1、概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 1 3.13.1 条条 件件 概概 率率?引例：设某个家庭中有两个小孩，已知该家庭 有男孩，问：两个小孩都是男孩的概率 是多少 假设男女生是等可能的,由题知：样本空间为 男，男男，女女，男女，女AB解：设：两个都是男孩；：该家庭有男孩概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 2,AB男，男；男，男男，女女，男BA则所求的概率为：已知事件 已经发生的条件下，求事件 发生的概率，即有(|)1 3P A B B另外，在此例中若不知道事件 已经发生，则()1 4P A()(|).P AP A BB显然，说明事件之间是存在一定关联的，两者不相等的原因在于，事
2、件 的发生改变了样本空间。概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 3 条件概率条件概率的定义的定义()0()(|)()P ABP AABP BPBABB 设，为两事件，且，则称 为已知事件 发生的条件下，事件条 发生的件概率。古典概型：可用缩减样本空间法其他概型：可用定义及有关公式条件概率的计算方法：概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 45 3 22 例：设箱中有 个红球和个白球。现地取出 个球，假设每次抽取时，箱中各球被取出是等可能的。第一次取出红球时，问：第次仍取出红球的概率不放回是多少？解一：缩减样本空间法1,2iAii设 第 次取出红球，12127 4 (|)4 7.AP
3、AA 由于 已经发生，第 次取球时，共剩下 个球，其中有个红球，故概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 5解二：利用条件概率的定义由题意可知：15()8P A 2512285()14PP A AP12211()(|)()P A AP AAP A 4.7概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 6条件概率也是概率，满足概率的三条公理：1.|0AP A B 对任意事件：有 2.|1PB 12113.,niiiiA AAPA BP A B 设,是两两互不相容事件，则有 5.|1|P A BP A B 1212124.|P AABP ABP ABP A AB 概率论与数理统计概率论与数理统计
4、Page 7()0.8()()0.4;P AP ABP B由题意知：；BA则有()0.4(|)0.5.()0.8P ABP B AP A 200.8 25 0.42125例：设某种动物由出生起活 岁以上的概率为，活岁以上的概率为。如果现在有一只 岁的动物，问它能活 岁以上的概率为多少？2025AB解：设 能活 岁以上；能活 岁以上；概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 8()0.58;()0.28;()0.19;P AP BP AB则有()19(|);()58P ABP B AP AAB解：设 投入基金；购买股票；()19(|).()28P ABP A BP B 3230.580.280
5、.191.2.?题：设某人有一笔资金，投入基金的概率为；购买股票的概率为；两项投资都做得概率为；问：他已经投入基金，再购买股票的概率？他已经购买股票，再投入基金的概率P概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 9()0()()P ABP B AP AP A，()0()()P ABP A BP BP B，由条件概率的公式可得乘法公式：()()P ABP B AP A()()P ABP A BP B概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 10213.不放 例 一批零件共 100 件，其中次品有 10 件，今从中抽取 2 次，每次取 1 件，求第一次取到次品，且第二次为正？回品的概率P解：设
6、第一次取到次品，第二次取到正品AB P ABP AP B A11109011100990.091.CCCC概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 11 31.0.50.60.8.PAP ABP BP B AP ABP AB 题 1 已知随机事件 的概率，事件 的概率 及条件概率，试求 及 解：0.4；P ABP AP B AP ABP AB11()()()0.3.P ABP AP BP AB 概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 12乘法公式的推广：12112121121()()0nnnnP A AAP AP AAP AP A AA AAA其中322iPAi题 解：设 第 次取到正品
7、123()P A A A121123()()()P A P A A P A A A109909.10099981078概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 1321;84P C AB 4;10P A 31;93P B A()P ABC,A B C解：设 分别表示甲，乙，丙抽到难签1043例：设 个考签中有 个难签，现有 个 人参加抽签 不放回，每人一次抽一个，甲先乙次丙最后，求甲乙丙都抽到难签的 概率？130.()(|)(|)P AP B AP C AB概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 14 1,2,3iAii解：设 镜子第 次落下未打破 0.50.70.9例：设有一镜子，第一
8、次落下时打破的概率为；如果第一次未打破，第二次落下时打破的概率为；如果前两次均未打破，第三次落下时打破的概率为，求镜子落下三次而未打破的概率是多少？1()1 2;P A 21(|)3 10;P AA 312(|)1 10;P AA A123()P A A A3 200.121312()(|)(|)P A P AA P AA A概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 15复杂的事件分解成若干个互不相容的部 人们分的并在计算某一比较的概率时，有时根据事件在不同情况或不同原因下发生而将它，分别计算每一部分的概率，然后求和，这就是我们接下来要讨论的全概率公式。3.23.2 全全 概概 率率 公公
9、式式概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 1630%95%80%引例：有一批灯泡，甲厂生产的占 70%，乙厂生产的占；甲厂产品的合格率为，乙厂产品的合格率为；求这批灯泡的合格率。AA解：设 甲厂生产的产品；乙厂生产的产品B 任取一件产品是合格品BABABABAB 且 与 互不相容P ABABP ABP AB|P A P B AP A P B A0.7 0.950.3 0.80.905.P B概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 17本题求解的关键在于将所求的事件 分解成两个互不相容的事件的和所求的事件 看作是“结果”，而事件 与 看作是产生“结果注：，即。我们可以这样理解这个式子：
10、将，从而分解式是“结果”和“原因”之间的一种联系方式，我们把这类问题归结为：已知产生“结果”的各种“原因”的可能“原因”或“情况”发生的概率，求“结果发生的概率”，即全概率问题。BBABABBBAA概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 18定理：全概率公式11|niiiiiniABBPBBAPAPBA假 设 是 为 有 限 个的 非 零概 率 事 件，且 对 任 意 事 件 ，若 有 互 不 两 两相 容.iiiiBAA 注：本 定 理 当 时 也 成 立，不 一 定 要 满 足 iAB 视作“原因”视作“结果”.概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 191234()0.3;()0
11、.2;()0.1;()0.4;P AP AP AP A1234(|)0.25;(|)0.3;(|)0.1;(|)0P BAP BAP BAP BA41()()(|)iiiP BP A P BA0.3 0.2 0.1 0.40.25 0.30.1例：有朋自远方来，坐火车，船，汽车及飞机的概率分别为，及；如果坐火车，船，汽车迟到的概率分别为，及；坐飞机不会迟到，求他可能迟到的概率？1234BAAAA解：设 他可能迟到；坐火车；坐船 坐汽车；坐飞机0.145.概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 20123()0.25()0.25()0.5P AP AP A；31()()(|)iiiP BP
12、A P BA123(|)0.02;(|)0.01;(|)0.03P B AP B AP B A25%25%50%,2%1%3%,例：市 场 上 有 甲，乙，丙 三 家 工 厂 生 产 同 一 品 牌的 产 品；已 知 三 家 产 品 的 市 场 占 有 率 分 别 为 ，及 且 三 家 工 厂 的 产 品 次 品 率 分 别 为，及 求 此 品 牌 产 品 的 次 品 率？123BAAA解：设 买到一件产品是次品；甲厂生产的产品 乙厂生产的产品；丙厂生产的产品0.0225.概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 211122()()(|)()(|)P BP A P B AP A P B A
13、12122113()()(|)(|)3324P AP AP B AP B A；2112例：有甲乙两个袋子，甲袋中有 个白球，个红球；乙袋中有 个白球，个红球。这六个球手感无区别。今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅均匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率是多少？12BAA解：设 从乙袋中任取一球是红球 从甲袋中取到放入乙袋的是白球 从甲袋中取到放入乙袋的是红球7.12概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 2232P 题 4BAA 解：设 第二次取得黑球第一次取得黑球；第一次取得白球 P BP A P B AP A P B A则 1nnmnmnmnmnmn 2.1nm nmnmnmn 概率论
14、与数理统计概率论与数理统计 Page 2332P 题 712BAA 解：设 取得该球是红球取自甲袋；取自乙袋 11221.P BP A P B AP AP B A则 16184121021470；11412872.12 CP BC概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 24 利用全概率公式，人们可以通过综合分析一个事件发生的不同“原因”的概率来求事件 即“结果”发生的概率。现在我们来考虑相反的问题：观察到某个事件即“结果”已经发生，我们要考察所观察到的事件发生的各种“原因”的可能性。3.33.3 贝贝 叶叶 斯斯 公公 式式概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 25定理：贝叶斯公式
15、1211,0|.|iiinniiiinkkkAAABBABP BPP AP B AP A BP BAP B AP AP B A 设，是两两互不相容的非零概率事件，并且，则对任意事件 ，则有 1niiBA注：如果，则贝叶斯公式仍然成立。iAB 视作“原因”视作“结果”.概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 261234()0.3()0.2()0.1()0.4P AP AP AP A；1234(|)0.25(|)0.3(|)0.1(|)0P B AP B AP B AP B A；0.3 0.2 0.1 0.40.25 0.30.1例：有朋自远方来，坐火车，船，汽车及飞机的概率分别为，及；如果
16、坐火车，船，汽车迟到的概率分别为，及；坐飞机不会迟到，已知他迟到了，求他是坐火车迟到的概率？1234BAAAA解：设 他可能迟到；坐火车；坐船 坐汽车；坐飞机1|PAB1141|15.29|iiiP AP BAP AP BA24P 例 8概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 2732P 题 8123BAAABAC解：设 抽取的产品是次品；车间生产的 车间生产的；车间生产的 1122331.P BP A P B AP AP B AP AP B A 0.25 0.050.35 0.040.4 0.020.0345.1112.P AP B AP A BP B 0.250.05250.03456
17、9 222P AP B AP A BP B0.350.04280.034569 333P AP B AP A BP B0.40.0216.0.034569概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 2832P 题10BAA解：设 收到信号；发出信号 则 发出信号-；1.P BP A P B AP A P B A 0.6 0.80.4 0.10.52；2.P A P B AP A BP B 0.60.812.0.5213概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 293.43.4 事事 件件 的的 独独 立立 性性ABAB 在考察同一试验的两个事件时，有时一个事件的发生与否会影响另一事件发生的概
18、率，但有时一个事件发生与否并不影响另一个事件发生的概率。例如：在一个射击试验中，甲乙两人各自进行射击，如果记：甲击中；：乙击中；显然事件 和 发生与否互不影响。这就是我们要讨论的独立性。那么在数学上如何描述事件的独立性呢？一.事件的独立性概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 3042();63P B 解：4 2 1|.ABP BP B A引例：已知袋中有 只白球，只红球；从袋中地 取球两次，每次取 球，记：第一次取到白球；：第二次取到白球；求概率 和 有放回42();63P A 444();669P AB()2(|)()3P ABP B AP A(|)().P B AP B概率论与数理统
19、计概率论与数理统计 Page 31 41;5213P A 261;522P B 21;5226P AB P ABP A P BAB，即 与 相互独立。P ABP AABABP B定义：对任意两个事件，如果有 则称事件 与事件 相互独立。AKBAB例：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，设 ：抽到，：抽到的牌是黑色的，问事件 与 是否独立？解：由题意可知概率论与数理统计概率论与数理统计二.有限个事件的独立性121221ijinjnnnAAAijnnAAPAP A AP AA 定义：如果 个事件，中的任意两个事件均相互独立，即对，有 则称这 个事件，两两独立。n注：两两独立的概念只涉及 个事件中的
20、任意两个事件之间的相互关系。但其中两个事件同时发生可能会影响到另一事件发生的概率。为此，我们引入比“两两独立”更强的关系“n个事件相互独立”.概率论与数理统计概率论与数理统计121i211222122niiiiikiikiknnnAP A AAAAP AP AP AkknAAAnAAA定义：对 个事件，如果对其中任意 个事件，则称这 个事件，相互独立。3ABCP ABP A P BP ACP A P CP BCP B P CP ABCP A PnB P C注：当 时，称当且 仅当成立等式：事件，相互独立 注：相互独立包含两两独立，反之不然.概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 3426:
21、PABCABC 例 10 设有四张卡片，其中三张分别涂上红色，白色，黄色，而余下的一张同时涂有红，白，黄三种颜色；今从中任取一张，记 取出的卡片有红色；取出道卡片有白色；取出的卡片有黄色，考察这三个事件，的独立性。解：由题意可知 2/41/2;P AP BP C1/4;P ABP BCP AC1/4;P ABC P ABP A P BP BCP B P CP ACP A P CP ABCP A P B P C ；,A B C所以事件 两两独立，但不相互独立。概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 35三.相互独立的性质 事件之间具有独立性的情况下，很多概率计算将变得简单，下面讨论事件相互独
22、立性的常用性质。121.1nnAAAmmnn 如果 个事件，相互独立，则将 其中 个事件改为相应的对立事 件，形成的新的 个事件仍然是相互独立的。ABABABAB 与；与；与；与 中任何一组相互独立，则其他三组注：也相互独立。概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 36 33.PABP ApP BqP ABP ABP AB 题 13 设事件 与 相互独立，且 ，求下列事件的概率：ABABAB 解:与 相互独立 与 相互独立；与 相互独立()()()P ABP AP BP AB则()()()()P AP BP AP Bpqpq；()()()P ABP AP BP AB()()()()1P A
23、P BP AP Bqpq；()1()1()()1.P ABP ABP ABP A P Bpq 概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 37 331.9PABP ABP ABP ABP AP B 题 14 已知事件 与 相互独立，且，求 与 .ABABABAB 解:与 相互独立 与 相互独立；与 相互独立；与 相互独立P ABP AB由 P A P BP A P B 11P AP BP AP B P AP B19P AB 再由 1119P A P BP AP B 21P A 1.3P AP B27281213.P 例；例 概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 38 1211122.11
24、nniiniinPAP AP AP AnAAP AA 如果 个事件，相互独立，则有12nnAAA注：此性质常用于求 个的事件，相互独立至少有一个发生，的概率。121212121211nnnnnnAAAP AAAP A AAP A AAP A P AP A 注：求 个相互独立的事件，至少有一个不发生的概率：概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 390.9,0.8,0.85.设某车间有三台车床，在一小时内机器不要求工人维护的概率分别是 求一小时内三台车床至少有一台不需要工人维护的概率？1,2,3iAii解：设 第 台车床不需要工人维护 1230.90.80.85P AP AP A则；1231
25、231P AAAP AAA 123123110.997.P A A AP A P AP A 123AAA，与 且 相互独立；2711P例概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 400.25 0.350.4三个人独立破译同一密码，他们能独立译出密码的概率分别为，及，求此密码被破译的概率是多少？1,2,3iAii解：设 第 个人破译出密码 1230.250.350.4P AP AP A则；1231231P AAAP AAA 123AAA，与 且 相互独立；3315P题 123123110.7075.P A A AP A P AP A 概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 41 有时我们研
26、究的问题涉及到多个甚至无穷多个试验，例如对某一目标进行连续的射击；在一批灯泡中随机抽取若干个测试它们的寿命等等；我们把这多个或者无穷多个试验称为一个试验序列。定义：如果一个试验序列的各试验的结果之间是相互独立的，称这样的试验独立试序列为验序列。定义：如果一个，我们称 这样试验只的试验有两为个可能的结果伯努利试验。3.53.5 伯努利实验和二项概率伯努利实验和二项概率概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 42例如：投掷一枚硬币，观察其出现正面还是反面 的试验。:1000AAAAAAAA另外，有些试验的结果虽然不止两个，但是我们对试验感兴趣的是某事件 是否发生，那么我们可以把“发生”当作一个
27、结果，“不发生”即 作为另一个结果，此时也可将这些试验归结为伯努利试验。例：在测试灯泡寿命的试验中，可能结果有无穷多个，若记 灯泡寿命不大于小时，则试验结果只有“发生”和“不发生”即 两个。概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 43nn定义：如果一个试验序列是由一个伯努利试验独立重复进行形成的，那么我们称这个试验序列为伯努利试验序列。特由一个伯努利试验独立重复进行 次形成的试验序列称为 重伯努利试验，简称为伯努别地，利概型。AA注：伯努利概型的特点：事件 在每次试验中发生的概率相同，且不受其他各次试验中事件 是否发生动影响。概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 44010,1,2,
28、1n kkkknAppP AC ppnAkkn定理：伯努利定理 在一次试验中，假设事件 发生的概率为 ，则在 重伯努利试验中，事件 恰好发生 次；的概率为：1.2.10,1,2,kn kkknAnAkC ppkn注：在 重伯努利实验中，恰好发生 次 概率 也称二项概率.291415.P 例，概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 45 40.751.2.T 某大楼有 部独立电梯，通过调查，知道在某时刻，各电梯正在运行的概率均为，求 在此时刻恰好有一半电梯正在运行的概率？在此时刻至少有一部电梯正在运行的概率？AT解：设 在 时刻某部电梯正在运行 0.75pP A则 在此时刻恰好有一半电梯正在
29、运行的概率：24 22240.750.2527 128;P AC在此时刻至少有一部电梯正在运行，其反面为：在此时刻四部电梯全部都不运行；故所求的概率为：41(10.75)255 256.3322P题概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 46 1927.AAAP A例：设在三次独立实验中，事件 在每次实验中出现的概率相同，若已知 至少出现一次的概率等于，求事件 在每次实验中出现的概率 3323P题 P Ap解：设 0AAA事件 至少出现一次的对立事件为：三次实验中事件 都不出现，即 019127P A 3300311Cppp1.3p 概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 471011
30、1kAppAk kpp定理：在伯努利试验序列中，假设每次试验中 事件 发生的概率为，则 首次 出现 事件 中第 次试验中才的概率为：2633P例：题梁概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 48 25991.2.3.iijij例：一辆大巴车载有 名乘客途径 个站，每位乘客都等可能在这 站中的任意一站下车，大巴车只在有乘客下车时才停车，求下列事件的概率：大巴车在第 站停车的概率？大巴车在第 站不停车的条件下，在第 站停车；事件“大巴车在第 站停车”与事件“大巴车在 第 站停车”是否相互独立？概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 49 1.:BiBi 设 大巴车在第 站停车，即事件 表示
31、在第 站有人下车；25:25 2588BiB从而 在第 站 名乘客都不下车，即事件 表示 名乘客都在其余的 个站下车，有 种可能；2589P B；2581.9P B 1,2,25:25251 9.kkkk kiAiAiipP A解：观察第 位乘客在第 站是否下车作为一次试验，则试验只有两种可能结果，即 乘客在第 站下车”和 乘客在第 站不下车”。那么观察 位乘客在第 站是否下车可以看作是一个 重伯努利试验，其中 概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 50 2.:Cj 设 大巴车在第 站停车 2581.19P C 则由 可知：2581 8:1.7|1;8BBijP C B 那么在事件 不发
32、生 即 发生 的条件下，每位乘客均等可能地在第 站以外的 个站中任意一站下车，于是每位乘客在第 站下车的概率为 重复 的求法可得：3.|P C BP C 由于 BCBC所以 与 不相互独立，从而 与 不相互独立。概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 51 4.ij 大巴车在第 站和第 站至少有一站停车的概率？:Dij解：设 大巴车在第 站和第 站至少有一站停车:7Dijij则 大巴车在第 站和第 站均不停车；即，每位乘客均等可能第在第 站和第 站以外的 个站中的任意一站下车；2579P D从而 25711.9P DP D 所以 概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 52 5.ij 大巴车在第 站和第 站均停车的概率？:Fij解：设 大巴车在第 站和第 站均停车FBCDBC则有；P FP BCP BP CP BC P BP CP D25258712.99 概率论与数理统计概率论与数理统计 Page 53 6.3i 在第 站有 个人下车的概率？:3Gi解：设 在第 站有 个人下车 32232525183.99P GPC
