1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分1第二章第二章 分离变量法分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分2基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一
2、性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。22222,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)(,0)(),(),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 一、有界弦的自由振动数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分3令(,)()()u x tX x T t代入方程：2()()()()X x Tta Xx T t2()()()()XxTtX xa T t 令2()()0()()0XxX xTta T t代入边界条件(0)()0,()()0XT tX l T t(0)0,()0XX l22222,0,0(0
3、,)0,(,)0,0(,0)(,0)(),(),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 1、求两端固定的弦自由振动的规律数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分4()()0(0)0,()0XxX xXX l特征（固有）值问题：含有待定常数的常微分方程在一定条件下求非零解的问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：01）()xxX xAeBe 00llABAeBe 00ABX02）()X xAxB00ABX()cossinX xAxBx0sin0ABl03）令 ，为非零实
4、数 2(1,2,3,)nnl222(1,2,3,)nnnl222nl()sin(1,2,3,)nnnXxBxnl数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分5()sin(1,2,3,)nnnXxBxnl数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分62222()()0nna nTtT tl()cos sin(1,2,3,)nnnn atn atT tCDnll(,)(cossin)sin(1,2,3,)nnnn an anux tCtDtxnlll11(,)(,)(cossin)sin(1,2,3
5、,)nnnnnu x tux tn an anCtDtxnlll2()()0()()0XxX xT ta T t22222,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)(,0)(),(),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 222(1,2,3,)nnnl()sin(1,2,3,)nnnXxBxnl数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分701(,)(,0)sin()ntnnu x tu xCxxl10(,)sin()nntu x tn anDxxtll1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanCu2001 co
6、s 2/sindd22llnlnlx xxl001sinsindcoscosd02llnmnmnmxx xxxxllll xxlmxlnCxxlmxlnnldsinsindsin)(010 mCl2lmxxlmxlC0dsin)(2lnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(2数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分8)()(),(tTxXtxu2/lnnxlnBxXnnsin)(tlanDtlanCTnnnsincos1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanC11nnnnnTXuulnxxlnxanD
7、0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(20 XX02 TaT分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。lxxtxuxxuttlututlxxuatu0),()0,(),()0,(0,0),(,0),0(0,0,22222数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分92 解的性质 x=x0时：(,)(cossin)sinnnnn an anux tCtDtxlll其中：22arctannnnnnnnDn aACDlC00(,)sincos()nnnnnux tAxtlcos(
8、)sinnnnnAtxlxlnsin驻波法 2nlnlt=t0时：22nnnaflnnvfnllna 22Ta 00(,)cos()sinnnnnnux tAtxl(1,2,3,)n 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分10例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。()(10)1000 xxx)()(),(tTxXtxuTXTX 410TTXX 41010 XX0104 TT0)()0(),0(tTXtu 0)10(,0)0(100,0XXxXX0)0(X0)()10(),10(tTX
9、tu0)10(X100,0)0,(,1000)10()0,(0,0),10(),0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分11 0)10(,0)0(100,0XXxXX20 02 XX1010(0)0()0XABX lAeBe0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0(10)sin100XAXB,3,2,1,10nnn10022nnxnBxXnn10sin)(xBxAxXsincos)(02 XX数学物理方程与特殊函数数学物
10、理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分12,3,2,1,100/22nnnxnBxXnn10sin)(0104 TT010022 nnTnTtnDtnCTnnn10sin10cos1110sin)10sin10cos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu)10sin10cos(10sintnDtnCxnBnnnxntnDtnCnn10sin)10sin10cos(100,0)0,(,1000)10()0,(0,0),10(),0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些
11、特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为线性方程的叠加原理，设原问题的解为 0)10(,0)0(100,0XXxXX数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分13110sin)10sin10cos(nnnxntnDtnCu1000)10(10sin)0,(1xxxnCxunn0sin)0,(1nnxlnlanDtxu0nD100d10sin1000)10(102xxnxxCn13310)12(sin)12(10cos)12(54nxntnnu100d
12、10sin)10(50001xxnxx)cos1(5233nn为奇数，为偶数，nnn33540100,0)0,(,1000)10()0,(0,0),10(),0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分14)()(),(tTxXtxu2XTa X T21XTXaT0 XX20Ta T0)()0(),0(tTXtu0,010(0)0,()0XXxXX l0)0(X(,)()()0u l tX l T tx()0X l222222,0,0(,)(0,)0,0,0(,0)(,0)2,
13、0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt解：例2求下列定解问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分150,0(0)0,()0XXxlXX l20 02 XX(0)0()0llXABX lA eB e0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0()cos0XAX lBl(21)/2,1,2,3,nnln222(21)/4nnl(21)()sin2nnnXxBxlxBxAxXsincos)(02 XX数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分
14、离变量法下午10时13分16222(21)/4nnl(21)()sin2nnnXxBxl20Ta T2222(21)04nnnaTTl(21)(21)cossin1,2,3,22nnnnanaTCtDtnll11(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnnnananuuCtDtxlllnnnTXu(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnananCtDtxlll222222,0,0(,)(0,)0,0,0(,0)(,0)2,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt0,0(0)0,()0XXxlXX l数学物理方程与特殊函数数学物理方程
15、与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分171(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnananuCtDtxlll21(21)(,0)sin22nnnu xCxxlxl1(,0)(21)(21)sin022nnu xnanDxtll0nD202(21)(2)sind2lnnCxlxx xll2331321(21)(21)cossin(21)22nlnanutxnll 23332(21)ln 2(,0)(,0)2,0u xu xxlxt初始条件数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分18)()(),(tT
16、xXtxuTXTX TTXX 0 XX0 TT0)()1(),1(0)()0(),0(tTXtutTXtu0)1(,0)0(XX10,0)0,(,sin)0,(0,0),1(),0(0,10,2222xtxuxxuttututxxutu例3 求下列定解问题解：0)1(,0)0(10,0XXxXX由例由例1中的方法知，以上特征值问题中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为22nnxnBxXnnsin)(022 nnTnTtnDtnCTnnnsincos数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分1911sin)s
17、incos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu)sincos(sintnDtnCxnBnnnxntnDtnCnnsin)sincos(xxnCxunnsinsin)0,(10sin)0,(1nnxnnDtxu0nD1011nnCn，xtusincos这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为线性方程的叠加原理，设原问题的解为于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特故原问题的解为这些特故原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法
18、章分离变量法下午10时13分20lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0,0)0,(),()0,(0,0),(),(,0),0(,0,0,22222)()(),(tTxXtxuTXaTX 2TTaXX 210 XX02 TaT0)()0(),0(tTXtu0)()(,0)0(lhXlXX 0)()(,0)0(0,0lhXlXXlxXX0)()()()()()()(),(),(tTlhXlXtTlhXtTlXtlhuxtlu例4 求下列定解问题令代入方程：解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分21 0)()(,0)0(0
19、,0lhXlXXlxXX02xxBeAexX)(0)()(0)0(llllBhehAeeBeAlhXlXBAX0 BA0)(xX02 XX0BAxxX)(0)()(hAlAlhXlX0A0)(xX0 X0)0(BX02xBxAxXsincos)(0sincos)()(,0)0(lBhlBlhXlXAXhl/tan,3,2,1,nn2nnxBxXnnnsin)(02 XX数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分22lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0,0)0,(),()0,(0,0),(),(,0),0(,0,0,2222
20、2,3,2,1,n2nnxBxXnnnsin)(02 TaT022 nnnTaTatDatCTnnnnnsincosnnnTXu 11sinsincosnnnnnnnnxatDatCuuatDatCxBnnnnnnsincossinxatDatCnnnnnsinsincos 0)()(,0)0(0,0lhXlXXlxXX于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为线性方程的叠加原理，设原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函
21、数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分23lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0,0)0,(),()0,(0,0),(),(,0),0(,0,0,222221sinsincosnnnnnnxatDatCu0sin)0,(1xaDtxunnnn0nD)(sin)0,(1xxCxunnnlmmlmxxxxxC020dsindsin)(1sincosnnnnxatCuxxxxxxClmlmnnndsin)(dsinsin001 lmmxxC02dsin数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分24nmnmxxxnlm
22、00dsinsin0nmnmnmnmll)sin()sin(21nmnmnmnmnmnmllllllsincoscossinsincoscossin21llllnmnnmmnmnmcossinsincos)(1mmnnnmnmnmnmlllltantancoscos1)(10 xxxlnmnmd)cos()cos(210hl/tan数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分25二 有限长杆上的热传导222,0,0,(,)(0,)0,(,)0,0(,0)()0uuaxl ttxu l tuthu l ttxu xxxl)()(),(tTxXtx
23、u2XTa X T 21XTXaT0 XX20Ta T0)()0(),0(tTXtu0)()(,0)0(lhXlXX0)()()()()()()(),(),(tTlhXlXtTlhXtTlXtlhuxtlu令带入方程：解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分26 0)()(,0)0(0,0lhXlXXlxXXhl/tan,3,2,1,0nn2nnxBxXnnnsin)(由例由例4知，以上特征值问题的知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为特征值和特征函数分别为满足方程满足方程20Ta T220nnnTa T22na tnnTC enn
24、nTXu 2 211sinna tnnnnnuuC ex22sinna tnnnC B ex22sinna tnnC ex于是得到一系列分离变量形式于是得到一系列分离变量形式的特解的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为)(sin)0,(1xxCxunnnnmnmxxxnlm00dsinsin0lmmlmxxxxxC020dsindsin)(1sincosnnnnxatCu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10
25、时13分27lxxxuttlututlxxuatu0),()0,(0,0),(,0),0(0,0,222)()(),(tTxXtxuXTaXT 2002 TaTXX 0)(,0)0(00lXXlxXXXXTaT 20)()(),(0)()0(),0(tTlXtlutTXtu0)(,0)0(lXX令代入方程：令例5 求下列定解问题解：xlnBXnnsin,3,2,1,22nlnnn由例由例1中的方法知，以上特征值问题中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分2802TaT
26、02222nnTlnaTtlnanneAT2222nnnTXu 11sin2222ntlnannnxlneCuuxlneBAtlnannsin22222 2 22sina ntlnnnuC exl1sin)()0,(nnxlnCxxuxxlnxlClndsin)(20于是得到一系列分离于是得到一系列分离变量形式的特解变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为加原理，设原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分2
27、9lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0,(0,0),(,0),0(0,0,222)()(),(tTxXtxuXTaXT 2XXTaT 2002 TaTXX 0)(,0)0(00lXXlxXX0)()(),(0)()0(),0(tTlXxtlutTXxtu0)(,0)0(lXX例6 求下列定解问题解：令数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分30 0)(,0)0(00lXXlxXX0202 XXxxBeAeX0X0)0(BAXlleBeAlX)(0 BA00 XBAxX0BX 0202 XXxBxAXcossinlnnxln
28、BXnncos0)0(AX0sin)(lBlX,3,2,1,22nlnnn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分31lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0,(0,0),(,0),0(0,0,222xlnBXnncos,2,1,0,2nlnn02TaT000T00TA002222nnTlnaTtlnanneAT2222nnnTXu xlneBAtlnanncos2222xlneCtlnancos2222000CAB000TXu 0)(,0)0(00lXXlxXX于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解
29、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分3210cos)()0,(nnxlnCCxxuxxlCld)(100 xxlnxlClndcos)(20()1x若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考100cos2222ntlnannnxlneCCuu这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为(),10,10 xx al若001()d2llCx xl022()cosd2(1)1()lnnnCxx xllln数学物理方
30、程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分33xxtuau20|0 xx luu)(|0 xut)()(xXtTu0)()0(LXXXXTaT/)/(2220TaT20XX22exp()T Aatsin,nlXx)()(xXtTukkkkkXTu),(txuu分离变量流程图数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分34三 拉普拉斯方程的定解问题axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0,(0,0),(),0(0,0,02222XYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY
31、 0)()0(0,0aXXaxXX0)()(),(0)()0(),0(yYaXyauyYXyu0)(,0)0(aXX1 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值问题中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为xanAXnnsin,3,2,1,2nann数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分35axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0,(0,0),(),0(0,0,02222xanAXnnsin,3,2,1,2nann0 YY0222 nnYanYyanny
32、annneDeCYnnnYXu 1nnuu1sinnyannyannxaneDeCxaneDeCyannyannsinsinnnyyaannnnnuC eD eAxa于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分36axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0,(0,0),(),0(0,
33、0,022221sinnyannyannxaneDeCuxanDCxxunnn1sin)()0,(xaneDeCxbxunabnnabnn1sin)(),(xxanxaDCnndsin)(2a0 xxanxaeDeCabnnabnndsin)(2a0022()()sind1n baann banx exx xaaCe022()()sind1n baann banx exx xaaDe数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分3722220,0,0(0,)(,)0,0(,0)(),(,)(),0uuxaybxyuyu a yybxxu xx u
34、 x bxxaXYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY 0)()0(0,0aXXaxXX0)()(),(0)()0(),0(yYaXxyauyYXxyu0)(,0)0(aXX例7 求下列定解问题解：由例由例6中的方法知，以上特征值问题中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为xanBXnncos,3,2,1,0,22nannn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分38axxbxuxxubyxyauxyubyaxyuxu0),(),(),()0,(0,0),(),0(0,0,02222xanBXnnco
35、s,3,2,1,0,22nannn0 YY0000DyCY0 Y00222 nnYanYyannyannneDeCYnnnYXu 000YXu 00000C yDBC yDxaneDeCyannyanncosxanBeDeCnyannyanncosxaneDeCDyCuunyannyannnn1000cos于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章
36、分离变量法章分离变量法下午10时13分39axxbxuxxubyxyauxyubyaxyuxu0),(),(),()0,(0,0),(),0(0,0,02222xaneDeCDyCunyannyann100cosxanDCDxxunnn10cos)()0,(xaneDeCDbCxbxunabnnabnn100cos)(),(xxanxaDCnndcos)(2a0 xxanxaeDeCabnnabnndcos)(2a01dcos)()(22a0abnabnnexxanxexaC1dcos)()(22a0abnabnnexxanxexaDxxaDd)(1a00 xxaDbCd)(1a000 xxx
37、abCd)(-)(1a00数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分40axxuxxuyyauyuyaxyuxu0,0),(),()0,(0,0),(),0(0,0,02222XYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY 0)()0(0,0aXXaxXX0)()(),(0)()0(),0(yYaXyauyYXyu0)(,0)0(aXX例8 求下列定解问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值问题中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为的特征值和特征函数分别为xanBXnnsin,3,2,1,2nann数学物理方程与特殊函数数学物理方
38、程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分41axxuxxuyyauyuyaxyuxu0,0),(),()0,(0,0),(),0(0,0,02222xanBXnnsin,3,2,1,2nann0 YY0222 nnYanYyannyannneDeCY11sin)(nyannyannnnxaneDeCuunnnYXu xaneDeCyannyannsin)(xanDxxunn1sin)()0,(xxanxaDandsin)(20于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件
39、，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为00),(nCxu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分422 圆域内的拉普拉斯问题22222yuxuu22,arctanyxxysin,cos221cos,sin/1122222yxyxxyxyxyxuu2222222222222sincoscos2sinsinuuuuuyuxuxuxu2222222222222sinsinsin2sincosuuuuuxuuuuyuxu11222222222cossinuuyuyuyusincosuu22211uu
40、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分4320),(),(20,01100222fuuu),0(u)2,(),(uu)()(),(u0112 0112 21102 0 ),2()(,0)()2()()(例9 求下列定解问题解：（自然边界条件）（周期性边界条件）)2()(周期特征值问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分440202 BeAe000 AB00A02sincosBAnn,3,2,1,22nnnnnBnAnnnsincos022 n(欧拉方程)lntet令ddd1 ddd
41、 ddPPtPtt 222d1 d1dd()()ddddPPPttt ),2()(,0周期特征值问题故以上周期特征值问题的特征值和特征函数分别为,2,1,0,22nnnnnBnAnnnsincos0)()(2 tnt,2,1,)(,ln)(;,2,1,)(,)(000000nDCDCneDeCttDCtnnnnnntnntnn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分4520),(),(20,01100222fuuu,3,2,1,0,2nnnnBnAnnnsincos0ln000DC 0C02 nnnnnnDCnnC000unnnu100si
42、ncosnnnnnnnFnEEuu000ECAnnnnnnnnFnECnBnAsincossincos1000sincos)(),(nnnnnFnEEfu222000000111()d,()cosd,()sind2nnnnEfEfnFfn （由自然边界条件）（由自然边界条件）于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时
43、13分4620,1),(,0),(20,011222buaubauu)()(),(u0112 0112 21102 0 例10 求下列定解问题解：)2,(),(uu（周期性边界条件）),2()(,0)()2()()()2()(周期特征值问题,3,2,1,0,2nnnnBnAnnnsincos数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分4720,1),(,0),(20,011222buaubauu02 欧拉方程 00002 ln000DC 02 n022 nnnnnnnnDC000unnnulnln00000FEDCAnnnnnnDCnBnAsi
44、ncosnHGnFEnnnnnnnnsincos1000sincoslnnnnnnnnnnnnnHGnFEFEuu,3,2,1,0,2nnnnBnAnnnsincos这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分4820,1),(,0),(20,011222buaubauu1000sincoslnnnnnnnnnnnnnHGnFEFEuu0sincosln),(100nnnnn
45、nnnnnaHaGnaFaEaFEau1sincosln),(100nnnnnnnnnnbHbGnbFbEbFEbu0ln00aFE0nnnnaHaG0nnnnaFaE1ln00bFE0nnnnbHbG0nnnnbFbEabaElnln0abFln10其他为零ababaulnlnlnlnabalnln数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分491,0)3/,()0,(3/0,6sin),1(3/0,1,011222uuuuu),0(u)()(),(u0112 0112 21102 0 0)3/()0(0)3/()0(3/0,00)()3/(
46、)()0(例11 求下列定解问题解：由例由例1中的方法知，以上特征值问中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为题的特征值和特征函数分别为,3,2,1,922nnnnnBnn3sin（自然边界条件）数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分501,0)3/,()0,(3/0,6sin),1(3/0,1,011222uuuuunBnn3sin,3,2,1,92nnn02 0922 nnnnnnnnDC33nnC3nnnu1313sinnnnnnnEuu13sin6sin),1(nnnEu2,0,12nEEn66sinunnnnnnECn
47、B333sin3sin（由自然边界条件）数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分51qypxtpxyxyxutqxutxutqytyputyutqypxyuxuatu0,00,0),()0,(,0),(),0,(0,0,0),(),0(0,0,0,22222)()()(),(tTyYxXtyxuTYXYTXaTXY 2012 TTaYYXX XX YY)(12TTa0 XX0 YY0)(2TaT例11 求解下列二维热传导方程的定解问题解：0 XX0)()0(pXX由例由例1中的方法知，以上特征值问中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数
48、分别为题的特征值和特征函数分别为,3,2,1,222npnnxpnBXnnsin0 YY0)()0(qYY,3,2,1,222mqmmyqmCYmmsin数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分520)(2TaT0)(2222222mnmnTaqmpnTtaqmpnmnmneDT2222222)(mnmnmnTYXu2222222()sinsinnma tpqnmmnnmBx Cy D epq2222222()sinsinnma tpqmnnmExyepq2222222()1111sinsinnma tpqmnmnmnmnnmuuExyep
49、q11(,0)(,)sinsinmnmnnmu x yx yExypq004(,)sinsind dqpmnnmEx yxy x ypqpq 于是得到一系列分离变量形式的特解于是得到一系列分离变量形式的特解这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为性方程的叠加原理，设原问题的解为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分53lxxxuttlututlxuxuatu0),()0,(0,0),(),0(0,0,222veutvexvaevetvett
50、tt222222xvatv0),0(),0(tvetut)0,()0,(xvxu0),0(tv0),(tlv)()0,(xxv0),(),(tlvetlut例12 求下列热传导方程的定解问题解法一：令数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法下午10时13分54lxxxuttlututlxuxuatu0),()0,(0,0),(),0(0,0,222XTu XTTXaTX 2XXaTaT 2210 XX012 TaT0)()(),(0)()0(),0(tTlXtlutTXtu0)(,0)0(lXX 0)(,0)0(0,0lXXlxXX解法二：令由例由例1中的
