1、范例范例5.9 同一直线上同一直线上的简谐振动的合成的简谐振动的合成(1)求任意两个同一直线同频率的简谐振动的合振动；求任意两个同一直线同频率的简谐振动的合振动；(2)有有N个个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是A，相差都是，相差都是，第一个振动的初相为零。求，第一个振动的初相为零。求N个简谐振动的振幅和初相。个简谐振动的振幅和初相。(3)求两个相一直线、频率相近的简谐振动的合振动。求两个相一直线、频率相近的简谐振动的合振动。由于两个振动在同一直线上，因此合振动为由于两个振动在同一直线上，因此合振动为x=x1+x2=A1cos(t+1)+A2cos
2、(t+2)=(A1cos1+A2cos2)cost-(A1sin1+A2sin2)sint令令Acos=A1cos1+A2cos2，Asin=A1sin1+A2sin2,则则x=Acoscost Asinsint=Acos(t+),解析解析(1)如图所示，设有两个独立的同频率的简谐振动，如图所示，设有两个独立的同频率的简谐振动，位移为位移为x1=A1cos(t+1)，x2=A2cos(t+2)其中其中221212212cos(),AAAAA11221122sinsinarctancosos.cAAAAxM1Ox2A2P2AA1x1x当两个分振动同相时当两个分振动同相时=2-1=2k,(k=0，
3、1，2，.)因为因为cos(2-1)=1，所以，所以可见：合振幅等于原来两个简谐可见：合振幅等于原来两个简谐振动的振幅之和，振动加强。振动的振幅之和，振动加强。当两个分振动反相时当两个分振动反相时=2-1=(2k+1),(k=0，1，2，.)讨论讨论 x=cos(t+),因为因为cos(2-1)=-1，所以，所以221212212cos()AAAAAxM1Ox2A2P2AA1x1x221212122AAAA AAA221212122|AAAA AAA合振幅等于原来两个简谐振动的合振幅等于原来两个简谐振动的振幅之差的绝对值，振动减弱。振幅之差的绝对值，振动减弱。如果如果A1=A2，则合振动的，则
4、合振动的结果使质点处于静止状态。结果使质点处于静止状态。一般情况下，合振幅介于一般情况下，合振幅介于A1+A2和和|A1-A2|之间之间。范例范例5.9 同一直线上同一直线上的简谐振动的合成的简谐振动的合成两个振动同相，两个振动同相，合振动加强，振合振动加强，振幅达到幅达到0.07m。如果第一个振如果第一个振动的振幅和初动的振幅和初相分别为相分别为0.03m和和0，第二个振动第二个振动的振幅和初的振幅和初相分别为相分别为0.04m和和0，如果两个振动如果两个振动的振幅不变，的振幅不变，角度分别是角度分别是0和和90，x2超前超前x1的相位的相位/2，合振幅为合振幅为0.05m，初，初相的度数相
5、的度数达到达到53。如果将两如果将两个角度数个角度数改为改为0和和180，则两，则两个振动反个振动反相，合振相，合振动减弱，动减弱，振幅只有振幅只有0.01m。如果将两个角度数改为如果将两个角度数改为0和和-90，x2滞后滞后x1的相位的相位/2。除了同相和反相除了同相和反相的情况外，合振的情况外，合振动的极大值的横动的极大值的横坐标处在两个分坐标处在两个分振动的极大值的振动的极大值的横坐标之间。横坐标之间。(2)有有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是是A，相差都是，相差都是，第一个振动的初相为零。求，第一个振动的初相为零。求n个个简谐振动的振
6、幅和初相。简谐振动的振幅和初相。n个简谐振动可表示为个简谐振动可表示为x1=Acost，x2=Acos(t+)，x3=Acos(t+2)，xn=Acost+(n-1)根据矢量合成法则，这根据矢量合成法则，这些简谐振动对应的旋转些简谐振动对应的旋转矢量的合成如图所示。矢量的合成如图所示。由于各个振动的振幅相同且相差由于各个振动的振幅相同且相差恒为恒为，图中各个矢量的起点和，图中各个矢量的起点和终点都在以终点都在以C为圆心的圆周上。为圆心的圆周上。解析解析(2)采用旋转矢量法可使问题得到采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。简化，从而避开烦琐的三角函数运算。设圆的半径为设圆的
7、半径为r，每个矢量对，每个矢量对应的圆心角都是应的圆心角都是，因此，因此全部矢量对应的圆全部矢量对应的圆心角是心角是n，因此，因此sin(/2)sin(/2)nA 这是多个这是多个等幅同频等幅同频振动的合振动的合振幅公式振幅公式。A 1A2A 3A 4A5AMnCr2 sin2Ar2 sin2nAr范例范例5.9 同一直线上同一直线上的简谐振动的合成的简谐振动的合成这是多个等幅同频振动的初相公式。这是多个等幅同频振动的初相公式。(2)有有n个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都个同一直线同频率的简谐振动，它们的振幅都是是A，相差都是，相差都是，第一个振动的初相为零。求，第一个振动的初相为零。
8、求N个个简谐振动的振幅和初相。简谐振动的振幅和初相。初相为初相为合振动为合振动为x=Acos(t+)当当0时，有时，有AnA，0，这就是等幅同频同，这就是等幅同频同相振动合成的情况。相振动合成的情况。如果如果nA=2，就是，就是所有矢量旋转构成一所有矢量旋转构成一个正多边形，则个正多边形，则A=0。振幅振幅这是多个等幅同频振动的振动公式。这是多个等幅同频振动的振动公式。A 1A2A 3A 4A5AMnCrsin(/2)sin(/2)nAA 111()()222nn sin(/2)1cos()sin(/2)2nnAt 范例范例5.9 同一直线上同一直线上的简谐振动的合成的简谐振动的合成如果有如果
9、有7个分振动，相差依次为个分振动，相差依次为20度，各个分振动的振幅相同，位相差恒定。度，各个分振动的振幅相同，位相差恒定。将各个将各个分振动分振动叠加之叠加之后，振后，振幅越来幅越来越大，越大，初位相初位相也越来也越来越大。越大。矢量首尾相接形成多边形的矢量首尾相接形成多边形的一部分，最后首尾相接的矢一部分，最后首尾相接的矢量就是合振动，合振幅为量就是合振动，合振幅为A=5.4A，初相为，初相为60度。度。当各振当各振动逐级动逐级叠加时，叠加时，合振幅合振幅先增加先增加再变小。再变小。取取10个分个分振动，振动，相差相差依次依次为为30度。度。合振幅为合振幅为A=1.9 A，初相为，初相为1
10、35度。度。取取12个分振动，相差依个分振动，相差依次为次为30度，分振动就构度，分振动就构成一个完整的正多边形，成一个完整的正多边形，合振幅为零合振幅为零。如果分振动的相差为零，那如果分振动的相差为零，那么，正多边形变成一条线。么，正多边形变成一条线。(3)求两个同一直线、频率相近的简谐振动的合振动。求两个同一直线、频率相近的简谐振动的合振动。x1=Acos(1t+)，x2=Acos(2t+)利用和差化积公式可得合振动为利用和差化积公式可得合振动为可见：两个同方向不可见：两个同方向不同频率的简谐振动合同频率的简谐振动合成之后不是简谐振动，成之后不是简谐振动，也没有明显的周期性。也没有明显的周
11、期性。当两个分振动的频率比较大而差异比较小时：当两个分振动的频率比较大而差异比较小时：|2-1|2+1，方程就表示了振幅按，方程就表示了振幅按2Acos(2-1)t/2变化变化的角频率为的角频率为(2+1)/2的的“近似近似”的简谐振动。的简谐振动。这种振动的振幅变化是周期性的，这种振动的振幅变化是周期性的，相对于简谐振动来说是缓慢的。相对于简谐振动来说是缓慢的。解析解析(3)设一个质点同时参与两个同一直线不同频率的简谐振设一个质点同时参与两个同一直线不同频率的简谐振动，角频率分别为动，角频率分别为1和和2，为了突出频率不同所产生的效果，为了突出频率不同所产生的效果，设分振动的振幅和初相位都相
12、同，因此两个分振动方程为设分振动的振幅和初相位都相同，因此两个分振动方程为2121122cos()cos()22xxxAtt由于余弦函数的绝对值的周期由于余弦函数的绝对值的周期为为，设时间周期为，设时间周期为Tp，则有，则有21p|2T因此拍频如上因此拍频如上21p21p1|22.fffT范例范例5.9 同一直线上同一直线上的简谐振动的合成的简谐振动的合成不妨设两不妨设两个振动的个振动的初相都为初相都为零，第一零，第一个角频率个角频率为为/2，第，第二个角频二个角频率比第一率比第一个角频率个角频率大大=/10。每经过每经过20s，两个振两个振动的最动的最大值重大值重合。经合。经过过10s，两个
13、振两个振动的极动的极大值和大值和极小值极小值重合。重合。拍频为拍频为fp=/2=1/20Hz，拍频的周期为，拍频的周期为T p=1/fp=20s。一条曲线的角频率较大，是两个分振动的角频率的一条曲线的角频率较大，是两个分振动的角频率的平均值；另一条曲线的角频率较小，称为调制线。平均值；另一条曲线的角频率较小，称为调制线。因为质点振幅的改变是周期性的，就形成因为质点振幅的改变是周期性的，就形成时强时弱的现象，这种现象称为时强时弱的现象，这种现象称为“拍拍”。调制线决定了振幅的范围。调制线决定了振幅的范围。两个振动的最大值重合的周期随着发生变化，调制线的周期增大。两个振动的最大值重合的周期随着发生变化，调制线的周期增大。如果将两如果将两个振动的个振动的角频率之角频率之差改小一差改小一些，例如些，例如=/15，两个，两个振动的最振动的最大值重合大值重合的周期随的周期随着发生变着发生变化。化。拍频为拍频为fp=/2=1/30Hz，拍频的周期为，拍频的周期为T p=1/fp=30s。
