1、 主要内容：主要内容：随机过程的定义随机过程的定义 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 高斯随机过程高斯随机过程 窄带随机过程窄带随机过程重点：重点：随机过程的基本概念随机过程的基本概念 高斯随机过程的定义、高斯随机过程的定义、性质性质 窄带随机过程的表达式窄带随机过程的表达式第二章第二章 随机信号分析随机信号分析 第二章 随机信号分析第二章第二章 随机信号分析随机信号分析2.1 2.1 引言引言2.2 2.2 随机过程的一般表达随机过程的一般表达 2.3 2.3 平稳随机过程平稳随机过程 2.4 2.4 平稳过程的相关函数与功率谱密度平稳过程的相关函数与功率谱密度 2.5 2.5 高斯过程
2、高斯过程 2.6 2.6 窄带随机过程窄带随机过程2.7 2.7 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程 2.8 2.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 第二章 随机信号分析2.12.1 引言引言 任何一个通信系统其作用都是传输消息任何一个通信系统其作用都是传输消息信号。而信号在传输过程中不可避免会受到通信号。而信号在传输过程中不可避免会受到通信系统内外各种噪声的干扰。因此对通信系统信系统内外各种噪声的干扰。因此对通信系统的研究始终离不开对信号和噪声的分析，它和的研究始终离不开对信号和噪声的分析，它和系统分析一起构成通信的理论基础。系统分析一起构成通信的理论基础。通信系统分析信号和
3、噪声分析通信的理论第二章 随机信号分析2.12.1 引言引言 信号的变化可表现为任一物理量的变化，信号的变化可表现为任一物理量的变化，通信系统中一般感兴趣的是电量的变化，如随通信系统中一般感兴趣的是电量的变化，如随时间变化的电流、电压。对于各种各样的信号，时间变化的电流、电压。对于各种各样的信号，可按不同方法分类。可按不同方法分类。确定信号：表征信号的所有参量都是确定确定信号：表征信号的所有参量都是确定的，能写出明确的瞬间函数值，的，能写出明确的瞬间函数值，随机信号确定性信号离散信号连续信号非周期信号周期信号 00tAtesin 也就确定时00 tett,第二章 随机信号分析2.12.1 引言
4、引言 随机信号：随机信号：“随机随机”两个字的本义含有不两个字的本义含有不可预测意思，不能用单一时间函数表达。随机可预测意思，不能用单一时间函数表达。随机信号是指一些不规则的信号。信号是指一些不规则的信号。随机信号：或称随机过程，采用统计数学随机信号：或称随机过程，采用统计数学方法，用随机过程理论分析研究。方法，用随机过程理论分析研究。随机信号的一般特性有均值，最大小值、随机信号的一般特性有均值，最大小值、均方值，平均功率值及平均频谱。均方值，平均功率值及平均频谱。),(:通信失去意义如消息信号确知受信者接收的消息信号通信系统中的噪声随机信号第二章 随机信号分析2.2 2.2 随机过程的一般表
5、达随机过程的一般表达 1、随机过程的概念及定义、随机过程的概念及定义 通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数依赖于时间参数t的随机过程。的随机过程。从一实例讲起，设有从一实例讲起，设有n部性能完全相同的部性能完全相同的通信机，工作条件相同。通信机，工作条件相同。n部通信机，部通信机，n台记录台记录仪同时记录通信机输出热噪声电压波形，一次仪同时记录通信机输出热噪声电压波形，一次记录的一个波形，就是一个实现（抽样函数）。记录的一个波形，就是一个实现（抽样函数）。无数个记录构成的总体（集合）就是随机无数个记录构成的总体（集合）就是随机过程。过程。第二章
6、 随机信号分析2.2 2.2 随机过程的一般表达随机过程的一般表达 t20t 2v t总体：概率平滑减少值远离值附近概率值大,v00 tn0t nv1t2t0概率噪声值高斯分布v出现的概率此噪声电压值0t 1v t1第二章 随机信号分析2.2 2.2 随机过程的一般表达随机过程的一般表达 上述这一类随机过程（随机信号）有如下上述这一类随机过程（随机信号）有如下特征：特征：信号变化不可预测；如气温信号，知道今信号变化不可预测；如气温信号，知道今中午的温度，但不能确切知道明天中午的温度。中午的温度，但不能确切知道明天中午的温度。事物的变化过程不能用一个（或几个）时事物的变化过程不能用一个（或几个）
7、时间间t t的确定函数来加以描述。如通信机的输出的确定函数来加以描述。如通信机的输出热噪声电压，在相同条件下每次测量都将产生热噪声电压，在相同条件下每次测量都将产生不同的热噪电压不同的热噪电压 时间函数，要用一簇函数时间函数，要用一簇函数来描述。来描述。第二章 随机信号分析2.2 2.2 随机过程的一般表达随机过程的一般表达 2、分布函数及概率密度、分布函数及概率密度 一维分布函数：一维分布函数：随机变量随机变量 小于或等于某一数值小于或等于某一数值x的概率的概率 则称则称 为为 的一维分布函数。的一维分布函数。一维概率密度：一维概率密度：如果存在如果存在 则称则称 为为 的一维概率密度。的一
8、维概率密度。1t)(),(xtptxF11),(1txF t11txfxtxF,1txf,t第二章 随机信号分析2.2 2.2 随机过程的一般表达随机过程的一般表达 多维分布函数：多维分布函数：多维概率密度函数：多维概率密度函数：nnnnnxtxtxtptttxxxF,;,22112121nnnnnnnnttxxfxxxtttxxxF11212121,;,第二章 随机信号分析2.2 2.2 随机过程的一般表达随机过程的一般表达 3、随机过程的数学特征、随机过程的数学特征 上述随机过程的概率分布函数和密度函数能上述随机过程的概率分布函数和密度函数能完整的描述其统计特性，然而在一般情况，多完整的描
9、述其统计特性，然而在一般情况，多采用数学特征来描述随机过程的统计特性。采用数学特征来描述随机过程的统计特性。的数学期望（均值）：的数学期望（均值）：所有样本函数在时刻所有样本函数在时刻t 的函数值的平均，的函数值的平均，也称集平均，以区别时间平均的概念。也称集平均，以区别时间平均的概念。t tadxtxxftE,t第二章 随机信号分析2.2 2.2 随机过程的一般表达随机过程的一般表达 方差定义方差定义 ：（偏离均值的程度）：（偏离均值的程度）衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，定义：变量的统计相关特性时，定义：22222222222t
10、adxtxfxtEtEtEtEtEtEtEtEttEtEtEtD,t2第二章 随机信号分析2.2 2.2 随机过程的一般表达随机过程的一般表达 协方差函数：协方差函数：自相关函数：自相关函数：显然有：显然有：互相关函数：互相关函数：21212122211221121dxdxttxxftaxtaxtattatEttB,;,2121212212121dxdxttxxfxxttEttR,;,212121tEtEttRttB,dydxtytxfxyttEttR 212121 ,;,第二章 随机信号分析2.3 2.3 平稳随机过程平稳随机过程 1、平稳随机过程、平稳随机过程 一种特殊类型的随机过程平稳随
11、机过程，一种特殊类型的随机过程平稳随机过程，对任意对任意n和和，满足（，满足（n维概率密度函数）：维概率密度函数）：对于一维的情况来说，一维概率密度函数对于一维的情况来说，一维概率密度函数与时间无关。即与时间无关。即 二维概率密度函数只与时间间隔二维概率密度函数只与时间间隔 有关，有关，即即 nnnnnntttxxftttxxxf,;,;,2112121 xf,21xxf第二章 随机信号分析2.3 2.3 平稳随机过程平稳随机过程 平稳随机过程的统计特性：平稳随机过程的统计特性：(1)(1)均值（数学期望）均值（数学期望）(2)(2)方差方差 adxxxftE 222 dxxfaxtEtD第二
12、章 随机信号分析2.3 2.3 平稳随机过程平稳随机过程 (3)(3)自相关函数自相关函数 平稳随机过程的自相关函数只与时间间隔平稳随机过程的自相关函数只与时间间隔有关：有关：2121211111dxdxxxfxxttERttR;,第二章 随机信号分析2.3 2.3 平稳随机过程平稳随机过程 2、各态历经过程、各态历经过程 大量的实际观测和理论分析表明，许多平大量的实际观测和理论分析表明，许多平稳随机过程具有所谓稳随机过程具有所谓“各态历经性各态历经性”。若一随机过程是各态历经过程，则必满足：若一随机过程是各态历经过程，则必满足：RdttxtxTRdtatxTdxxfaxadttxTdxxfx
13、aTTTTTTTTT2222222222111limlimlim第二章 随机信号分析2.3 2.3 平稳随机过程平稳随机过程 各态历经过程的任一实现都好象经历了随机过各态历经过程的任一实现都好象经历了随机过程的所有可能状态似的。程的所有可能状态似的。任一实现都能代表整个随机过程。任一实现都能代表整个随机过程。各态历经过程必须首先是平稳过程，但平稳过各态历经过程必须首先是平稳过程，但平稳过程不一定是各态历经过程。程不一定是各态历经过程。各态历经过程的平均值，时间平均和对应的集各态历经过程的平均值，时间平均和对应的集合平均相等。合平均相等。第二章 随机信号分析2.4 2.4 平稳过程的相关函数与功
14、率谱密度平稳过程的相关函数与功率谱密度 1、相关函数、相关函数 基本性质：基本性质：StER20 RR 0RR 22aRtER 20 RR第二章 随机信号分析2.4 2.4 平稳过程的相关函数与功率谱密度平稳过程的相关函数与功率谱密度 2、频谱特性、频谱特性 的功率谱密度为的功率谱密度为 平稳随机过程的自相关函数与功率频谱之平稳随机过程的自相关函数与功率频谱之间也有确定的傅立叶变换关系：间也有确定的傅立叶变换关系：t P TEPTT2lim dePRdeRPjj21第二章 随机信号分析2.5 2.5 高斯过程高斯过程 高斯过程又称正态随机过程，是一种普遍高斯过程又称正态随机过程，是一种普遍存在
15、又十分重要的随机过程。通信信道中的噪存在又十分重要的随机过程。通信信道中的噪声，通常是一种高斯过程。声，通常是一种高斯过程。先看一维分布的情况。先看一维分布的情况。高斯过程在给定任一时刻上，则是一高斯高斯过程在给定任一时刻上，则是一高斯随机变量随机变量 ，其概率密度函数为：，其概率密度函数为：为底的指数函数以常量方差均值eaaxxfexpexp222221第二章 随机信号分析2.5 2.5 高斯过程高斯过程 则则 称服从高斯分布（也称正态分布）的称服从高斯分布（也称正态分布）的随机变量。随机变量。xa21 xf高斯概率密度函数曲线高斯概率密度函数曲线第二章 随机信号分析2.6 2.6 窄带随机
16、过程窄带随机过程 窄带随机过程是指其频带宽度窄带随机过程是指其频带宽度 远小于中远小于中心频率心频率 的随机过程。的随机过程。窄带过程表达式窄带过程表达式 上式利用三角函数和角公式，可写成上式利用三角函数和角公式，可写成fcf 0tatttatccos 均是随机过程随机相位随机包络 tta第二章 随机信号分析2.6 2.6 窄带随机过程窄带随机过程 如果如果 的概率密度函数为高斯分布，则称窄的概率密度函数为高斯分布，则称窄带高斯过程。带高斯过程。tttttttatttatttttatcsccccccsincossinsincoscossinsincoscos 的变化缓慢的多相对于载波的正交分量
17、的同相分量tttttcsccos t第二章 随机信号分析2.7 2.7 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程 信号经过信道传输总会受到加性噪声的影信号经过信道传输总会受到加性噪声的影响。本节讨论正弦信号与窄带高斯噪声之基本响。本节讨论正弦信号与窄带高斯噪声之基本特性。特性。设正弦信号设正弦信号 窄带高斯噪声窄带高斯噪声 正弦波加窄带高斯过程：正弦波加窄带高斯过程：tAtfccos ttnttntncsccsincos tttzttzttzttnAttnAttnttntAtntftrccscccscccsccccossincossinsincoscossincoscos第二章 随机信号分析2
18、.7 2.7 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程 式中：式中：可以证明：可以证明：正弦波加窄带高斯过程的包络的概率密度正弦波加窄带高斯过程的包络的概率密度函数为：函数为：该函数也称该函数也称Rice（莱斯）密度函数。式中（莱斯）密度函数。式中为零阶修正贝塞尔函数。为零阶修正贝塞尔函数。20022tztztztztztzcsscarctan 0 21202222zAIAzzzfzexp第二章 随机信号分析2.7 2.7 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程3.0 zf220A12z6.0123456随机包络的概率密度曲线随机包络的概率密度曲线0.10.29090013502228A42
19、随机相位的概率密度曲线随机相位的概率密度曲线第二章 随机信号分析2.8 2.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 随机过程通过线性系统的分析，完全是建随机过程通过线性系统的分析，完全是建立在确定信号通过线性系统的分析基础之上的。立在确定信号通过线性系统的分析基础之上的。是对确定信号分析的推广。是对确定信号分析的推广。设线性系统的冲激响应为设线性系统的冲激响应为 ，输入随机过，输入随机过程为程为 ，则输出为，则输出为 。th ti t0 dthtthtii0第二章 随机信号分析2.8 2.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 1、输出输出 均值均值 因为因为 所以所以 可见系统的
20、输出响应可见系统的输出响应 的均值与时间无关。的均值与时间无关。dtEhdthEtEii0 000dtthHdtethHtEtEtjii 00HtEdhtEtEii t0 t0第二章 随机信号分析2.8 2.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 2、输出、输出 的自相关函数的自相关函数 可见，系统的输出的自相关函数只与时间可见，系统的输出的自相关函数只与时间间隔有关，与时间起点无关。间隔有关，与时间起点无关。t00R dthdthEttEttRii111010110,ddttEhhii11 011RddRhhddttRhhii,第二章 随机信号分析2.8 2.8 随机过程通过线性系统随
21、机过程通过线性系统 3、输出、输出 的功率谱密度的功率谱密度 线性系统输出平稳过程的功率谱是输入平线性系统输出平稳过程的功率谱是输入平稳过程功率谱与传递函数模的乘积平方。稳过程功率谱与传递函数模的乘积平方。t0 0P deddRhhdeRPjij00 iijjjPHPHHdeRdehdeh 2 第二章 随机信号分析2.8 2.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 4、如果输入是高斯型，输出也是高斯型。、如果输入是高斯型，输出也是高斯型。线线性性系系统统（高斯分布）（高斯分布）（高斯分布）（高斯分布）i0第二章 随机信号分析2.8 2.8 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 5、输入是平稳，输出也平稳（至少广义平稳）、输入是平稳，输出也平稳（至少广义平稳）线线性性系系统统（平稳过程）（平稳过程）（平稳过程）（平稳过程）i0
