1、数学概念教学数学概念教学吴明华 E-mail:索引索引n数学概念数学概念n概念教学概念教学n案例分析案例分析概念的地位概念的地位 在数学中，作为一般的思维在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，而数则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础。学概念则是构成它们的基础。数学概念数学概念 数学概念数学概念 (mathematical concepts)(mathematical concepts)是人脑对现实对象的数量关系和是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的
2、思维形式。形式，即一种数学的思维形式。概念的内涵与外延概念的内涵与外延n概念的内涵概念的内涵 对象的对象的“质质”的特征。的特征。n概念的外延概念的外延 对象的对象的“量量”的范围。的范围。概念间的属种关系概念间的属种关系 属种关系，是指一个概念的部分属种关系，是指一个概念的部分外延与另一个概念的全部外延重合的外延与另一个概念的全部外延重合的关系。其中，外延大的概念叫属概念，关系。其中，外延大的概念叫属概念，或上位概念；外延小的概念叫种概念，或上位概念；外延小的概念叫种概念，或下位概念。或下位概念。AB定义定义n数学概念一般以定义的形式来表达。数学概念一般以定义的形式来表达。n定义，就是用简洁
3、明确的语言对事物的定义，就是用简洁明确的语言对事物的本质特征作概括说明。本质特征作概括说明。n用符号来表示，是表达数学概念的一种用符号来表示，是表达数学概念的一种独特方式，它简约、明确，从而增强了独特方式，它简约、明确，从而增强了科学性。科学性。下定义下定义n必须抓住被定义事物的基本属性和本质必须抓住被定义事物的基本属性和本质特征。特征。n把被定义的概念放在一个大的概念中，把被定义的概念放在一个大的概念中，再加上对其本质特征进行描述的限制再加上对其本质特征进行描述的限制 。n基本格式：基本格式：（种概念）是（种概念）是（种差）的（种差）的（属概念）。（属概念）。n也常常倒过来，用短句表达。也常
4、常倒过来，用短句表达。数学教学数学教学n专业知识专业知识n两个要素两个要素学科学科职业职业理解数学理解数学理解教学理解教学理解数学理解数学以数列为例以数列为例n什什么么叫叫一一定定顺顺序？序？理解教学理解教学以角的教学为例以角的教学为例续上续上n我们是怎么让学生学习角的概念的？我们是怎么让学生学习角的概念的？n角是数量还是图形？究竟什么叫做角？角是数量还是图形？究竟什么叫做角？概念教学的一般程序概念教学的一般程序n一、创设教学情境，引入概念一、创设教学情境，引入概念数学史话、实际问题、知识经验、实验操作等等。数学史话、实际问题、知识经验、实验操作等等。n二、抓住本质属性，辨析概念二、抓住本质属
5、性，辨析概念关键词语解释、数学语言翻译、相似概念对比、正关键词语解释、数学语言翻译、相似概念对比、正反例子体验等等。反例子体验等等。n三、精心设计练习，巩固概念三、精心设计练习，巩固概念顺用、逆用、变用等等。顺用、逆用、变用等等。概念教学的几个误区概念教学的几个误区n1 1、以为背出定义就完事以为背出定义就完事记定义是学习概念的一部分，但学习概念更主要是获知记定义是学习概念的一部分，但学习概念更主要是获知对象的本质特征。对象的本质特征。n2 2、以为学生是以为学生是“一张白纸一张白纸”或因常识，或因已学习，许多概念虽是重新学习但或因常识，或因已学习，许多概念虽是重新学习但“原原来已有来已有”，
6、教学不能熟视无睹。，教学不能熟视无睹。n3 3、以为性质教学不是概念教学以为性质教学不是概念教学探究某个对象的性质，其实也是揭示该概念的内涵，而探究某个对象的性质，其实也是揭示该概念的内涵，而定义只是用定义只是用“最少的、最本质的特征最少的、最本质的特征”来界定概念。来界定概念。科学性与艺术性科学性与艺术性n教学是一门科学教学是一门科学科学有必然，科学讲规律。科学有必然，科学讲规律。n教学是一门艺术教学是一门艺术艺术有取向，艺术讲创造。艺术有取向，艺术讲创造。n教学首先是科学，其次是艺术教学首先是科学，其次是艺术把握本质，追求自然。把握本质，追求自然。如何做概念教学设计如何做概念教学设计n1
7、1、知道概念的本质、知道概念的本质n2 2、了解学生的认识、了解学生的认识n3 3、读懂教材的设计、读懂教材的设计n4 4、确定合适的途径、确定合适的途径n5 5、设想有效的情境、设想有效的情境n6 6、选择恰当的素材、选择恰当的素材n7 7、安排相关的活动、安排相关的活动n8 8、预设相应的对策、预设相应的对策概念教学设计案例概念教学设计案例n函数函数n直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率n概率概率n椭圆（教学案例）椭圆（教学案例）谢谢大家！谢谢大家！n您的意见是关爱！您的意见是关爱！n您的建议是帮助！您的建议是帮助！吴明华吴明华E-mail:函数的概念函数的概念n内涵内涵初中：对于变量初中
8、：对于变量x x的每一个值，变量的每一个值，变量y y都有都有唯一确定的值与之对应。唯一确定的值与之对应。高中：从数集高中：从数集A A到数集到数集B B的映射。的映射。n外延外延一次函数、二次函数一次函数、二次函数指数函数、对数函数指数函数、对数函数等差数列等差数列n想一想：种概念？属概念？种差？想一想：种概念？属概念？种差？n试一试：用一个单句表示。试一试：用一个单句表示。案例一：函数案例一：函数函数实例函数实例1函数实例函数实例2函数实例函数实例3函数的定义函数的定义函数概念的教学函数概念的教学n教学的起点在哪里？教学的起点在哪里？n教学的目标是什么？教学的目标是什么？n为什么要举这样三
9、个实例？为什么要举这样三个实例？n有哪些教学的关注点？有哪些教学的关注点？n后续还需要后续还需要“螺旋上升螺旋上升”吗？吗？函数概念教学的若干问题函数概念教学的若干问题n起点：初中函数概念起点：初中函数概念n目标：高中函数概念目标：高中函数概念n举例：概念内涵的举例：概念内涵的“前体验前体验”，三种类，三种类型型n关注：关注：初中理解不够；三要素分析初中理解不够；三要素分析引导；新概念解析。引导；新概念解析。n上升：定义后的巩固；映射时的比上升：定义后的巩固；映射时的比较；具体函数中的丰富。较；具体函数中的丰富。案例二：直线的倾斜角与斜率案例二：直线的倾斜角与斜率倾斜角的定义倾斜角的定义确定直
10、线的几何要素确定直线的几何要素从倾斜角到斜率从倾斜角到斜率斜率的定义斜率的定义倾斜角与斜率概念的教学倾斜角与斜率概念的教学n教材的设计有哪些环节？教材的设计有哪些环节？n每个环节的意图是什么？每个环节的意图是什么？n若用教材的设计上课，你有什么体会？若用教材的设计上课，你有什么体会？n若不用教材的设计，你是怎么上课的？若不用教材的设计，你是怎么上课的？n倾斜角与斜率的教学难点是什么？倾斜角与斜率的教学难点是什么？倾斜角与斜率概念教学的若干问题倾斜角与斜率概念教学的若干问题n教材：教材：从两点确定直线讲起，探索确从两点确定直线讲起，探索确定直线的几何要素；研究过定点的直定直线的几何要素；研究过定
11、点的直线，感受直线的倾斜程度；定义倾斜线，感受直线的倾斜程度；定义倾斜角，学习新概念；联系斜坡角，学习新概念；联系斜坡“坡度坡度”，定义斜率。定义斜率。n体会：难于处理好，源于找理由。体会：难于处理好，源于找理由。n观点：其实没必要这么复杂。观点：其实没必要这么复杂。倾斜角与斜率概念教学设计倾斜角与斜率概念教学设计n1 1、用经过一点的直线来体验直线的倾斜、用经过一点的直线来体验直线的倾斜程度，感受直线的方向性。程度，感受直线的方向性。n2 2、定义倾斜角，体会倾斜角的意义。、定义倾斜角，体会倾斜角的意义。n3 3、问题探究：如何建立倾斜角与直线上、问题探究：如何建立倾斜角与直线上点的坐标的联
12、系？点的坐标的联系？n4 4、定义斜率，体会斜率的意义。、定义斜率，体会斜率的意义。案例三：概率案例三：概率掷硬币试验掷硬币试验1 1掷硬币试验掷硬币试验2 2掷硬币试验掷硬币试验3-43-4频数、频率频数、频率计算机模拟计算机模拟历史上一些掷硬币的结果历史上一些掷硬币的结果从特殊到一般从特殊到一般概率的定义概率的定义概率概念的教学概率概念的教学n学生已有的概率概念是什么？学生已有的概率概念是什么？n为什么选择这样的掷硬币试验？为什么选择这样的掷硬币试验？n独立重复试验，随试验次数的增加：独立重复试验，随试验次数的增加：频率稳定在某个常数？频率稳定在某个常数？频率越来越接近于某个常数？频率越来
13、越接近于某个常数？频率趋向于某个常数？频率趋向于某个常数？频率的极限是某个常数？频率的极限是某个常数？对概率的理解对概率的理解n概率的三种定义：古典定义（初中）、概率的三种定义：古典定义（初中）、统计定义（高中）、公理化定义。统计定义（高中）、公理化定义。n试验是随机的，很难得到那个试验是随机的，很难得到那个“常数常数”。用掷硬币试验实际是对已知验证。用掷硬币试验实际是对已知验证。n从某种意义讲，说从某种意义讲，说“接近接近”、“趋向趋向”、“极限极限”都可以，而说都可以，而说“稳定稳定”最贴切，最贴切，关键是需要通过辨析体会其实际的含义。关键是需要通过辨析体会其实际的含义。概率概念教学设计概
14、率概念教学设计1 1n一、从学生已有概念说起一、从学生已有概念说起n师：在初中我们已经学习过一些简单事件（随师：在初中我们已经学习过一些简单事件（随机事件）的概率。你知道机事件）的概率。你知道“掷一枚硬币，正面掷一枚硬币，正面向上向上”的概率吗？的概率吗？n生：生：0.50.5。（应该知道）。（应该知道）n师：你是怎么得到的？师：你是怎么得到的？n学生的回答可能有两种：一是计算，二是试验。学生的回答可能有两种：一是计算，二是试验。n师：好！现在让我们合作做一做重复掷硬币的师：好！现在让我们合作做一做重复掷硬币的试验。试验。概率概念教学设计概率概念教学设计2 2n二、试验及统计二、试验及统计n师
15、：介绍试验操作要求师：介绍试验操作要求（参见教材）（参见教材）。n生：个人试验，相互交流，小组统计。生：个人试验，相互交流，小组统计。n师生：组长汇报，教师借助师生：组长汇报，教师借助Excel当场统计当场统计（分组统计、累加统计）。（分组统计、累加统计）。n师：假如时间允许，我们可以做更多次试验。师：假如时间允许，我们可以做更多次试验。（呈现史料）现在将我们刚才做的试验也（呈现史料）现在将我们刚才做的试验也“写写入历史入历史”，让我们加入伟人行列一起来看看，让我们加入伟人行列一起来看看（分组统计、累加统计）。（分组统计、累加统计）。概率概念教学设计概率概念教学设计3 3n三、观察统计结果，辨
16、析直观感受三、观察统计结果，辨析直观感受n师：从统计结果看，当试验次数增多时，师：从统计结果看，当试验次数增多时，“掷硬币，正面向上掷硬币，正面向上”的频率值有什么的频率值有什么变化特征？变化特征？n生：观察思考，相互讨论。生：观察思考，相互讨论。n师生：对话互动，辨析师生：对话互动，辨析“稳定稳定”、“接接近近”、“趋向趋向”、“极限极限”等直观感受。等直观感受。（核心：从可能性来讲）（核心：从可能性来讲）概率概念教学设计概率概念教学设计4 4n四、定义概率，顺应建构四、定义概率，顺应建构n师：事实上，我们已经知道师：事实上，我们已经知道“掷硬币，掷硬币，正面向上正面向上”的概率是的概率是0
17、.50.5，以上的试验可，以上的试验可以看成是一种验证，受此启发，我们获以看成是一种验证，受此启发，我们获得了概率的另一种说法。（给出定义）得了概率的另一种说法。（给出定义）n生：体会概念含义。生：体会概念含义。n师：两个定义的本质是一致的，对象条师：两个定义的本质是一致的，对象条件不同、计算方法不同。件不同、计算方法不同。椭圆（教学案例椭圆（教学案例20112011）1 1n师：谁能说出圆的定义？师：谁能说出圆的定义？n生：？生：？n师：怎么样？师：怎么样？n生：？生：？（后排有学生轻轻说：木棒绕一圈。教师没听见）（后排有学生轻轻说：木棒绕一圈。教师没听见）n师：圆上一点到圆心的距离等于师：
18、圆上一点到圆心的距离等于n生：半径！生：半径！n师：平面上，到一个定点的距离等于定长的点师：平面上，到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。的轨迹叫圆。椭圆（教学案例椭圆（教学案例20112011）2 2n师：下面让我们来做实验！师：下面让我们来做实验！（课前，师生每人都准备了一条细绳）（课前，师生每人都准备了一条细绳）n师：将细绳两端重合并固定在纸上一定师：将细绳两端重合并固定在纸上一定点，笔尖套在绳圈内，拉紧转一圈，观点，笔尖套在绳圈内，拉紧转一圈，观察画出的图形。察画出的图形。n生：一个圆！生：一个圆！从开始到这里存在的问题：从开始到这里存在的问题：1 1、初中圆是怎么定义的？、初中圆是
19、怎么定义的？2 2、操作确认的意义何在？、操作确认的意义何在？椭圆（教学案例椭圆（教学案例20112011）3 3n师：下面让我们将细绳的两端分别固定在两个定点，师：下面让我们将细绳的两端分别固定在两个定点，譬如说这样（演示），同样操作一次，看看得到什么。譬如说这样（演示），同样操作一次，看看得到什么。n生：（两人合作）一个椭圆！生：（两人合作）一个椭圆！n师：我们再将细绳拉直，就是这样（演示），能得到师：我们再将细绳拉直，就是这样（演示），能得到椭圆吗？椭圆吗？n生：？生：？n师师：（演示）：（演示）一条线段！一条线段！n师：还有，如果两个定点的距离大于绳子的长度，可师：还有，如果两个定点的距离大于绳子的长度，可能吗？能吗？n生：不生：不可可能！能！这里有问题吗？这里有问题吗？
