1、第五章 傅里叶变换本章基本要求 理解和掌握傅里叶积分和傅里叶变换 掌握导数和积分的傅里叶变换 掌握延迟定理，位移定理和卷积定理 理解狄拉克函数及其傅里叶积分表示5.1 傅里叶级数一 周期函数)()2(xflxfl为常数二 基本三角函数系1 函数f(x)以2l为周期，则可取三角函数族：,cos ,2cos ,cos ,1lxklxlx,sin ,2sin ,sinlxklxlx10)sincos()(kkkxlkbxlkaaxf作为基本函数族，将f(x)展开为级数：2 三角函数族是正交的：0d sin cos)(0d sin sin)(0d cos cos 0d sin1)0(0d cos1l-
2、ll-ll-ll-ll-lxlxnlxknkxlxnlxknkxlxnlxkxlxkkxlxk3 Fourier 系数)0(10)(2 d sin)(1d cos)(1 kklkflblkflallkllkkFourier 级数也可展开成kkkkkkabbaCarctan ,220 cos)(kkklxkCxf三 傅里叶级数的收敛性狄里希利定理 若函数 f(x)满足条件：（1）处处连续，或在每个周期中只有有限个第一类间断点；间断点的跃度有限。（2）在每个周期只有有限个极值点，则级数（5.1.3）收敛，且级数和)()0()0(）()(00021xxfxfxxf在间断点在连续点四 复数形式的傅里叶
3、展开1 基本函数族：2 傅里叶级数：3 利用复指数函数族的正交性，可求出其傅里叶系数：.,.,1,.22lxkilxilxilxilxilxkieeeeeekklxkicexf)(deflclkillk)(21 傅立叶级数展开是把一个复杂的周期性函数表示为一系列具有倍频关系的正弦和余弦函数的线性叠加。实际上，一个复杂的周期性函数代表一个复杂振动，一个正弦或余弦函数表示一个简谐振动。因此，傅立叶级数实际上是把一个复杂振动分解为一系列具有倍频关系的简谐振动的叠加。在信号处理和频谱分析中具有重要意义。例1（简明教程p63）试研究如下三角波的频谱。解 三角波函数的最小正周期为2l，且为偶函数，在对偶区
4、间-l，l中可表示为 xlHxf)(2210HdxxlHlall)1(1 2cos2cos1220nlllnnHdxlxnxlHldxlxnxlHla0nb则xlkkHHxlnnHHxfknn)12(cos)12(142cos)1(122)(022122例2（简明教程p64）利用傅立叶级数展开求出如下级数和：.7151311)12(122202kk五 奇函数和偶函数的傅里叶展开,sin)(1xlkbxfkklklkflb0d sin)(2特征：f(0)=0,f(l)=0奇函数:f(x)=-f(-x)，ak=0 xlkaaxfkkcos)(10lkklkfla0d cos)(2偶函数:f(x)=
5、f(-x)，bk=0特征：0)(,0)0(lff六 定义在有限区间上的函数的傅里叶展开1 对于只在有限区间，如（0，l）上有定义的函数f(x)，可以取延拓的方法，使其成为某种周期函数g(x)，而在（0，l）上g(x)f(x)，然后对g(x)作傅里叶级数展开，其级数和在区间（0，l）上代表f(x)。2 一般而言，延拓有无数种方法，因而有无数种展开方式，在（0，l）上均代表f(x)。若对于f(x)在边界上的行为提出限制，如f(0)=f(l)=0，就决定了如何延拓，这时应延拓成奇的周期函数；而如要求，则应延拓成偶的周期函数。0)()0(lffxf(x)-l 0 l 2l 3l022)12(cos)1
6、2(142)()(|)()0()(klxkkll xflxlxxflxxxf偶函数拓展偶延拓xf(x)-l 0 l 2l 3l sin)1(2)()()()0()(11kklkkl xflxlxxflxxxf奇函数拓展奇延拓5.2 傅里叶积分与傅里叶变换本节讨论非周期函数的傅里叶展开，傅里叶变换及有关性质一 实数形式的傅里叶变换1 非周期)(xxf将其看成是某周期函数g(x)在2l时的极限情形，则g(x)的傅里叶级数10)sincos()(kkkxlkbxlkaaxg在l的极限情形就是所要寻找的非周期函数f(x)的傅里叶展开。2 令 lklkkkkk1 ),2 ,1 ,0(10)sincos(
7、)(kkkkkxbxaaxgllkkllkkkflbflad sin)(1 d cos)(11）余弦部分有限若 d )(lim lllf0d )(21lim0lllflakkkllklkkllklxfxfl cosd cos)(1limcosd cos)(1lim11kkll1 ,d )cos(d )cos()(10 xf01d)()(kkk0 11l2）正弦部分d )sin(d )sin()(1)sin(d )sin()(1lim01xfxflkkllkl d ,1 kkl3）最终得到d sin)(d cos)()(00 xBxAxfd sin)(1)(d cos)(1)(fBfA傅立叶积分
8、傅立叶变换3 傅里叶积分定理傅立叶积分定理：若函数 f(x)在区间 上满足条件（1）f(x)在任一有限区间上满足狄里希利条件，(2)f(x)在 上绝对可积（即 收敛），则f(x)可表成傅立叶积分，且)0()0(21xfxf傅立叶积分值),(),(xxfd|)(|4 振幅谱和相位谱相位谱振幅谱 )(/)(arctan)()()()(d)(cos)()(2/1220ABBACxCxf5 傅里叶正弦积分和傅里叶正弦变换奇函数 f(x)d )(sin)()(0 xBxf0d )sin()(2)(fB6 傅里叶余弦积分和傅里叶余弦变换偶函数 f(x)d )(cos)()(0 xAxf0)d cos()(
9、2)(fA7 Fourier积分和Fourier 变换的对称形式d sin)(2)(d sin)(2)(00fBxBxfd cos)(2)(d cos)(2)(00fAxAxf傅立叶正弦变换对傅立叶余弦变换对例1 方波脉冲的 Fourier 变换21|,021|,1rect xxxThhhhThfATTTsin2)(dsin 2)d()cos(2d cos2d cos)2/rect(2d cos)(2)(00000Tthtf2rect)(d )(cos)()(0 xAxf解：tf(t)T-Th解的结果的物理意义：若有如图所示的脉冲，则便包含有一切频率（除去/T整数倍），它到达无线电接收机时，不
10、管接受机调谐在哪里频率，都会引起噪音。例2 正弦波串的 Fourier 变换 2|0 2|)sin()(000NtNttAtfd )(sin)()(：0tBtf解f(t)t0000 200000 20002000)22sin()22sin()sin()sin(d )cos()cos(d sin sin2d sin)(2)(000NNNNAttAtttAtttAtttfBNNN2sin)(2112sin02020000NANA00000002020 022cos2222sin)(2lim)(0NANNANAB解的结果的物理意义：在0处有一尖峰，高度为（2N/0)A0；在其两侧，相差0/2N处降为
11、零，所以有限长的正弦波列并非单色波（只有单一频率）。一般而言，其所包含的圆频率集中在0左右0/2N范围内，波列越大（N越大），圆频率分散范围0/2N就越小。二 复数形式的傅里叶积分复数形式的傅里叶积分表示式：deFxfxi)()(复数形式的傅里叶积分变换式：dxexfFxi*)(21)(一般记作，称f(x)为原函数，F()为像函数：)()(),()(1FxfxfF例3 矩形脉冲的 Fourier 变换Tthtf2rect)(ThTTThTThhhthtThThTTTTtTTttsincsinsiniee2 i-de2d e2 d e2rect212rect ii-i-i-i-xxxsincsi
12、n其中请注意这里复数形式Fourier 变换的结果，为余弦形式Fourier 变换结果（1/2）。三 Fourier 变换的基本性质采取对称形式的傅里叶积分表示式和变换式（1）导数定理:)(i)(Fxf )(id)(21id )(21)(21d)(21)(i i i*iFxexfxexfexfxexfxfxxxx)0)(lim(xfFourierx积分定理（2）积分定理:)(i1d )()(Ffx)(d )()(xfx)(i1)(i1d )()(Fxffx证：记则即)(i)(xx)(d )(i)(xffx（3）相似性定理:aFaaxf1)(xeaxfaxfxd )(21)(iaxy aFaye
13、yfayaeyfaxfyaya1d )(211d 1)(21)(ii令(4)延迟定理:)()(0i0 xfexxfxxexxfxxfxd)(21)(i000 xxy)(d )(21d )(21)(000iii)(i0Feyeyfeyeyfxxfxyxxy令(5)位移定理:)()(0i0 Fxfex)(d )(21d )(21)(0)(i iii000Fxexfxexfexfexxxx(6)卷积定理:其中卷积定义为:)()(2)()(2121FFxfxfd )()()()(2121xffxfxfxexffffxd d)()(21 i2121d d )()(21 i2121xexffffx证证：交
14、换积分次序交换积分次序)()(2d )(21d )(212d d )()(21d d )()(21 21i2i1i2i1ii2121FFyeyfefyeyfefyeyffffyyy在对x的积分中，令：xy5.3 函数（Dirac Delta Function）一 函数的引入1 考察分段函数hxxhxxxxxhxf00000/10)(令h0，则有分段阶跃函数的极限可表示为：)0(0)(00 hxxxxxf 但无论h取任何正整数，在x轴上方的矩形面积都保持不变，为1。hxxdxxf001)(或1)(dxxf2 考察函数)0(1)(22aaxaxf令a0，函数曲线将变为无限窄却无限高的尖锐脉冲。且不
15、管a值如何变，整条函数曲线在x轴上方的覆盖面积始终为1。1arctan11)(22axdxaxadxxf以上所讨论的两个函数具有共同特征：（1）当代表函数曲线峰宽度的参数趋于零时，函数曲线变为无限窄却无限高的尖锐脉冲；（2）不管脉冲宽度如何，脉冲曲线与x轴围成的面积始终保持为1。即为单位强度的脉冲函数，通称函数。函数是满足下列两条规则的函数：1）000)(000 xxxxxx2）)(1)()(1)(0000为已知实数或xdxxxbxadxxxba二二 函数的性质函数的性质1、函数是偶函数，其导数是奇函数)()()()(xxxx)()()0(d )()()(d )()(d )()()(ttftt
16、ftttftttfttt故1d )(:,)0(00)()(-ttttt且有H(t)to12、研究积分 xxHxxxttxHxd)(d)(0)(1,0)(,0d )()(H(x)：阶跃函数或亥维赛单位函数H(x)是(x)的原函数3、对函数)(d )()(00tftf证：0000d )()(d )()(d )()(d )()(0000tttttftftftf)()(lim )(d)()(d)()(000000tffftftftt应用中值定理)()(f函数的挑选性有时以此式作为 函数的定义00tt004、函数的 函数 的实根 全为单根 有 kkkxxxx|)(|)()(证：0)(,0)(,0)(xx
17、x按照定义kkkkxxcx，xx)()()(全是单根的实根 kxxkkxxnnnnxxxcxxd )(d )(0)(x),3 ,2 ,1(kxk左边右边：等于 ,从而)(1dd)(d1)(d)()()(nxxxxxxxxxxnnnnnc)(1nnxckkkkkkxxxxxcx|)(|)()()(nxxx,0)(取绝对值原因见上页)(d )()(00tftfkkkkkkkkknnnnxxxxxxxxxxxxxxfxxxxfxxxxfxxxxfxxxfxxxfxxxfnnnn|)(|)()(0d|)(|)(-)()(d )()(|)(|1d )()(d )()(|)(|1|)(|)(d dd)()
18、(d )()(:)()(另外的证明途径|)(axax|2)()(|2)()(22xaxaxaaxaxax特例：三 函数的Fourier 变换2121d )(21)(d )()(0 i i iexexCeCxxx d21)(ixex 四 函数是一种广义函数 计算积分)0(，0)(,sin1lim i 21lim)d(ii21limd21lim)(i i i ixxxKxxeexxeexKxKxKKKKxKKKxK严格意义下不存在)0(0，0)(,1limi1i121limdd21lim)(22000)i(0)i(0 xxxxxeexxx又：ee,收敛因子22001lim)(sin1lim)(re
19、ct1lim)(xxxKxxlxlxKl应在积分意义下理解以上三式（1）（2）（3）（1）lxlxlrect1lim)(0ol/2-l/2h=1/lxf(x)TlThxfsin 1sin)(（2）函数序列：-2-1.5-1-0.500.511.52-2-10123456tsinKt/(pi*t)K=16 K=8 K=4 xKxxKsin1lim)(（3）函数序列：-0.5-0.3-0.10.10.30.50102030405060ta/(a2+t2)/pia=0.1 a=0.04 a=-0.02 1.0)(lim)(220 xx02.004.0 x积分验证：（1）（2）,1d rectlimd rect1lim00llxlxl1)(dsin2lim)(dsin1lim)(dsin1limdsin1lim0yyyyyyKxKxKxxxKxKKKK（3）均符合 函数的定义1arctan2limd)/(112limd1lim00020220 xxxxx
