1、 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限第七节第七节 极限存在准则及两个重要极限极限存在准则及两个重要极限第1页，共49页。20sinlim?1xxxe 0,0上式分子分母都趋于但是无法消上式分子分母都趋于但是无法消去趋向 因子去趋向 因子0ln(1)lim?arctanxxx !还需要新的极限方法第2页，共49页。一、一、极限存在准则极限存在准则 本节先介绍两个极限是否存在的判定准则本节先介绍两个极限是否存在的判定准则,并利用它们来推导出两并利用它们来推导出两个重要极限个重要极限.1.夹逼准则夹逼准则第3页，共49页。证证,azaynn使得使得,0,0,021 NN,1 ayNn
2、n时恒有时恒有当当,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nn ,ayan即即,2 azNnn时恒有时恒有当当,azan上两式同时成立上两式同时成立,azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 第4页，共49页。上述数列极限存在准则可以推广到函数的情况上述数列极限存在准则可以推广到函数的情况.注注,.nnnnyzyz利利用用夹夹逼逼准准则则求求极极限限关关键键是是构构造造出出与与并并且且与与的的极极限限是是容容易易求求的的第5页，共49页。在构造在构造yn,zn 或或 g(x),h(x)的时候可以采取将的时候可以采取将xn 或或 f(x),适适当地缩小当地缩小,适当地扩大适当地扩
3、大,适当的标准为适当的标准为yn,zn 或或 g(x),h(x)的极限容的极限容易求出易求出,且且yn,zn 或或 g(x),h(x)的极限相等的极限相等.xn ynzn适当缩小适当缩小适当扩大适当扩大h(x)g(x)适当缩小适当缩小适当扩大适当扩大f(x)00()()lim()lim(),xxxxxxg xh xAlimlim,nnnnyzA第6页，共49页。例例1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又,1 22111lim1limnnnnn ,1 由夹逼定理得由夹逼定理得.1)12111(lim222 nn
4、nnn第7页，共49页。1 321lim().2 42nnn 求求1 3212 42.2 423 521nnnn 解解21 3211 2 3 4212()2 422 3 4 5221nnnnnn 121n 1 32112 4221nnn 1 321lim()0.2 42nnn 第8页，共49页。从数列的夹逼准则到函数的夹逼准则，需要用到体现从数列的夹逼准则到函数的夹逼准则，需要用到体现函函数极限与数列极限关系的一个定理数极限与数列极限关系的一个定理.Axfxxx)(,0:,0,00就就有有使使得得(自学自学)证证 必要性必要性即即,)(lim0Axfxx 根据假设根据假设定理定理 .)(lim
5、,)(lim000AxfNnxxxxAxfnnnnxx 都都有有）（的的数数列列对对每每个个收收敛敛于于点点存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是xnx第9页，共49页。Axfxxxnnn)(,0:,0有有特特别别 00,),(,0,limxxNnNxxnnn就有就有使得使得自然数自然数对上述对上述根据定理假设根据定理假设00,0,nnxxxx 注注意意到到即即有有于于是是得得到到 00,),(,0 xxNnNn有有使使得得自自然然数数 Axfn)(从从而而就就有有证毕证毕Axfnn )(lim即即第10页，共49页。00 lim(),0,xxf xA 充分性 假设则充分性 假设则*00*0
6、1/|0 ()nnnnnxxxxf xA 对取,则对取,则使得 使得 *0lim1/0,01/nnnnxxn 因为因为00,*,0*xxx对都有尽管对都有尽管0 (*)f xA 仍有仍有*0limnnnxxx 所以数列满足所以数列满足*lim()nnf xA 但是但是与条件矛盾与条件矛盾第11页，共49页。注注 此定理常用于判断函数极限不存在此定理常用于判断函数极限不存在.法法1 找一个数列:nx,0 xxn,)(0nxxn且不存在.)(limnnxf使法法2 找两个趋于0 x的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf例例 证明证明xx1sinlim0不存在不存在 .证证 取
7、两个趋于取两个趋于 0 0 的数列的数列21nxn及及221nxn),2,1(n第12页，共49页。有有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理由定理 知知xx1sinlim0不存在不存在.02sinlimnn1)2sin(lim2nn第13页，共49页。2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调不减单调不减,121 nnxxxx单调不增单调不增单调数列单调数列几何解释几何解释:若若xn单调不减单调不减,xn有两种可能有两种可能,即移向无穷远或无限即移向无穷远或无限接近某一定点接近某一定点A,因因xn有上界有上界M,则则xn的极限的极限存在
8、且不超过存在且不超过M.准则的含义准则的含义:单调不减且有上界的数列必有极限单调不减且有上界的数列必有极限;单调不单调不增且有下界的数列必有极限增且有下界的数列必有极限.第14页，共49页。利用极限存在准则利用极限存在准则II可以证明一些极限的存在性可以证明一些极限的存在性,并求极限并求极限.例例2 2.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx,331 x又又,3 kx假定假定kkxx 3133 ,3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx limnnxA 设设,31nnxx ,321nnxx ),3(l
9、imlim21nnnnxx 第15页，共49页。limnnu 故故存存在在.1211 (1)(1)122nnnuaauau 而而，11 ()2nnnauuu 因因为为,nnauau,nu则则有有下下界界1 nnnuuu 则则,从从而而单单减减；1110,()(1,2,0)lim2nnnnnauuunauu 设设且且，求求例例3解解2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx,32AA 于是于是第16页，共49页。11limlim()2nnnnnauuu 1()2aAAA 则则有有 Aa limnnua 故故lim,0nnuAAa设设解得解得2Aa第17页，共49页。10
10、2 ,0,lim1nnnnnxxxxx 算算012 0,0,01 ,0;nnnnnxxxxxn x 解 因为假设则解 因为假设则由归纳法知 对由归纳法知 对212(1)11nnnnnnnnnxxxxxxxxx 由由0 11;limlim11;nnnnxxx知,知,0000000101221,1,11,1,nnnnnnnnnnnxxxxxxxxn xxxx 若有故时若有故时有单调减少、有下界，有单调减少、有下界，第18页，共49页。211 lim,limlim2,1;1nnxnnxnnnxanxaaaa 设令设令得解得得解得 lim1nnx 综上得综上得000001021,1,1,1,;lim;
11、nnnnnnnnxxxxxxxn xxx 若时 有故时 对若时 有故时 对单调增加有上界存在单调增加有上界存在lim;nnx存在存在第19页，共49页。(1)1sinlim0 xxx)20(,xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有.ACO，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 二、两个重要二、两个重要极限极限ACxoBDACoxBD第20页，共49页。,tansinxxx ,1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20时时当当 x,1coslim0 xx
12、,11lim0 x又又.1sinlim0 xxx第21页，共49页。注注10 sintan2xxxx 当当时时，0 sin()tan(),sintan2xxxxxxx 当当-时时,即即于是于是0 sintan2xxxx 当当时时，类似可得类似可得 sin2xxx 当当时时，综上所述综上所述 sinxRxx当当时时，sintan2xxxx 当当时时，第22页，共49页。注注20sinlim1xxx 的形式特点的形式特点:i)极限呈极限呈 ；0 0型型0sin(1)lim1(2)ii)中中(1)和和(2)的表达式必须相同的表达式必须相同.当当(1)和和(2)的表达式不相同时的表达式不相同时,必须作
13、必须作恒等变换凑恒等变换凑(2)与与(1)相同相同.注注30sinlim1xxx 的变形形式的变形形式:1limsin1xxx 01limsin0 xxx 区别区别001sin1limsinlim11xxxxxx 1limsin0 xxx sinlim1xxx 缺一不可缺一不可第23页，共49页。0sin3lim2xxx00sin333sin33limlim32232xxxxxxxx例例30 tanlimxxx201 coslimxxx 2202sin2limxxx 202sin12lim2()2xxx 20sin112lim222xxx0sin1lim1cosxxxx 0sinlimxaxa
14、bxb 一般地一般地第24页，共49页。0arcsin1.limxxx0arcsinlimxxx解解arcsintx 令令0lim1sinttt 2.lim 2sin ()2nnnxx 为为非非零零有有限限数数sin2lim 2sinlim22nnnnnnxxxxx 解解0sinsin3.lim xxxx 第25页，共49页。002cossinsinsin22lim=limxxxxxxxx 0sin2=lim 2cos222xxxx 221sin4.lim21xxxx 22211sinsin1limlim122121xxxxxxxxx 解解第26页，共49页。30sintan5.limxxxx
15、 230022sin(cos1)sinsin12 =limlim.24()2xuxxxxxxx 解解原原式式sin6.limxxx 0sin()limxtttt 解解原原式式:0 x注注意意 正正弦弦的的自自变变量量 不不趋趋向向！0sinlim1ttt 第27页，共49页。01(1)limsin1;(2)lim1;tanxxxxxx 在下列等式中在下列等式中,错误的是错误的是()02sinsin(3)lim1;(4)lim1;xxxxxx (3)第28页，共49页。(2)exxx )11(lim1(1)nnan设设 21!2)1(1!11nnnnn).11()21)(11(!1)11(!21
16、11nnnnnn nnnnnnn1!)1()1(考虑考虑 x 取正整数取正整数 n 且趋于且趋于时的情形下先证时的情形下先证 存在存在.1lim(1)nnn 第29页，共49页。11111(1)2!11121(1)(1)(1)!121112(1)(1)(1).(1)!121nannnnnnnnnnn 类似地类似地,因为因为111 (1,2,1)1kkknnn 1na 且且多了最后一项多了最后一项,从而从而 an 单增单增.对任意的对任意的 n 有有!1!2111nxn 1212111 n1213 n,3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx 第30页，共49页。这个极限值被瑞士欧拉首先
17、用字母这个极限值被瑞士欧拉首先用字母e(是一个无理数是一个无理数,其值用其值用e =2.7182818284)来表示来表示,即即1lim(1)nnen ,1时时当当 x,1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而,e 11111lim(1)lim(1)lim(1)1 1 1xxxxxexxx第31页，共49页。,xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt.e,1xt 令令exxx 10)1(lim于是于是1lim(1)xxex 等价形式等价形
18、式101lim(1)lim(1)txxtxet.)11(limexxx 第32页，共49页。注注11lim(1)xxex 的形式特点的形式特点:i)极限呈极限呈 ；1 型型(2)lim(1(1)xeii)中中(1)和和(2)的表达式连同符号是互为倒数的表达式连同符号是互为倒数.当当(1)和和(2)的表达式不互为倒数时的表达式不互为倒数时,必须作必须作恒等变换凑恒等变换凑(2)与与(1)互为互为 倒倒数数.缺一不可缺一不可例例42lim(1);xxx 221=lim(1)2xxx 2e 解解2 lim(1)xxx (2)21=lim(1)2xxx 第33页，共49页。1 lim(1).2xxx
19、1lim(1)2xxx 解解例例52 21lim(1)2xxx 2211lim(1)lim(1)22xxxexx 1110lim(1)(1)1xxxxxe e 21200lim(1)lim1xxxxxxe 解法一解法一120lim(1)xxx 解法二解法二原式原式原式原式第34页，共49页。()lim1()g xmf xelim()0,lim()lim()(),f xg xf x g xm 若若且且则则型非常适用的结论型非常适用的结论:为使计算简化为使计算简化,我们给出我们给出(不证明不证明)上面公式的一个对上面公式的一个对“1”22 csclim(1)xxx 221()2sin0lim(1)
20、xxxxxe解解原式原式第35页，共49页。3121lim()23xxxx 解解314=lim(1)23xxx 例例63121lim()23xxxx 4124lim()(31)lim62323xxxxxx 31621lim()23xxxex 第36页，共49页。例例7 求求.)cos(sinlim11xxxx解解 原式原式=2)cos(sinlim211xxxx2)sin1(lim2xxxelimx)sin1(2xxx22sinx2sin1第37页，共49页。011.limxxex 1000111limlimlim1ln(1)lnln(1)xxtttetxtet 解解1ln(1)xetxt令令
21、12.()lim(),().tttf xf xx tx 已已知知 求求解解11()lim()lim(1)tttttxf xx txxtx lim()lim()ttxxttxtxtx 其其中中1 ()xf xex 第38页，共49页。例例7连续复利问题连续复利问题设有一笔初始本金设有一笔初始本金A0 存入银行存入银行,年利率为年利率为r,则一年末结算则一年末结算时时,其本利和为其本利和为100AArA 0(1)Ar 200(1)(1)22 2rrrAAA 20(1)2rA 如果一年分两期计息如果一年分两期计息,每期利率为每期利率为1,2r为后一期的本金为后一期的本金,则一年末本利和为则一年末本利
22、和为且前一期的本利和作且前一期的本利和作如果一年分如果一年分n期计息期计息,每期利率为每期利率为,rn后一期的本金后一期的本金,则一年末利和为则一年末利和为且前一期的本利和作为且前一期的本利和作为第39页，共49页。0(1)nnrAAn 令令 ,则表示利息随时计入本金则表示利息随时计入本金.这样这样 t 年末的本利和为年末的本利和为n 0lim(1)nrtrnrAn ()lim()nnA tAt 0lim(1)ntnrAn 0rtA e 于是到于是到t年末共结算年末共结算nt 期期(每期利率为每期利率为 ),其本利和为其本利和为rn0()(1)ntnrAtAn 第40页，共49页。(1)已知现
23、值已知现值A,求终值求终值At,有复利公式有复利公式 0rttAA e(2)已知终值已知终值At,求现值求现值A0,有贴现公式有贴现公式(这是利率称为贴现率这是利率称为贴现率)0rttAA e 则有如下结论则有如下结论:一般地一般地,设设A0为初始本金为初始本金(称为现在值或现值称为现在值或现值),年利率为年利率为r,按连续复利计算按连续复利计算,t年末的本利和记为年末的本利和记为A,(称为未来值或终值称为未来值或终值),这种将前一期利息计入本金再计算利息的方法称为复利这种将前一期利息计入本金再计算利息的方法称为复利;当一年内计息期数当一年内计息期数 时的复利成为连续复利时的复利成为连续复利.
24、n 第41页，共49页。102.lim(12)xxxx 2001lim 2()lim(22)2xxxxxx 解解120 lim(12)xxxxe 3101tan3.lim()1sinxxxx 3311001tantansin lim()lim(1)1sin1sinxxxxxxxxx 因因为为3200tansin1sin1cos11limlim1sincos(1sin)2xxxxxxxxxxxx解解第42页，共49页。1201tan lim()1sinxxex 214.lim(cos).xxx 2222222111lim(cos)lim(cos)lim(1sin)xxxxxxxxx 2211 l
25、im(sin)22xxx 而而2121lim(cos)xxex 则则 解解第43页，共49页。5.已知已知220001001lim(),5xcxxex 求求 c c.220001001lim()5xxxx 解解2200020121001lim()5xxxex 2012c 220001006lim(1)5xxx 1006lim(22000)20125xxx 第44页，共49页。0(),(),lim().(),xxg xxaf xf xh xxa 求求0001.,()(),lim()lim()xxxxxa f xg xf xg x故故分段函数的极限002.()(),()lim()xxxaf xh
26、xf xh x，故故003.()(),xaxxf xg x当时,有当时,有000()(),lim()lim()xxxxxxf xh xf xh x 时时00 lim()lim()xxxxf xg x 即即第45页，共49页。在分段点左右不能用同一式计算，必须计算左右极限在分段点左右不能用同一式计算，必须计算左右极限.11sin21,1 ()lim(),lim().,01xxxxxxxf xf xf xx 例求例求1122 lim()lim21xxxxf x 解解1x 是分段点！是分段点！sin111111(1)111lim()limsin1.lim()limlim0 xxxxxxxxxxxxf
27、 xf x 10sin1,lim().xf x 因为所以不存在因为所以不存在第46页，共49页。2210lncos,0 (),lim().,10 xexxxxxf xf xx 例求例求2001 lim()lim2;xxxef xx 解解2200lim()lim2;lncoscos1xxxxf xxx 000lim()lim()2 lim()2.xxxf xf xf x 因为因为所以所以第47页，共49页。思考题思考题求极限求极限 xxxx193lim 第48页，共49页。思考题解答思考题解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e第49页，共49页。
