缝隙看景，不全面，此现象称之为栅栏效应（栅栏效应（picket-fence effectpicket-fence effect）。挡住或丢失的频率成分有可能是重要的或具有挡住或丢失的频率成分有可能是重要的或具有特征的成分，以至于整个处理失去意义。特征的成分，以至于整个处理失去意义。2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础27六六 频率分辨率、整周期截断频率分辨率、整周期截断TTTTNffsss1/1u 从从DFTDFT的原理看，谱线落
18、在某频率的原理看，谱线落在某频率f0处的条件处的条件是：是：u 考虑到考虑到 f=1/T，简谐信号的周期，简谐信号的周期T0=1/f0，因，因此此即，只有截取的信号长度即，只有截取的信号长度T T正好等于信号周期的整正好等于信号周期的整数倍时，才能使分析谱线落在简谐信号的频率上。数倍时，才能使分析谱线落在简谐信号的频率上。整数整数 ff0整数整数 T0Tu 频率采样间隔频率采样间隔f也是频率分辨率的指标。此也是频率分辨率的指标。此间隔越小，频率分辨率越高。利用间隔越小，频率分辨率越高。利用DFT变换时：变换时：2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础28离散傅立叶变换的图解推演离散傅立叶
19、变换的图解推演t()tx0f()fX0t()tnsT0sT/10sT/1()fnf()()()ttxtxn10tf()()()ffXfXn10sT/1sT/1mfmfmfmftf00()tu()fU2/T2/T)a)b()()()tutxtx120tf()()()fUfXfX120sT/1sT/1mfmf()tk0fT/10t()tkf()()()ffXfXk230N()()()ttxtxn230Nt)c)d)e)f)ga)a)模拟信号及其傅立叶变换模拟信号及其傅立叶变换b)b)采样信号及其傅立叶变换采样信号及其傅立叶变换 c)c)离散信号及其傅立叶变换离散信号及其傅立叶变换 d)d)矩形窗函
20、数及其傅立叶变矩形窗函数及其傅立叶变换换 e)e)矩形窗函数采样信号及其矩形窗函数采样信号及其傅立叶变换傅立叶变换 f)f)频域采样函数及其傅立叶频域采样函数及其傅立叶逆变换逆变换 g)g)离散信号傅立叶变换离散信号傅立叶变换 离散傅立叶变换步骤：离散傅立叶变换步骤：1 1）时域采样）时域采样2 2）时域截断）时域截断3 3）频域采样）频域采样时域采样引起频域周期化时域采样引起频域周期化频域采样引起时域周期化频域采样引起时域周期化当窗函数的宽度当窗函数的宽度TT时，时，sincsinc函数就变成函数就变成 函数。函数。由于由于T T不够宽带来误差从不够宽带来误差从而产生波纹和泄漏而产生波纹和泄
21、漏信号时域、频域的离散化信号时域、频域的离散化导致时域、频域的周期化导致时域、频域的周期化2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础29待变换时域信号待变换时域信号时域采样：时域采样：Ts 采样间隔；采样间隔；1/Ts=fs 采样频率；采样频率；T 为窗宽；为窗宽；N=T/Ts 所截取的时间序列数据点数（序列长度）所截取的时间序列数据点数（序列长度）f=fs/N=1/(TsN)=1/Ts(T/Ts)=1/T输出离散频率序列的频率间距输出离散频率序列的频率间距 f=1/T折叠频率折叠频率，高于，高于折叠频率的高频成分折叠频率的高频成分 f1 和低于折叠频率的低频成分和低于折叠频率的低频成分
22、f2，它们之间的关系是它们之间的关系是(f1+f2)/2=fs/2hfsTsf21 2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础30第三节第三节 随机信号随机信号 一一 概述概述随机信号随机信号不能用确定数学公式描述，不能预测其不能用确定数学公式描述，不能预测其未来瞬时值，任何一次观察结果不能代未来瞬时值，任何一次观察结果不能代表全部，其值变动服从统计规律。表全部，其值变动服从统计规律。样本函数样本函数对随机信号按时间历程所作的各次长时对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记为间观测记录称为样本函数，记为xi(t)。样本记录样本记录样本函数在有限时间区间上的部分称为样本函
23、数在有限时间区间上的部分称为样本记录。样本记录。),(),(),()(21 txtxtxtxi（1-61）随机过程随机过程全部样本函数的集合（总体）就是随机全部样本函数的集合（总体）就是随机过程，记为过程，记为 x(t)，即，即 将集合中所有样本将集合中所有样本函数对同一时刻函数对同一时刻ti的的观测值取平均称为观测值取平均称为（ti时刻的）时刻的）集合平集合平均均。（随机过程的。（随机过程的平均）平均）按单个样本按单个样本的时间历程的时间历程进行平均的进行平均的计算称为计算称为（该样本的）（该样本的）时间平均。时间平均。2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础31x(t)=x1(t),
24、x2(t),x3(t),xn(t),图图5-1 随机过程与样本函数随机过程与样本函数 任意时刻任意时刻ti的统的统计特征参数都相计特征参数都相同的随机过程。同的随机过程。在在平稳随机平稳随机过程过程中，若中，若任一单个样任一单个样本函数的本函数的时时间平均统计间平均统计特征等于该特征等于该过程集合平过程集合平均统计特征均统计特征2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础32随机过程分类随机过程分类:（1）平稳随机过程平稳随机过程其统计特征参数不随时间其统计特征参数不随时间而变化的随机过程。而变化的随机过程。（2）非平稳随机过程非平稳随机过程与上述相反则为非平稳与上述相反则为非平稳随机过程。
25、随机过程。（3 3）各态历经随机过程各态历经随机过程在在平稳随机过程平稳随机过程中，中，若任一单个样本函数的若任一单个样本函数的时间平均统计特征时间平均统计特征等于该过程集合平均统计特征等于该过程集合平均统计特征，这样的平，这样的平稳随机过程叫各态历经随机过程。稳随机过程叫各态历经随机过程。2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础33 工程中很多随机信号具有各态历经性，即工程中很多随机信号具有各态历经性，即使不严格遵守各态历经性，也按各态历经随机使不严格遵守各态历经性，也按各态历经随机过程处理。也就是说在测试工作中常以一个或过程处理。也就是说在测试工作中常以一个或几个有限长度的样本记录来
26、推断整个随机过程。几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程。以时间平均来估计集合平均。以时间平均来估计集合平均。在测试中确定性信号一般是在一定条件下在测试中确定性信号一般是在一定条件下出现的特殊情况，或者是忽略了信号的随机性出现的特殊情况，或者是忽略了信号的随机性部分，实际中测试信号总是受到环境噪声污染部分，实际中测试信号总是受到环境噪声污染的，故研究随机信号具有普遍意义。的，故研究随机信号具有普遍意义。2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础34二随机信号的主要特征参数二随机信号的主要特征参数各态历经随机信号各态历经随机信号主要特征参数：主要特征参数：（1）均值、方差和均方值）均值、方
27、差和均方值 （2）概率密度函数）概率密度函数 （3）自相关函数）自相关函数 （4）功率谱密度函数）功率谱密度函数（一）均值（一）均值x、方差、方差2x和均方值和均方值2x 1均值均值x （1-62）T观测时间观测时间;x(t)样本函数样本函数;均值均值x表示信号的表示信号的常值分量常值分量2方差方差2x （1-63）描述随机信号的波动分量，它是描述随机信号的波动分量，它是 x(t)偏离均值偏离均值 x 的平方的均值，方差的正平方根叫标准偏差的平方的均值，方差的正平方根叫标准偏差 x。TTxdttxTu0)(1limdttxTTxTx022)(1lim2022年8月13日星期六机械工程测试技术基
28、础353均方值均方值2x 描述随机信号的强度，它是描述随机信号的强度，它是 x(t)平方平方的均值，即的均值，即 （1-64）均方值的正平方根称为均方根值均方值的正平方根称为均方根值rms4均值均值x、方差、方差2x和均方值和均方值2x的关系的关系 （1-65）（当）（当x=0 时，时，）5集合平均，集合平均，t1 时刻的时刻的均值均值x,t1和和均方值均方值2 2x,t1为为 （1-66）（1-67）M样本记录总数样本记录总数;i样本记录序号样本记录序号;t1观察时刻观察时刻TTxdttxT022)(1lim22x2 xx2x2 xMiiMtxtxM11,)(1lim1122,111lim(
29、)Mx tiMixtM 2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础36（二）概率密度函数（二）概率密度函数概率密度函数概率密度函数表示信号幅值落在指定区间内的概表示信号幅值落在指定区间内的概率。见图率。见图1-22所示，所示，图图1-22 概率密度函数的计算概率密度函数的计算 2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础37x(t)值落在值落在(x,x+x)区间内的时间为区间内的时间为 Tx （1-68）当样本函数的记录时间当样本函数的记录时间T时，时，Tx/T的比值就是的比值就是x(t)的幅值落在的幅值落在(x,x+x)区间内的概率，即区间内的概率，即 （1-69）幅值概率密度函数幅值
30、概率密度函数p(x)为为 （1-70）概率密度函数提供了随机信号幅值分布的信息，不概率密度函数提供了随机信号幅值分布的信息，不同的随机信号有不同的概率密度图形。图同的随机信号有不同的概率密度图形。图1-23是四是四种常见的随机信号（假设种常见的随机信号（假设x=0）的概率密度函数）的概率密度函数图形。当不知道所处理的随机数据服从何种分布时，图形。当不知道所处理的随机数据服从何种分布时，可用统计概率分布图来估计概率密度函数。可用统计概率分布图来估计概率密度函数。niinxttttT121xxxtxxPxprx)(lim)(0TTxxtxxPxTrlim)(2022年8月13日星期六机械工程测试技
31、术基础38图图1-23 1-23 四种随机信号四种随机信号a)a)正弦函数（初始相角为随机量）正弦函数（初始相角为随机量）b)b)正弦函数加随机信号正弦函数加随机信号c)c)窄带随机信号窄带随机信号 d)d)宽带随机信号宽带随机信号通过概率密度函数的图通过概率密度函数的图形特征可以定性的判断形特征可以定性的判断原信号中是否含有周期原信号中是否含有周期成分，若原信号中周期成分，若原信号中周期成分越多，则成分越多，则p(x)-x曲线曲线的的“马鞍形马鞍形”现象就越现象就越明显。明显。2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础39第四节第四节 相关分析及应用相关分析及应用 通常两个变量之间若存在
32、一一对应的确定关系，则通常两个变量之间若存在一一对应的确定关系，则称两者之间存在着函数关系。而当两个随机变量之称两者之间存在着函数关系。而当两个随机变量之间具有某种关系，随着一个变量数值的确定间具有某种关系，随着一个变量数值的确定，另一，另一变量却可能取许多不同值，但取值有一定的概率统变量却可能取许多不同值，但取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量存在着相关关系。计规律，这时称两个随机变量存在着相关关系。一两个随机变量的相关系数一两个随机变量的相关系数图图5-14表示由两表示由两个随机变量个随机变量 x 和和 y 组成的数据点组成的数据点分布情况。分布情况。0 xy0 xya)x与与y
33、无关无关b)线性关系线性关系图图5-14 两随机变量的相关性两随机变量的相关性2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础40变量变量 x 和和 y 之间的相关程度常用之间的相关程度常用相关系数相关系数 xy 表示表示：yxyxxyyxE)(（5-16）离散离散:连续连续:niixnxE11式中式中E数学期望数学期望x随机变量随机变量 x 的均值的均值 x=E x y随机变量随机变量 y 的均值的均值 y=E y x随机变量随机变量 x 的标准差的标准差 2x=E (x x)2 y随机变量随机变量y 的标准差的标准差 2y=E (y y)2 T0)(1limdttxTxET各态历经各态历经随
34、机过程随机过程用柯西用柯西许瓦兹不等式许瓦兹不等式 E(x-x)(y-y)2 E(x-x)2 E(y-y)2（5-17）故知故知:xy 12022年8月13日星期六机械工程测试技术基础41xy1xyxy1xyxy10 xyxy0 xy当数据点分布越接近于一条直线时，当数据点分布越接近于一条直线时，xy 的绝对值越的绝对值越接近接近1 1，x x 和和 y y 的线性相关性程度越好，将这样的的线性相关性程度越好，将这样的数据回归成直线才越有意义。数据回归成直线才越有意义。xy 的正付号表示一变的正付号表示一变量随另一变量增加而增加或减少。量随另一变量增加而增加或减少。当当xy 接近零时，则认为接
35、近零时，则认为 x 和和 y 之间完全无关。但仍之间完全无关。但仍可能存在某种非线性的相关关系甚至函数关系。可能存在某种非线性的相关关系甚至函数关系。2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础42在任何在任何t t=t ti i 时刻，从两个样本上分别得到两个量时刻，从两个样本上分别得到两个量值值x(ti)和和x(ti+)，而且，而且x(t)和和x(t+)具有相同的均值具有相同的均值和标准差。假如把和标准差。假如把 简写成简写成 ，那么有，那么有 假如假如 x(t)是某各态历经随机过程的一个样本记录。是某各态历经随机过程的一个样本记录。x(t+)是是x(t)时移时移后的样本记录，见后的样本
36、记录，见图图5-15。)()(txtx)(x201)()(lim)(xTxxTTxdttxtx二信号的自相关函数二信号的自相关函数0tx(t)0tx(t+)titi图图5-15 自相关自相关2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础43将分子展开并注意到将分子展开并注意到 xTTdttxT0)(1limxTTdttxT0)(1lim从而从而 2021)()(lim)(xTxTTxdttxtx（5-18）定义各态历经随机信号自相关函数定义各态历经随机信号自相关函数 为为)(xRTTxdttxtxTR0)()(1lim)(（5-19）则则 22)()(xxxxR（5-20）2022年8月13日
37、星期六机械工程测试技术基础44显然，显然，和和 均随均随而变化，且两者成线性而变化，且两者成线性关系。关系。如果随机过程均值如果随机过程均值 ，则，则 0 x2)()(xxxR自相关函数性质：自相关函数性质：（1）由式（）由式（5-20）有）有 22)()(xxxxR（5-21）因为因为 ，所以，所以 1xy2222)(xxxxxR（5-22）)(xR)(x（2）自相关函数在）自相关函数在=0时为最大值，并等于该随时为最大值，并等于该随机信号的均方值机信号的均方值 2x 20)()(1lim)0(xTTxdttxtxTR（5-23）2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础45（3）当）当
38、足够大或足够大或时，时，x(t)和和x(t+)不存不存在内在联系，彼此无关。在内在联系，彼此无关。0)(x（4）自相关函数为偶函数，）自相关函数为偶函数，即即)()(xxRR（5-24）（5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数，其幅值与原周期信号幅值有关，而丢失了原数，其幅值与原周期信号幅值有关，而丢失了原信号的相位信息。信号的相位信息。2)(xxR2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础46Rx()02 2x2 2x+2 2x2 2x-2 2x图图5-16 自相关函数的性质自相关函数的性质2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础47例
39、例5-1求正弦函数求正弦函数 x(t)=x0 sin(t+)的自相关函数。初的自相关函数。初相角相角为一随机变量。为一随机变量。TTTxdtttxTdttxtxTR002000)(sin)sin(1)()(1lim)(式中式中 为为正弦函数周期正弦函数周期20T令令 则则 ，于是，于是 tddt 20202020)sin(sin2)sin(sin2)(dxdxRx解：此正弦函数是一个零均值的各态历经随机过程，其解：此正弦函数是一个零均值的各态历经随机过程，其平均值可用一个周期内平均值表示。该函数的自相关函平均值可用一个周期内平均值表示。该函数的自相关函数为数为:2022年8月13日星期六机械工
40、程测试技术基础48由由 2sinsincos()cos()可见正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，可见正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在在=0=0 时具有最大值，它不随时具有最大值，它不随的增加而衰的增加而衰减至零。保留了原正弦信号的幅值和频率信息，减至零。保留了原正弦信号的幅值和频率信息，而丢失了相位信息。而丢失了相位信息。上式为上式为2020)cos()2)cos(21(2)(dxRx)cos(22)cos(212)(2020 xxRx2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础49（1）由于）由于x x=0=0；2202xx22)(xxxR（2）TxTxRxdttxT02022)0
41、(2)(1lim（4）)()(cos2)(20 xxRxR（5）丢失相位信息。丢失相位信息。cos2)(20 xRx性质讨论：性质讨论：)cos(22)cos(212)(2020 xxRx)sin()(0txtx2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础500tRx()0tx(t)0tRx()0tx(t)0tx(t)0tRx()0tx(t)0tRx()图图5-17 四种典型信号的自相关函数四种典型信号的自相关函数正弦波正弦波正 弦 波 加正 弦 波 加随机噪声随机噪声窄 带 随 机窄 带 随 机噪声噪声宽 带 随 机宽 带 随 机噪声噪声信号中含有周期成分，信号中含有周期成分，其自相关函数
42、在其自相关函数在很大很大时都不会衰减，并具有时都不会衰减，并具有明显周期性。明显周期性。不包含周期成分，不包含周期成分，当当稍大时稍大时Rx()0。窄带随机噪声的窄带随机噪声的 Rx()有较慢衰减有较慢衰减特性。特性。宽带随机噪声的宽带随机噪声的 Rx()很快衰减为零。很快衰减为零。自相关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段自相关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础51例：自相关分析测量转速例：自相关分析测量转速理想信号理想信号干扰信号干扰信号实测信号实测信号自相关系数自相关系数提取周期性转速成分提取周期性转速成分自相关分析的主要应用：自相关分
43、析的主要应用：用来检测混淆在干扰信号用来检测混淆在干扰信号中的确定性周期信号成分。中的确定性周期信号成分。2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础52三信号的互相关函数三信号的互相关函数 两个各态历经随机过程的随机信号两个各态历经随机过程的随机信号 x(t)和和 y(t)的互相的互相关函数关函数Rxy()定义为定义为 TTxydttytxTR0)()(1lim)(（5-25）由式（由式（5-16）1010lim()()()()lim()()=TxyTxyTxyxyxyTxyTTxyx ty tdtE xyx t y tdt 2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础53当时移当时移足
44、够大或足够大或时，时，x(t)和和 y(t)互不相关，互不相关，0 xyyxxyR)(Rxy()最大变动量范围在最大变动量范围在 之间，即之间，即yxyxyxyxxyyxyxR)(（5-26）如果如果 x(t)和和 y(t)两信号是同频率的周期信号或者两信号是同频率的周期信号或者包含有同频率的周期成分，那么，即使包含有同频率的周期成分，那么，即使，互相关函数也不收敛并出现该频率的周期成分。互相关函数也不收敛并出现该频率的周期成分。如果两信号含有频率不等的周期成分，则两者不如果两信号含有频率不等的周期成分，则两者不相关。相关。结论：结论：同频相关，异频无关同频相关，异频无关。2022年8月13日
45、星期六机械工程测试技术基础54例例 5-2 设有两个周期信号设有两个周期信号()()00()sin()sinx txty tyt式中：式中：-x(t)相对相对 t=0 的相位角的相位角 -x(t)与与 y(t)的相位差的相位差试求其互相关函数试求其互相关函数 Rxy()解：因为信号是周期信号解：因为信号是周期信号,可用一个周期可用一个周期T0 代替整个代替整个历程历程 T000000000001()lim()()1sin()sin()1()cos2()cos()2TxyTTTRx t y tdtTxtytdtTx ytdtT2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础5500000)cos(
46、)(2)cos21(TdttTyx令令 2;0Tddtt20000)cos()2cos(1)21()(dTyxRxy)cos(22)cos(22000000yxTTyx由此可见，两个均值为零，且具有相同频率的周由此可见，两个均值为零，且具有相同频率的周期信号，其互相关函数中保留了这两个信号的圆期信号，其互相关函数中保留了这两个信号的圆频率频率，对应的幅值，对应的幅值 x0和和y0以及相位差以及相位差 的信息。的信息。2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础56例例5-3 若两个周期若两个周期 信号圆频率不等信号圆频率不等,)sin(10txx)sin(20tyy试求其互相关函数试求其互相
47、关函数 TTxydttytxTR0)()(1lim)(TTdttytxT02010)(sin)sin(1lim根据正（余）弦函数的正交性，可知根据正（余）弦函数的正交性，可知 0)(xyR可见，两个可见，两个非同频周期信号是不相关的非同频周期信号是不相关的。解：解：2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础57第五章作业 教科书175页，思考题与习题5-15-25-3 下次课交作业2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础58互相关函数性质：互相关函数性质：（1）互相关函数不是偶函数）互相关函数不是偶函数 证明：证明：TTxydttytxTR0)()(1lim)(令令tt+1()lim
48、()()TxyTRx ty t dtT令令 tt 1()lim()()()TxyyxTRy t x tdtRT可见可见)()(xyxyRR)()(yxxyRR2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础59Rxy()0 xyxy+xyxy-xy图图5-19 互相关函数的性质互相关函数的性质0（2）图中表明）图中表明=0 0 时呈现最大值，时移时呈现最大值，时移0 0 反映反映 x(t)和和 y(t)之间的滞后时间。之间的滞后时间。互相关函数的性质，使它在工程应用中有重要价互相关函数的性质，使它在工程应用中有重要价值。它是在噪声背景下提取有用信息的一个非常值。它是在噪声背景下提取有用信息的一个
49、非常有效的手段。有效的手段。2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础60相关滤波相关滤波：例如在线性系统中测振。根据频率：例如在线性系统中测振。根据频率保持性，只有和激振频率相同的成分才能是由保持性，只有和激振频率相同的成分才能是由激振而引起的响应，而其它成分是干扰。因此激振而引起的响应，而其它成分是干扰。因此将激振信号与所测得的响应信号进行互相关将激振信号与所测得的响应信号进行互相关（=0不用时移），就可得到由激振引起的响不用时移），就可得到由激振引起的响应的幅值和相位差，消除了噪声干扰的影响应的幅值和相位差，消除了噪声干扰的影响。这种处理方法叫相关滤波。这种处理方法叫相关滤波。互相关
50、技术广泛应互相关技术广泛应用于各种测试中。用于各种测试中。2022年8月13日星期六机械工程测试技术基础61可调延迟可调延迟相相 关关 器器Rxy()y(t)x(t)钢带钢带速度速度vd透镜透镜光电池光电池0Rxy()d d图图5-20 钢带运动速度的非接触测量钢带运动速度的非接触测量例子例子：图图5-20是测定热轧钢带运动速度的示意图。是测定热轧钢带运动速度的示意图。ddv钢带表面反射钢带表面反射光经透射镜聚光经透射镜聚焦在相距焦在相距 d 的的两个光电池上。两个光电池上。反射光强度的反射光强度的波动，通过光波动，通过光电池转变为电电池转变为电信号，再进行信号，再进行相关处理。相关处理。20
