1、曲线与曲面的表示天津大学计算机学院孙美君2提出问题l由离散点来近似地决定曲线和曲面，即通过测量或实验得到一系列有序点列，根据这些点列需构造出一条光滑曲线，以直观地反映出实验特性、变化规律和趋势等。8插值与逼近l样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续条件。在每段的边界处满足特定的连续条件。l样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述。样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述。9插值与逼近l曲线曲面的插值：当用一组型值点来指定曲线曲面的插值：当用一组型值点来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定的曲线曲面的形状时，形状完全通过给定
2、的型值点列。型值点列。图图8.1 曲线的插值曲线的插值10插值与逼近l曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面的形状时，求出的形状不必通过曲线曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点列。控制点列。图图8.2 曲线的逼近曲线的逼近6内容l参数表示l参数表示的数学原理l参数曲线l参数曲面7内容l参数表示l参数表示的数学原理l参数曲线l参数曲面8l考虑直线段 P0(x0,y0,z0)P1(x1,y1,z1)l参数表示l分量表示l参数空间：参数表示的数学原理：直线段 011tttRPP01t 010101111x tt xtxy tt ytyz tt ztz01t
3、 01t 9参数表示的数学原理：直线段l直线段参数表示的直观几何意义l参数空间中每一个参数(点)都对应于直线段上一个点l参数空间的两个端点对应于直线段的两个端点0(0)RP 1(1)RP10l一般三维参数曲线形式：l参数空间中每一个t对应于曲线上一个点R(t)l图形学中，参数空间通常是有限区间，此时参数曲线称为参数曲线段 l图形学中，参数函数通常为分段多项式或有理多项式曲线 参数表示的数学原理：曲线 ,ztx ty ttR11参数表示的数学原理：平面l双线性四边面片：(u,v)0,10,1 l四边面片的四个顶点P0、P1、P2和P3对应于参数曲面的四个角点R(0,0)、R(1,0)、R(1,0
4、)和R(0,1)0132,111u vvuuvuuRPPPP12曲面参数表示的数学原理双线性四边面片13l一般形式的空间参数曲面 l参数空间中每一点(u,v)对应于曲面上一点R(u,v)l如果曲面的参数空间是一个有限的定义域(如矩形)，则对应的参数曲面称为参数曲面片参数表示的数学原理：曲面,u vx u vy u vz u vR14参数表示的优势l参数表示是显式的l对每一个参数值，可以直接计算曲面上的对应点l参数表示的物体可以方便地转化为多边形逼近表示l可对其参数方程直接进行几何变换，如平移，旋转l参数曲线曲面更易于用计算机表示和构造l曲面上的几何量计算简便(微分几何)：切线，法向、曲率等l特
5、殊形式的参数表示的外形控制十分直观lBzier、B-样条、NURBS(Non-Uniform Rational B-Spline,非均匀有理B-样条)曲线/曲面。15内容l参数曲面表示l参数表示的数学原理l参数曲线lBzier曲线lB-样条曲线lNURBS曲线l参数曲面16Bzier曲线Pierre Bzier(1910.9.1-2019.11.25)发音：BEH zee ehBzier曲线，1962年30Bezier曲线定义 Bezier曲线曲线18l一条n次Bzier曲线：多项式Bi,n(t)称为Bernstein基函数：Bzier曲线定义 ,0nii nitBtRR 01t ,1n ii
6、ii nnBtCtt!inCni ni32Bezier曲线的定义l一次Bezier曲线（n=1）10101,1,0)1()()(kkkttPPttBENPtp33Bezier曲线的定义l二次Bezier曲线（n=2）1,0)(2)2()1(2)1()()(00120122022102,tPtPPtPPPPtPttPttBENPtpknkk34Bezier曲线的定义l三次Bezier曲线（n=3）1,0)1(3)1(3)1()()()()()()(3322120333,323,213,103,030,tPtPttPttPtPtBENPtBENPtBENPtBENtBENPtpknkk 1,000
7、010033036313311)(321023tGMTPPPPttttpbebe22Bzier曲线性质l端点性质：lR(0)=R0 R(1)=Rnl端点切向：lR(0)=n(R1R0)lR(1)=n(RnRn-1)l对称性：liRn-iBi,n(t)=iRiBi,n(t)lBzier曲线形状相同，走向相反 三次Bzier曲线23Bzier曲线性质l凸包性：Bzier曲线位于控制多边形的凸包内l几何不变性：Bzier曲线的形状仅与控制多边形有关，与坐标系无关Bzier曲线的凸包性24Bzier曲线的不足l当控制点较多时，需要更高的次数，增加计算复杂度l整体性质：当移动曲线的一个控制顶点时，整条曲
8、线的形状都会发生改变l表示复杂形状时，需要将多条Bzier 曲线光滑拼接起来，即Bzier样条曲线。l位置连续：C0(或G0)ln次导数(或几何)连续：Cn(或Gn)25内容l参数曲面表示l参数表示的数学原理l参数曲线lBzier曲线lB-样条曲线(B Spline curves)lNURBS曲线l参数曲面26B-样条曲线实列三次(四阶)B-样条曲线 R0R1R2R3R4R5R6R727B-样条曲线的定义 lB-样条曲线是分段连续的多项式曲线，其定义与节点向量节点向量密切相关l定义在节点向量节点向量u=u0,u1,ui,un+k+1 上的k次(k+1阶)、具有(n+1)个控制顶点的B-样条曲线
9、为：,0nii kiuNuRR 12nkmaxminuuu28B-样条曲线的定义Ri为控制顶点，Rii=0,1,n顺次连接称为曲线的控制多边形Ni,k(u)为单位化的B-样条基函数：1,01,11,1111 0 000iiiii ki ki kiki kii kiuuuNuuuuNuNuNuuuuu 当其它定义29B-样条基函数实例n=3 (4个控制顶点)k=3 三次(四阶)曲线u=0 0 0 1 2 2 2 2在 u=0.6 处，基函数的和为：N0,3+N1,3+N2,3+N3,3=0.16+0.66+0.18+0.0=1.0 u30B-样条曲线性质lB-样条曲线具有凸包性凸包性和几何不变性
10、几何不变性。l当曲线的两个端节点的重复度是k+1时lB-样条曲线具有类似于Bzier曲线的性质l端点端点性质l端点导数端点导数与控制的起始边与终止边相切l当n=k+1时，B-样条曲线就是一条Bzier曲线31B-样条曲线性质l局部性局部性：当移动一个控制顶点时，只会影响曲线的一部分，而不是整条曲线三次B-样条曲线的局部性质32内容l参数曲面表示l参数表示的数学原理l参数曲线lBzier曲线lB-样条曲线l非均匀有理B样条（NURBS曲线）l参数曲面33lNURBS(Non-Uniform Rational B-Spline)：非均匀有理B-样条的简称l定义：,0,0niii kinii kiN
11、uuNuRRNURBS曲线 34NURBS曲线lNi,k(u)为单位化的B-样条基函数lRi为控制顶点lNURBS曲线新增加的曲线控制手段是权因子i，l首末两个权因子00、n0 l其余的权因子满足i035NURBS曲线的权因子l每一个权因子对应于一个控制顶点l通过调整权因子的大小可以调整曲线的形状。l当所有的权因子i=1时，就是B-样条曲线；l当某个权因子i=0时，对应的控制顶点对曲线的形状没有影响l当i时，曲线R(u)Ri，即曲线过点Ri 36NURBS曲线的例子NURBS曲线权因子对曲线形状的影响89NURBS曲线曲面的特点l既为自由型曲线曲面也为初等曲线曲面的精确表示与设计提供了一个公共
12、的数学形式，因此，一个统一的数据库就能够存储这两类形状信息。l为了修改曲线曲面的形状，既可以借助调整控制顶点，又可以利用权因子，因而具有较大的灵活性。90NURBS曲线曲面的特点l计算稳定且速度快。lNURBS有明确的几何解释，使得它对良好的几何知识尤其是画法几何知识的设计人员特别有用。lNURBS具有强有力的几何配套计算工具，包括节点插入与删除、节点细分、升阶、节点分割等，能用于设计、分析与处理等各个环节。91NURBS曲线曲面的特点lNURBS具有几何和透视变换不变性。lNURBS是非有理B样条形式以及有理与非有理Bezier形式的合适的推广。l需要额外的存储以定义传统的曲线曲面。l权因子
13、的不合适应用可能导致很坏的参数化，甚至毁掉随后的曲面结构。92NURBS曲线曲面的特点l某些技术用传统形式比用NURBS工作得更好。例如，曲面与曲面求交时，NURBS方法特别难于处理刚好接触的情况。l某些基本算法，例如求反曲线曲面上的点的参数值，存在数值不稳定问题。41内容l参数曲面表示l参数表示的数学原理l参数曲线l参数曲面lBzier曲面lB-样条曲面lNURBS曲面42双三次Bzier曲面实列双三次Bzier曲面实例43lmn次Bzier曲面：lBi,m(u)和Bj,n(v)为Bernstein基函数 lRij规则连接形成控制网 Bzier曲面 ,00,mniji mj niju vBu
14、 BvRR44Bzier曲面性质lBzier曲面的控制顶点所形成的控制网格大致反应了曲面的形状，所以可通过编辑控制顶点的方式来实现对曲面形状的改变 45Bzier曲面性质lBzier曲面通过四个角点处的控制顶点 0000(0,0)(1,0)(0,1)(1,1)mnmnRRRRRRRR46Bzier曲面性质l在角点处曲面与控制多边形相切 10000100(0,0)()(0,0)()uvmnRRRRRR47Bzier曲面的不足l全局性：当移动一个控制顶点的位置时，整个曲面的形状会发生改变，这对于外形设计是很不方便的 l生成复杂外形需要多个Bzier曲面的光滑拼接，十分复杂48内容l参数曲面表示l参
15、数表示的数学原理l参数曲线l参数曲面lBzier曲面lB-样条曲面lNURBS曲面49lB-样条曲面定义：l次数：kukvl控制顶点数：(nu+1)(nv+1)l节点向量 B-样条曲面011,uuinku uuuu011,vvjnkv vvvv ,00,uvuvnniji kj kiju vNu NvRR50B-样条曲面Rij为控制顶点 Ni,ku(u)和Ni,kv(v)分别为定义在节点向量u和v上的规范化B-样条基函数 51B-样条曲面的重要性质l局部性质l控制顶点数目lBzier曲面的次数确定后，控制顶点数目就定了lB-样条曲面的次数确定后，控制顶点数目可任意l其它性质：参考曲线情形52B
16、-样条曲面实例具有66个控制顶点双三次B-样条曲面：(a)均匀节点向量u=v=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5，所构造曲面不插值角点(b)具有端点处4阶重节点的节点向量u=v=0,0,0,0,1,2,3,3,3,3，曲面插值角点(c)采用了与图(b)相同的节点向量，扰动顶点R4,4的位置后，其形状变化的红色区域局限于变动顶点的邻域中(a)均匀节点(b)端点重节点(c)B-样条曲面的局部性R0,0R5,0R5,5R0,5R0,0R5,0R5,5R0,5R5,0R4,4R0,5R5,5R0,053B-样条曲面的不足l不能精确表示常用的二次曲面：如球面、圆柱面、圆锥面等54内容l参数曲面表示l参数表示的数学原理l参数曲线l参数曲面lBzier曲面lB-样条曲面lNURBS曲面55小结l物体的参数曲面表示l参数表示的数学原理：曲线、曲面l参数曲线：Bzier、B-样条和NURBS曲线l参数曲面：Bzier、B-样条和NURBS曲面lThank you!
