1、aaaa22211211记记号号：aaaa21122211 +-称为称为二阶行列式二阶行列式.5152311332 例例 计计算算.()一、二阶行列式一、二阶行列式1.3方阵的行列式方阵的行列式例：解二元一次方程组例：解二元一次方程组 22221211212111bxaxabxaxax2消消元元 ababxaaaa122221121122211 时时：当当021122211 aaaa222112112221211aaaaababx 222112112211112aaaababax 1x消消元元112212212211121a aa a xb aba11122122det0aaAaa设设：112
2、1222detbaBba1112212detabBabdet(1,2)detjjBxjA则则有有：二、二、n阶行列式的阶行列式的递推递推定义定义定义：由一个数组成的一阶方阵和它的行列式就定义：由一个数组成的一阶方阵和它的行列式就是这个数本身。是这个数本身。定义定义 在在n阶方阵阶方阵ijAa中去掉元素中去掉元素 aij所在的第所在的第i行和行和第第j列后，余下的列后，余下的n-1阶行列式，称为阶行列式，称为A中元素中元素 的余子式，的余子式，aij记为记为 。即。即ijMnnjnjnnnijijiinijijiinjjijaaaaaaaaaaaaaaaaM1111111111111111111
3、11111 ija的余子式的余子式 ijM前添加符号前添加符号 ji )1(称为的称为的 代数余子式，代数余子式，ijaijAaij记为记为ijA。即。即ijjiijMA )1(11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa例例 444341242321141311322332)1(aaaaaaaaaMA 定义定义1.8：n阶方阵阶方阵ijAa 的行列式的行列式detA,定义为定义为与其对应代数余子式乘积的和与其对应代数余子式乘积的和112211 2det(,)ndefiiiiininijijjAa Aa Aa Aa Ain112211 2d
4、et(,)ndefjjjjnjnjijijiAa Aa Aa Aa Ajn它的任意一行（列）的各元素它的任意一行（列）的各元素对称地对称地:detijAAa记记为为或或111213212223313233:a aaa aaa aa例例111112121313a Ma Ma M111112121313a Aa Aa A222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa112233233212213323311321322231()()()aa aa aaa aa aaa aa a2124312235.例例2 2 将将按按第第 行行展展开开求求值值。行行按按
5、第第解解：2532134212 52223122 1032121132 53214112 上三角形行列式：上三角形行列式：aaaaaannnn.00.0.22211211aaann.00.0.00.02211aaaaaannnn.0.0.021222111下三角形行列式：下三角形行列式：对角形行列式：对角形行列式：aaann.2211 例例3.计算下列行列式之值计算下列行列式之值.三、三、行列式的性质行列式的性质aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaT44342414433323134232221241312111444342413433323124232221141
6、31211 例：例：1.detdet.TTAAAA性性质质将将行行列列式式转转置置，行行列列式式的的值值不不变变，即即=或或*(行具有的性质列也一定具有。）行具有的性质列也一定具有。）2.性性质质交交换换行行列列式式的的某某两两行行 列列，行行列列式式的的值值变变号号。推论：推论：若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式值零。若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式值零。10110112011321132120.,.例例.性质用数 乘行列式的某一行（列），等于以数 乘此行列式。3kk.:.即111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnkaaaaaak
7、akakaaaaaaaaaa推论推论1.若行列式某行（列）的所有元素全为零，则此行列式若行列式某行（列）的所有元素全为零，则此行列式值为零。值为零。推论推论2.若行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此若行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。行列式的值等于零。即：即：行列式某行行列式某行(列列)的所的所有元素有公因子，则公因有元素有公因子，则公因子可子可 以提到行列式外面。以提到行列式外面。aaacbcbcbaaannnnininiiiin.21221111211 =aaabbbaaannnniniin.212111211+aaacccaaannnniniin.2121
8、11211 性质性质4.若将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成两个若将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其它位置的分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其它位置的元素与原行列式相同。即元素与原行列式相同。即推论推论：若将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成若将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成m个数的和（个数的和（m2），则此行列式可以写成），则此行列式可以写成m个行列式的和。个行列式的和。性质性质5.将行列式中
9、的某一行（列）的所有元素同乘以将行列式中的某一行（列）的所有元素同乘以k后加于后加于另另一一行行（列列）对对应应位位置置的的元元素素上上，行行列列式式的的值值不不变变。举举例例：3111.597201299623计计算算行行列列式式326130012003600113 解解：原原式式326113113326300200600113 00 0 求求,1333231232221131211 aaaaaaaaa2.设设33323123222113121153531026aaaaaaaaa 33323123222113121153531026aaaaaaaaa解解；333231232221131211
10、5353532aaaaaaaaa 5)3(2 333231232221131211aaaaaaaaa3015)3(2 011211023.12102110D计计算算0112012120112110 D解解；0112012121102011 1 2 4130211021102011 1 3 2200420021102011 1 2000420021102011 4)2()2()1(1 22222222222222224.0123123123123Daaaabbbbccccdddd证证明明：9644129644129644129644122222222222222222 dddddddcccccc
11、cbbbbbbbaaaaaaaD证证：9644129644129644129644122222 ddddccccbbbbaaaa62126212621262122222 ddccbbaa=0 1 2 3 1.1,ijnAa定定理理设设 阶阶方方阵阵则则1122110()()nikikinknijkjja Aa Aa Aa Aik1122120()()njljlnjnlijilia Aa Aa Aa Ajl1.2,ijnAa定定理理设设 阶阶方方阵阵则则111 20det,()(,);nijkjjAkia Ai knki若若若若121 20det,()(,).nijiliAlja Al jnlj
12、若若若若1.3,detdetdet:A BnABABABAB定定理理设设均均为为 阶阶方方阵阵 则则有有即即123111.1111.1:111.1.111.1naaaa例例 1 目标目标:化为三角形行列式化为三角形行列式四、行列式的计算四、行列式的计算112131111.10.00.0.00.naaaaaaa=1231 211111.110.0101.0.100.1nnaaaaa aa=11231 211111.010.0001.0.000.1niinnaaaaa aa=1211(1)nniia aaa各列提各列提公因子公因子例例.计算计算n阶行列式阶行列式xaaaaaxaaaaaxaaaaa
13、xaaaaax1 1 1 1 xaaaanxaxaaanxaaxaanxaaaxanxaaaaanx)1()1()1()1()1(1 axaxaxaxaaaaanx 0000000000000000)1(1)()1(naxanx0000000000000000:nababaabba例例计计 算算阶阶 行行 列列 式式按第一列展开按第一列展开111naAbA100000000000000000nababaaaba阶阶11000000000000010000()nnbababbbab阶阶11()nnnab 例例.解方程解方程0113211232113221132111321 xaaaaaaaxaa
14、aaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaannnnnnnnnnnn解：左边解：左边=xaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaxaaaaaaaannnnnnnnnnnn 113211232113221132111321 1 xaxaxaxaaaaaannnn 122113210000000000000000)()(12211xaxaxaxaann 0)()()()(12211 xaxaxaxaann,11ax ,.,22ax 11 nnax112230.000.0000.00.000.111.11nnaaaaaa a例例1 1计计算算1 1 1 12112122121.1.2.1.1.
15、nnnnnaaaa baaaa baaaa b 1 0121122.0.03.0.0.00.nnnabbbcacaca ac11 ac22 acnn目标目标:化为三角形行列式化为三角形行列式3123222123111:()Dxxxxxx 例例范范得得蒙蒙行行列列式式312322212313111 =0Dxxxxx xxx x解解：213122212313111 =0-0 x xx xxx xxx x21312311=(-)(-)x xx xxx2131221331-=(-)(-)x xx xx x xx x x213132 =(-)(-)(-)x xx xx x313221 =(-)(-)(-
16、)x xx xx x1 j i 3 =(-)ijx x (42)(43)(41)(12)(13)(32)120 12222121 ji11112111(-)nnijnnnnnxxxxxxx xxxx 一一般般地地，范范得得蒙蒙行行列列式式用用数数学学归归纳纳法法可可得得到到如如下下结结果果：411112314 49116827164D 例例如如：12342 3 1 4xxxx 令令，k五、（拉普拉斯定理）五、（拉普拉斯定理）在在n 阶方阵阶方阵A中，任意取定中，任意取定 k行（列）行（列）11,knkk由由这这 行行（列列）元元素素组组成成的的所所有有 阶阶子子式式与与它它们们的的代代数数余余子子式式的的乘乘积积之之和和等等于于d de et tA A。例例 用拉普拉斯定理求行列式用拉普拉斯定理求行列式 2100321003210032行展开行展开，按按 212132)1(21322121 2031)1(31023121 2030)1(32033221 110121 用拉普拉斯定理计算下列行列式用拉普拉斯定理计算下列行列式122112211221010220112101 =-=92011010200120201020100210b00b0b000c0dy0 x0yx00 =-()()0 x00c0d00cd0w0z0w0z00wzaaaaxby czdwy
