1、数理金融学数理金融学 第第4章章ROSS套利定价模型套利定价模型4.1 概述概述 资本资产定价模型提示了在资本市场均衡资本资产定价模型提示了在资本市场均衡状态下证券期望收益率与风险之间的关系，状态下证券期望收益率与风险之间的关系，简洁、明确地回答了证券风险的合理度量简洁、明确地回答了证券风险的合理度量问题以及证券如何在资本市场上被定价。问题以及证券如何在资本市场上被定价。资本资产定价模型也存在一些缺陷。其中资本资产定价模型也存在一些缺陷。其中最主要的一点是缺乏经验验证的有力支持。最主要的一点是缺乏经验验证的有力支持。CAPM与与APT建立在均值建立在均值-方差分析基础上的方差分析基础上的CAP
2、M是一种是一种理论上相当完美的模型，但实际上只有理论意理论上相当完美的模型，但实际上只有理论意义，因为假设条件太多、太严格！义，因为假设条件太多、太严格！除除CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由理论外，另一种重要的定价理论是由Stephen Ross在在1976年建立的套利定价理论年建立的套利定价理论（Arbitrage pricing theory，APT），从另一），从另一个角度探讨了资产的定价问题。个角度探讨了资产的定价问题。市场均衡条件下的最优投资组合理论市场均衡条件下的最优投资组合理论=CAPM无套利假定下因子模型无套利假定下因子模型=APT CAPM是建立在一系列假设之上的非常
3、理是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型，这些假设包括想化的模型，这些假设包括Harry Markowitz建立均值建立均值-方差模型时所作的假方差模型时所作的假设。这其中最关键的假设是设。这其中最关键的假设是同质性假设同质性假设。相反，相反，APT所作的假设少得多。所作的假设少得多。APT的基的基本假设之一是：本假设之一是：个体是非满足个体是非满足，而不需要，而不需要风险规避的假设！风险规避的假设！每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前提下提高回报率。提下提高回报率。只要一个人套利，市场就会出现均衡！只要一个人套利，市场就会出现均衡！套利套利是指利
4、用同一资产在不同市场上或不同资产是指利用同一资产在不同市场上或不同资产在同一市场上存在的价格差异，通过低买高卖而在同一市场上存在的价格差异，通过低买高卖而获取利润的行为。获取利润的行为。无风险套利无风险套利 只要投资者发现这种机会，他就会力图通过在两只要投资者发现这种机会，他就会力图通过在两个市场上不断地低买高卖，以实现套利收益的巨个市场上不断地低买高卖，以实现套利收益的巨额增加。但另一方面，在套利者进行买卖的同时，额增加。但另一方面，在套利者进行买卖的同时，两个市场上对同种证券的供需会发生变化，当何两个市场上对同种证券的供需会发生变化，当何等的上升与下降调整到使套利机会不再存在时，等的上升与
5、下降调整到使套利机会不再存在时，套利者就会结束其套利行为。套利者就会结束其套利行为。价格同一律价格同一律 当套利机会出现时，投资者会通过低买高卖赚取当套利机会出现时，投资者会通过低买高卖赚取差价，这时，使套利机会存在的那些证券，它的差价，这时，使套利机会存在的那些证券，它的定价是不合理的。由于套利者利用他们进行套利，定价是不合理的。由于套利者利用他们进行套利，因此市场上对这些证券的需求与供给就处于非均因此市场上对这些证券的需求与供给就处于非均衡状态。相应地，这些证券的价格就为非均衡价衡状态。相应地，这些证券的价格就为非均衡价格。在套利者不断套利的过程中，这些证券的价格。在套利者不断套利的过程中
6、，这些证券的价格格 会随供需的变化而发生上升或下跌。当达到某会随供需的变化而发生上升或下跌。当达到某种水平使套利机会不再存在时，套利者的套利行种水平使套利机会不再存在时，套利者的套利行为就会终止，市场将处于均衡状态，各种证券的为就会终止，市场将处于均衡状态，各种证券的定价就处于合理水平。当市场经过一系列调整达定价就处于合理水平。当市场经过一系列调整达到均衡时，各种证券交易的价格都处于合理水平，到均衡时，各种证券交易的价格都处于合理水平，在这种状态下，不存在任何套利机会。这就是在这种状态下，不存在任何套利机会。这就是套套利与均衡的关系利与均衡的关系，它是资本市场理论的一个基本，它是资本市场理论的
7、一个基本论点。论点。当市场不存在任何无风险套利机会或者说市场处当市场不存在任何无风险套利机会或者说市场处于均衡状态时，各种证券及证券组合应如何合理于均衡状态时，各种证券及证券组合应如何合理定价？它们的期望收益率与风险之间存在什么关定价？它们的期望收益率与风险之间存在什么关系，这些问题正是系，这些问题正是套利定价理论套利定价理论所要回答的。所要回答的。4.2 因子模型因子模型（Factor model）定义定义：因子模型是一种假设证券的回报率因子模型是一种假设证券的回报率只与不同的因子波动（只与不同的因子波动（相对数相对数）或者指标）或者指标的运动有关的经济模型。的运动有关的经济模型。因子模型是
8、因子模型是APT的基础，其目的是找出这的基础，其目的是找出这些因素并确认证券收益率对这些因素变动些因素并确认证券收益率对这些因素变动的敏感度。的敏感度。依据因子的数量，可以分为单因子模型和依据因子的数量，可以分为单因子模型和多因子模型。多因子模型。4.2.1 单因子模型单因子模型 引子引子若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指数。宏观经济指数。假设假设：（：（1）证券的证券的回报率回报率仅仅取决于该仅仅取决于该指数指数的变化的变化；（；（2）除此以外的因素是公司特有风）除此以外的因素是公司特有风险险残余风险残余风险 则可以建立以宏观经济指数变
9、化为自变量，以证则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以证券回报率为因变量的单因子模型。券回报率为因变量的单因子模型。例如，例如，GDP的预期增长率是影响证券回报率的的预期增长率是影响证券回报率的主要因素主要因素。例例1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关：设证券回报仅仅与市场因子回报有关其中其中 =在给定的时间在给定的时间t，证券，证券i 的回报率的回报率 =在同一时间区间，市场因子在同一时间区间，市场因子m的相对数的相对数 =截距项截距项 =证券证券i对因素对因素m的敏感度的敏感度 =随机误差项，随机误差项，itiim mtitrab reitrmtriaimbite0,cov(,)0,co
10、v(,)0ititmtitjtE er因子模型回归因子模型回归年份年份IGDPt（%）股票股票A收益率（收益率（%）15.7 14.326.4 19.23 8.923.44 8.015.65 5.1 9.26 2.913.0 4%trtGDPI613.0%r 63.2%e 62.9%GDPI 图中，横轴表示图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示的增长率，纵轴表示股票股票A的回报率。图上的每一点表示：在的回报率。图上的每一点表示：在给定的年份，股票给定的年份，股票A的回报率与的回报率与GDP增长增长率。率。通过线性回归，我们得到一条符合这些点通过线性回归，我们得到一条符合这些点的直线为（极大似然
11、估计）的直线为（极大似然估计）4%2tGDP ttrIe从这个例子可以看出，从这个例子可以看出，A在任何一期的在任何一期的回报率包含了三种成份：回报率包含了三种成份：1.在任何一期都相同的部分在任何一期都相同的部分a2.依赖于依赖于GDP的预期增长率，每一期都不相的预期增长率，每一期都不相同的部分同的部分bIGDPt3.属于特定一期的特殊部分属于特定一期的特殊部分et。通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的一般形式：对时间一般形式：对时间t 的任何证券的任何证券i 有时间序列有时间序列 其中：其中：ft是是t时期公共因子的预测值；时期公共因子的预测
12、值；rit在时期在时期t证券证券i的回报；的回报；eit在时期在时期t证券证券i的特有回报的特有回报ai零因子零因子bi证券证券i对公共因子对公共因子f的敏感度的敏感度(sensitivity),或因或因子载荷（子载荷（factor loading）itiititrab fe（8.1）为简单计，只考虑在某个特定的时间的因为简单计，只考虑在某个特定的时间的因子模型，从而省掉角标子模型，从而省掉角标t，从而（，从而（8.1）式变）式变为为并且假设并且假设(1)cov(,)0ie f(2)cov(,)0ije e0iE eiiiirab fe（8.2）假设假设(1)：因子：因子f具体取什么值对随机项
13、没有具体取什么值对随机项没有影响，即因子影响，即因子f与随机项是独立的，与随机项是独立的，这样保这样保证了因子证了因子f是回报率的唯一因素。是回报率的唯一因素。若不独立，结果是什么？若不独立，结果是什么？假设假设(2)：一种证券的随机项对其余任何证：一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响，换言之，两种证券券的随机项没有影响，换言之，两种证券之所以相关，是由于它们具有共同因子之所以相关，是由于它们具有共同因子f所所致。致。如果上述假设不成立，则单因子模型不准如果上述假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑增加因子或者其他措施。确，应该考虑增加因子或者其他措施。对于证券对于证券i，由（由（
14、8.2）其回报率的均值（期望值）为）其回报率的均值（期望值）为 其回报率的方差其回报率的方差2222iifeib因子风险因子风险非因子风险非因子风险对于证券对于证券i和和j而言，它们之间的协方差为而言，它们之间的协方差为2cov(,)cov(,)ijijiiijjjijfr rab fe ab febbiiirab f（8.3）单因子模型的优点单因子模型的优点1.单因子模型能够大大简化我们在均值单因子模型能够大大简化我们在均值-方差方差分析中的估计量和计算量。假定分析人员需分析中的估计量和计算量。假定分析人员需要分析要分析n种股票，则种股票，则均值方差模型：均值方差模型：n个期望收益，个期望收
15、益，n个方差，个方差，(n2-n)/2个协方差个协方差单因子模型：单因子模型：n个期望收益，个期望收益，n个个bi，n个残个残差差 ，一个因子，一个因子f方差方差 ，共，共3n1个估计值。个估计值。若若n50，前者为，前者为1325，后者为，后者为151。2ei2f单因子模型具有两个重要的性质单因子模型具有两个重要的性质2.风险的分散化风险的分散化分散化导致因子风险的平均化分散化导致因子风险的平均化分散化缩小非因子风险分散化缩小非因子风险21222limlim()limnpiiiinnipfepnDw ab feb22211nnpiiepieiiibwbw其中，假设残差有界，即假设残差有界，即
16、22eis 且组合且组合p高度分散化，即高度分散化，即wi充分小，则对于充分小，则对于资产资产i成立成立/iwn则有则有222222111nepissnn从而从而222222limlimppfeppfnnbb 单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将资产的不确定性简单地认为与仅仅与一个资产的不确定性简单地认为与仅仅与一个因子相关，这些因子如利率变化，因子相关，这些因子如利率变化，GDP增增长率等。长率等。例子：公用事业公司与航空公司，前者对例子：公用事业公司与航空公司，前者对GDP不敏感，后者对利率不敏感。不敏感，后者对利率不敏感。单因素模型难以把握公司对不同的
17、宏观经单因素模型难以把握公司对不同的宏观经济因素的反应。济因素的反应。4.2.2 多因子模型多因子模型两因子模型两因子模型 若只考虑一期的模型，则可以省略表示时若只考虑一期的模型，则可以省略表示时间的下标，从而两因子模型方程为间的下标，从而两因子模型方程为1 122iiiiirab fb fe0,cov(,)0iijE eee其 中，12cov(,)0,cov(,)0iie fe f在两因子模型下，对于证券在两因子模型下，对于证券i，其回报率的均值，其回报率的均值 1122iiiirab fb f其回报率的方差其回报率的方差122222221212122cov(,)iififiieibbb b
18、ff对于证券对于证券i和和j，其协方差为，其协方差为1 1221 122cov(,)cov(,)ijijiiiijjjjr rab fb feab fbfe22111222122112()cov(,)ijfijfijijb bb bb bb bff证券证券i对因子对因子1的敏感度的敏感度 两因子模型同样具有单因子模型的重两因子模型同样具有单因子模型的重要优点：要优点：有关资产组合有效边界的估计和计算量大有关资产组合有效边界的估计和计算量大大减少（但比单因子增加），若要计算均大减少（但比单因子增加），若要计算均方有效边界，需要方有效边界，需要n个期望收益，个期望收益，n个个bi1，n个个bi2，
19、n个残差，个残差，2个因子个因子f方差，方差，1个因子间的协方差，共个因子间的协方差，共4n3个估计值。个估计值。分散化导致因子风险的平均化。分散化导致因子风险的平均化。分散化缩小非因子风险。分散化缩小非因子风险。多因子模型多因子模型对于对于n种证券相关的种证券相关的m（mn)个因子，证券个因子，证券i的的收益可以表示为收益可以表示为1miijjijrab fe0,cov(,)0cov(,)0,iijikE eefeeik1,.,;1,.,in jm其中，4.3 套利定价理论（套利定价理论（APT）定义：套利（定义：套利（Arbitrage）是同时持有一种）是同时持有一种或者多种资产的多头或空
20、头，从而存在不或者多种资产的多头或空头，从而存在不承担风险的情况下锁定一个高于无风险利承担风险的情况下锁定一个高于无风险利率的收益。率的收益。不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！两种套利方法：两种套利方法：当前时刻净支出为当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益，将来获得正收益（收益净现值为正）净现值为正）当前时刻一系列能带来正收益的投资，将来的当前时刻一系列能带来正收益的投资，将来的净支出为零（支出的净现值为净支出为零（支出的净现值为0）。）。假设现在假设现在6个月即期年利率为个月即期年利率为10%（连续复（连续复利，下同），利，下同），1年期的即期利率是年期的即
21、期利率是12%。如。如果有人把今后果有人把今后6个月到个月到1年期的远期利率定年期的远期利率定为为11%，则有套利机会。，则有套利机会。套利过程是：套利过程是：1.交易者按交易者按10%的利率借入一笔的利率借入一笔6个月资金（假个月资金（假设设1000万元）万元）2.签订一份协议（远期利率协议），该协议规定签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按该交易者可以按11%的价格的价格6个月后从市场借个月后从市场借入资金入资金1051万元（等于万元（等于1000e0.100.5）。）。3.按按12%的利率贷出一笔的利率贷出一笔1年期的款项金年期的款项金额为额为1000万元。万元。4.1年
22、后收回年后收回1年期贷款，得本息年期贷款，得本息1127万元万元（等于（等于1000e0.121），并用），并用1110万元万元（等于（等于1051e0.110.5）偿还）偿还1年期的债务年期的债务后，交易者净赚后，交易者净赚17万元（万元（1127万元万元-1110万元）。万元）。套利不仅仅局限于同一种资产（组合），套利不仅仅局限于同一种资产（组合），对于整个资本市场，还应该包括那些对于整个资本市场，还应该包括那些“相相似似”资产（组合）构成的近似套利机会。资产（组合）构成的近似套利机会。无套利原则（无套利原则（Non-arbitrage principle)：根据价格同一率（根据价格同一率
23、（the law of one price），），两种具有相同风险的资产（组合）不能以两种具有相同风险的资产（组合）不能以不同的期望收益率出售。不同的期望收益率出售。套利行为将导致一个价格调整过程，最终使套利行为将导致一个价格调整过程，最终使同一种资产的价格趋于相等，套利机会消失！同一种资产的价格趋于相等，套利机会消失！APT的基本原理：由无套利原则，的基本原理：由无套利原则，在因子在因子模型下，具有相同因子敏感性的资产（组模型下，具有相同因子敏感性的资产（组合）应提供相同的期望收益率。合）应提供相同的期望收益率。APT与与CAPM的比较的比较 APT对资产的评价不是基于马克维茨模型，对资产的
24、评价不是基于马克维茨模型，而是基于无套利原则和因子模型。而是基于无套利原则和因子模型。不要求不要求“同质期望同质期望”假设，假设，并不要求人人一致并不要求人人一致行动。行动。只需要少数投资者的套利活动就能消除只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会。套利机会。不要求投资者是风险规避的！不要求投资者是风险规避的！4.3.1 APT的基本假设的基本假设1.市场是有效的、充分竞争的、无摩擦的市场是有效的、充分竞争的、无摩擦的（Perfectly competitive and frictionless capital markets）；）；2.投资者是不知足的：只要有套利机会就投资者是不知足的：只
25、要有套利机会就会不断套利，直到无利可图为止。会不断套利，直到无利可图为止。因此，不必对投资者风险偏好作假设？因此，不必对投资者风险偏好作假设？3.资产的回报可以用因子表示资产的回报可以用因子表示 APT假设证券回报可以用预期到的回报和假设证券回报可以用预期到的回报和未预期到的回报两个部分来解释，构成了未预期到的回报两个部分来解释，构成了一个特殊的因子模型一个特殊的因子模型iiiirrb fe1()0ttE f未预期到的变化未预期到的变化预期的回报预期的回报f是证券是证券i的某个因子的变化，的某个因子的变化，基于有效市场理基于有效市场理论论，它是不可预测的。，它是不可预测的。要依靠要依靠“旧旧”
26、的的f来获利是不可能的！来获利是不可能的！若市场有效，则若市场有效，则t-1时刻的信息集预测时刻的信息集预测t时刻时刻的价格无效，的价格无效，这等价于这等价于t-1时刻信息无法预时刻信息无法预测测t时刻的因子，即对于因子的变化没有任时刻的因子，即对于因子的变化没有任何倾向何倾向公平赌局（公平赌局（Fair game）从有效市场的理论来看，价格（回报）的从有效市场的理论来看，价格（回报）的不可预测，本质上是信息的不可预测，不可预测，本质上是信息的不可预测，也也就是因子的变化不可预测，就是因子的变化不可预测，这些信息既有这些信息既有宏观的、也有微观的。宏观的、也有微观的。1()0ttE f充分分散
27、投资组合的套利定价充分分散投资组合的套利定价ix11niixniiiprxr1 iiiniieFrEx1 pppeFrE假定某证券组合假定某证券组合P由由n种证券构成，各证券的组合种证券构成，各证券的组合权数为权数为=niiipx1peniiiex1其中其中代表投资组合代表投资组合P对共同因子对共同因子F的敏感度；的敏感度；为为P的非系统收益率。的非系统收益率。类似于利用指数模型对证券风险的讨论，我们类似于利用指数模型对证券风险的讨论，我们可将证券及证券组合的风险分成由共同因子引起可将证券及证券组合的风险分成由共同因子引起=的系统风险与由特殊因素引起的非系统风险两的系统风险与由特殊因素引起的非
28、系统风险两部分。由（部分。由（4-2）式，有）式，有 iFiiiiieeFrEVarr2222由（由（4-3）式有）式有 pFpppppeeFrEVarr2222其中证券组合其中证券组合P的非系统风险等于：的非系统风险等于：pe2 niiiex122=n2ix当证券组合包含的证券数越来越多当证券组合包含的证券数越来越多且各证券权重的平方且各证券权重的平方越来越小时越来越小时,上式中的非上式中的非系统风险将逐渐趋于零。系统风险将逐渐趋于零。得到作为实际用途的充分分散证券组合的收益率得到作为实际用途的充分分散证券组合的收益率构造：构造：FrErppp222FppFpp且且，下面再看下图，下面再看下
29、图，收益率（%）P B 10 8oF我们要问充分分散组合我们要问充分分散组合P与充分分散组合与充分分散组合B能否能否同时并存？同时并存？答案不可能。因为无论共同因子处于答案不可能。因为无论共同因子处于何种水平，证券组合何种水平，证券组合P都优于证券组合都优于证券组合B，这就是，这就是产生了套利机会（无风险）。产生了套利机会（无风险）。例如例如,投资者可卖空价值一百万元的投资者可卖空价值一百万元的B,再买入价值再买入价值一百万元的一百万元的P,构造出一个零投资组合构造出一个零投资组合,其收益额为其收益额为:0.108.00.110.0FF1百万=2万元 注意注意,投资者没有使用自己的任何本金投资
30、者没有使用自己的任何本金,就获得了就获得了2万元的收益万元的收益,并且由于实行等额卖空与买入并且由于实行等额卖空与买入,该零该零投资组合的投资组合的值就为零，因此系统风险全部消除值就为零，因此系统风险全部消除,同时同时,由于证券组合由于证券组合P与与B都是充分分散组合都是充分分散组合,非系统非系统风险也全部消除风险也全部消除,所以该零投资组合实际上没有任何所以该零投资组合实际上没有任何风险风险,如果真正存在这种套利机会如果真正存在这种套利机会,那么投资者要想获那么投资者要想获取多少收益就能得到多少取多少收益就能得到多少,事实上事实上,这是不可能的这是不可能的,即即使这种机会出现使这种机会出现,
31、也不会保持长久也不会保持长久,正如前面分析的那正如前面分析的那样样,套利者的套利行为将引起市场上对套利者的套利行为将引起市场上对P与与B的供需的供需相同的期望收益率相同的期望收益率,否则无风险套否则无风险套量发生变化量发生变化,从而最终消除此二证券组合在价格从而最终消除此二证券组合在价格上的差异上的差异.换句话说换句话说,在市场均衡状态下在市场均衡状态下,相同的相同的证券组合必须有证券组合必须有利机会就将存在利机会就将存在.在市场均衡状态下，具有同在市场均衡状态下，具有同值的充分分散证券值的充分分散证券组合应具有相同的期望收益率组合应具有相同的期望收益率那么对于不同那么对于不同值的充分分散证券
32、组合，值的充分分散证券组合，它们的它们的期望收益率与其期望收益率与其值之间存在值之间存在 什么关系呢？什么关系呢？fr期望收益率（%）10 P 7 D 6 C 0.5 1 假设某充分分散证券组合假设某充分分散证券组合C的的系数为系数为0.5,期望收益期望收益=0.06,C位于由 CrE率为率为 04.0ffrr与与P的连接线的连接线的下方的下方,如果以二分之一权重的如果以二分之一权重的 P及二分之一权重的及二分之一权重的 fr构成一新的投资组合构成一新的投资组合D,那么那么D的的值为值为:5.01210212121PfDD的期望收益率等于的期望收益率等于:07.010.02104.021212
33、1PfDrErrE这样证券组合这样证券组合D与与C有相同的有相同的值，但值，但D的期望收益的期望收益 率高于率高于C，由前面的分析知，由前面的分析知，无风险套利机会将存在。无风险套利机会将存在。因此，在市场处于均衡状态不存在套利机会时，因此，在市场处于均衡状态不存在套利机会时，所有充分分散证券组合必所有充分分散证券组合必 位于始于位于始于fr的同一条的同一条直线上直线上,这条直线的方程为：这条直线的方程为：其中斜率代表了单位风险的报酬，有时也称它为其中斜率代表了单位风险的报酬，有时也称它为 pfprrE （4-6）风险因子的价格。风险因子的价格。上式就是关于充分分散上式就是关于充分分散证券组合
34、证券组合的套利定的套利定 价模型价模型，它描述了在市场均衡状态下，它描述了在市场均衡状态下，任意充分分散证券组合收益率与风险任意充分分散证券组合收益率与风险 的关系。的关系。4.3.2 构建套利组合（构建套利组合（Arbitrage portfolio）1.零投资：套利组合中对一种证券的购买所需要零投资：套利组合中对一种证券的购买所需要的资金可以由卖出别的证券来提供，即自融资的资金可以由卖出别的证券来提供，即自融资（Self-financing）组合。）组合。2.无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的险，因此，无
35、风险就是套利组合对任何因子的敏感度为敏感度为0。3.正收益：套利组合的正收益：套利组合的期望收益期望收益大于零。大于零。用数学表示就是用数学表示就是111000niiniiini iiwbwwr11121()(=()=()()nni iiiiiiiniiiniiiDwrDw rb feDwb fD fwb11()0,0nni iiiiiDwrwb若要则要（4.1）（4.2）（4.3）4.3.3 套利定价模型套利定价模型 假设投资者构造这样的资产组合：（假设投资者构造这样的资产组合：（1）无风）无风险利率借入险利率借入1元钱；（元钱；（2）1元钱投资在两种资元钱投资在两种资产，这样构造一个自融资
36、组合。产，这样构造一个自融资组合。00()(1)()1()()piijjijjijjrw rb fwrb fw rrrw bbbf 0ij设设无无风风险险利利率率为为，两两个个资资产产是是资资产产 和和资资产产，在在因因子子模模型型的的假假定定下下，套套利利组组合合的的收收益益为为（忽忽略略残残差差）l若不存在套利机会，则该套利组合的收益为若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0jpijbwrbb 时,无风险根据条件（根据条件（2），），()0ijjw bbb当，即0()0,jpijjijbrrrrbb=001jiijrrbb01iirb1miiijjjrrb f命题命题4.1：假设：假设n种
37、资产其收益率种资产其收益率m个因子决定个因子决定（mn），即），即其中，其中，i=1,2,n，j=1,2,m，则，则01miijjjrb01,.,j 为常数严格证明严格证明 证明：假设在资产证明：假设在资产i上投资上投资wi，构造零投资，构造零投资且无风险的组合，即且无风险的组合，即wi满足下列条件满足下列条件10nTiiww 1112211000nTiiinTiiinTiimmiwbwbwb1w bw bw b零投资零投资无风险无风险（4.5）（4.4）即，即，1、bj（j=1,2,m)线性无关。线性无关。如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投资、无风险
38、的组合必然是无收益的，从而只资、无风险的组合必然是无收益的，从而只要（要（4.4）和（）和（4.5）成立，则）成立，则蕴含蕴含(followed),1,.,jjmw1,wbwr这等价于，这等价于，只要只要10ni iiwrTw r对于任意的对于任意的W，必然必然有有 又由于非零向量又由于非零向量1,b1,b2,bm线性无关，则线性无关，则 必定落在由必定落在由1,b1,b2,bm张成的向量空间张成的向量空间Rm+1中，也中，也就是存在一组不全为零的数就是存在一组不全为零的数 使得使得r01,.,m 01122,.,mmr1bbb证毕。证毕。理解：理解：必须落在必须落在Rm+1空间中，才能必然成
39、立空间中，才能必然成立 rwr1和和bj是该空间的一组基是该空间的一组基abCd在向量空间中，如果向量在向量空间中，如果向量a、b正交于正交于c，蕴蕴含着含着d正交与正交与c，则，则d必须落在由必须落在由a和和b张成的张成的二维空间上，二维空间上，d可以由可以由a、b线性表示！线性表示！0示意图：向量空间示意图：向量空间错误的证明错误的证明10nTiiww 1112211000nTiiinTiiinTiimmiwbwbwb1w bw bw b10ni iiwrTw r01122,.,mmr1bbbAPT的意义的意义01miijjjrb若bij0，则上式退化为无风险资产，则意味着01mfifij
40、jjrrrb若bij0，则期望回报 随着 的增加而增大，所以 是因子 的风险价格。ijbirjif自变量自变量1,1,.,ifirrb in在单因子条件下，有12112,.,ffnfnrrrrrrbbbAPT1对于所有风险资产则有由此可见，方程的斜率 实际上是因子1的风险价格。结论：当所有证券关于因子的风险价格相等时，结论：当所有证券关于因子的风险价格相等时，则证券之间不存在套利。则证券之间不存在套利。APT的意义的意义01iribhrlrhlhlbb若给定等投资额的证券若给定等投资额的证券h多头和证券多头和证券l空头，则形成套空头，则形成套利组合。投资者为获利必定尽可能地购入证券利组合。投资
41、者为获利必定尽可能地购入证券h，从从而使其价格上升，预期收益率下降，最终到达而使其价格上升，预期收益率下降，最终到达APT定定价线价线。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上，。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上，只要证券偏离只要证券偏离APT定价线就会有套利机会。定价线就会有套利机会。APT定价线定价线4.3.4 APT的另一种表达的另一种表达11ppfbprr在单因子模型下，考虑一个使的（资产）组合，即，则有,()mifmfirrrrr b特别地，当即纯因子组合为市场组合时有1pfrr101,()pfiiffirrrbrr b令即风险价格,则则称该组合则称该组合p为为纯因子组合纯因子组
42、合(类似于类似于CAPM的市场组合的市场组合)在两因子模型下，我们有在两因子模型下，我们有1122ifiirrbb11211,0,iipbb若存在纯因子组合，使得且其期望收益为 则11ifrr11fr即即2122220,1,iifpbbr同理，若存在纯因子组合，使得其期望收益为，则=从而第第1因子的风险价格因子的风险价格第第2因子的风险价格因子的风险价格1122()iffifirrr br b(22fr这样可将这样可将APT的表达式可以改写为的表达式可以改写为在多因子模型下在多因子模型下01122,.,iiimimrbbb证券的期望收益率等于无风险收益率，加上证券的期望收益率等于无风险收益率，
43、加上j个因个因素的风险补偿（风险价格素的风险补偿（风险价格风险因子载荷）；风险因子载荷）；资产对风险因子的敏感度（因子载荷）越大，则其资产对风险因子的敏感度（因子载荷）越大，则其应得到的风险补偿越大。应得到的风险补偿越大。1122(),.,()ffifimfimrr br br b（j1,.,j jm其中，为因子（）的纯因子组合的期望收益111()(),APTCAPMififfiifimfmiirrbrrbrrrrrb显然，若纯因子组合是市场组合即代表，则与一致。4.4 APT与与CAPM的比较的比较nAPT与与CAPM的一致性的一致性若只有一个风险因子，且纯因子组合是市场组合，若只有一个风险
44、因子，且纯因子组合是市场组合，则当则当APT与与CAPM均成立时有均成立时有所以说，从某种意义上讲，所以说，从某种意义上讲，CAPM是是APT的一个特例。的一个特例。进一步分析还可以发现，上述一致性并不是偶然的个别进一步分析还可以发现，上述一致性并不是偶然的个别现象，现象，即使对于比较复杂的收益率产生过程即使对于比较复杂的收益率产生过程,由此推导的由此推导的 APT模型所描述的资本市场均衡关系与模型所描述的资本市场均衡关系与CAPM所描述的所描述的关系也是相通的。关系也是相通的。命题命题4.2：若纯因子组合不是市场组合，若纯因子组合不是市场组合，APT与与CAPM可能不一致。可能不一致。证明：
45、只要证明存在一个反例证明：只要证明存在一个反例cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)iiiiimiiimimiimrab fer rab fe rbf rbe r由单因子模型可得上式两边同除以上式两边同除以2m并且定义并且定义,2cov(,)mf mmf r由于由于2cov(,)imme r很小，不妨把它忽略，则有很小，不妨把它忽略，则有,2cov(,)imif mimr rb如果如果APT 也成立，且满足也成立，且满足CAPM，则，则,1()ifif mmfifirrbrrrrb1,()mff mrr得到得到若因素若因素f与市场组合正相关，那么与市场组合正相关，那么,2cov(,)
46、cov(,)00mmf mmf rf r0,mfrr且由于从而1,()0mff mrr也就是，如果也就是，如果CAPM成立，则必然要求上述条件成立，则必然要求上述条件成立，它构成了对成立，它构成了对APT中中 的约束。的约束。1但是，如果但是，如果APT成立，不受成立，不受CAPM约束，即约束，即仅从仅从APT本身推断，必有本身推断，必有100fr或者只有当只有当mr才成立才成立10反之，如果反之，如果mr，则可能有10fr则对于证券则对于证券i的定价就会出现不同的定价就会出现不同即如果纯因子组合不是市场组合，即如果纯因子组合不是市场组合，APT与与CAPM可能不一致。可能不一致。,()()i
47、fif mmfr CAPMrbrr()()ififr APTrbr,0,0,0,()0()0if mfif mmfifbrbrrbr若，1.若纯因子组合不是市场组合，则若纯因子组合不是市场组合，则APT与与CAPM不一定一致，不一定一致，CAPM仅仅是仅仅是APT的的特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时，特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时，CAPM与与APT等价。等价。2.在在CAPM中，市场组合居于不可或缺的地中，市场组合居于不可或缺的地位（若无此，则其理论瓦解），但位（若无此，则其理论瓦解），但APT即即使在没有市场组合条件下仍成立。使在没有市场组合条件下仍成立。APT模型可以得到与模型
48、可以得到与CAPM类似的期望回报类似的期望回报-b b直线关系，但并不要求组合一定是市场组合，直线关系，但并不要求组合一定是市场组合，可以是任何风险分散良好的组合可以是任何风险分散良好的组合CAPM与与APT的区别的区别1()()ifififimfrrbrrrrr注意二者并注意二者并不一致不一致由于市场组合在实际中是无法得到的，因此，由于市场组合在实际中是无法得到的，因此，在实际应用中，只要指数基金等组合，其即可在实际应用中，只要指数基金等组合，其即可满足满足APT。所以。所以APT的适用性更强！的适用性更强！3.CAPM属于单一时期模型，但属于单一时期模型，但APT并不受到单并不受到单一时期
49、的限制。一时期的限制。4.模型的假定条件不同，模型的假定条件不同，APT的推导以无套利为的推导以无套利为核心，核心，CAPM则以均值方差模型为核心，隐则以均值方差模型为核心，隐含投资者风险厌恶的假设，但含投资者风险厌恶的假设，但APT无此假设。无此假设。5.在在CAPM中，证券的风险只与市场组合的中，证券的风险只与市场组合的相关，相关，它只给出了市场风险大小，而没有表明风险来它只给出了市场风险大小，而没有表明风险来自何处。自何处。APT承认有多种因素影响证券价格，承认有多种因素影响证券价格，从而扩大了资产定价的思考范围（从而扩大了资产定价的思考范围（CAPM认为认为资产定价仅有一个因素），也为
50、识别证券风险资产定价仅有一个因素），也为识别证券风险的来源提供了分析工具。的来源提供了分析工具。6.建立模型的出发点不同建立模型的出发点不同.APT考察的是当市场不存在无考察的是当市场不存在无风险套利而达到均衡时风险套利而达到均衡时,资产如何均衡定价资产如何均衡定价,而而CAPM考察的是当所有投资者都以相似的方法投资考察的是当所有投资者都以相似的方法投资,市场最市场最终调节到均衡时终调节到均衡时,资产如何定价资产如何定价.7.描述形成均衡状态的机理不同描述形成均衡状态的机理不同.当市场面临证券定价不当市场面临证券定价不 合理而产生价格压力时合理而产生价格压力时,按照按照APT的思想的思想,即使
