1、 两异面直线 所成的角和距离高中数学立体几何直线a与b，直线a与c,都是异面直线，它们有什么区别？aMbc异面直线距离的定义：异面直线距离的定义：和两条异面直线都垂直的直线有多少条？与这两条异面直线都垂直相交的直线有多少条？定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线异面直线的公垂线定义：两条异面直线的公垂线在两条异面直线间的线段，叫定义：两条异面直线的公垂线在两条异面直线间的线段，叫两异面直线的距离两异面直线的距离ABCDADCB如图，在正方体中，找出棱如图，在正方体中，找出棱AA和和BC所在直线的公垂线。所在直线的公垂线。直线直线AB公垂线的
2、特征公垂线的特征：（1）垂直垂直，（，（2）相交相交。A A 1 B B 1 B B A A D D 1 C C 1 D D C C 例例1：找出每对异面直线的公找出每对异面直线的公垂线，若正方体的边长为垂线，若正方体的边长为1 1，请回答每对异面直线的距离请回答每对异面直线的距离是多少。是多少。1、A1B与与D1C1公垂线是公垂线是_距离是距离是_2、A1B与与C1C公垂线是公垂线是_距离是距离是_3、A1B与与CD公垂线是公垂线是_距离是距离是_4、B1B与与AD公垂线是公垂线是_距离是距离是_5、A1A与与B1C1公垂线是公垂线是_距离是距离是_A1D1BCBCABA1B111111练习
3、：在长方体练习：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，AB=4cm,BC=3cm,B1B=2cm.求：求：异面直线异面直线A1A与与BC的距离；的距离；异面直线异面直线A1A与与C1D1的距离的距离；异面直线异面直线A1B1与与BC的距离；的距离；ABCDA1B1C1D1 因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，ABA1A于A，ABBC于B。所以AB是异面直线A1A与BC的公垂线段。AB的长度就是异面直线A1A与BC的距离。因为AB=4cm,所以A1A与BC的距离为4cm异面直线异面直线A1B与与CC1的距离是多少？为什么？的距离是多少？为什么？求异面直线的距离的方法求异面直线的距离的方法
4、：找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。例2：设图中的正方体的棱长为a，A1ABB1CDC1D1图中哪些棱所在的直线与BA1成异面直线求异面直线A1B与C1C1的距离直线BA1与C1C所成角的大小求异面直线A1B与B1C1的距离例例3:空间四边形空间四边形ABCDABCD四边长为四边长为1010，对角线，对角线BD=8BD=8，AC=16AC=16，E E，F F分别是分别是ACAC、BDBD的中点求证的中点求证:(1)EF:(1)EF是是ACAC、BDBD的公垂线段；的公垂线段；(2)(2)求出异面直线求出异面直线ACAC、BDBD的距离。的距离
5、。A A B BC CD DE EF FEFEF是是ACAC、BDBD的公垂线意味着的公垂线意味着什么什么？上面的答案再加上条件：上面的答案再加上条件：E E、F F是中点，可以引出一是中点，可以引出一些什么样的结论？些什么样的结论？思考思考EF AC，EF BDEF是是AC的中垂线，的中垂线，AFC是等腰三角形。是等腰三角形。A AB BC CD DE EF F同理：同理：EFBD，EF是是AC、BD的公垂线段。的公垂线段。(2)ABC中中AB=BC=10，AC=16，E为为AC中点中点 BE=6 RtBEF中，中，BF=452EFBD,AC的距离为异面直线连结连结AF、FC。ABCD四边长
6、都为四边长都为10AF、CF是是ABD和和CBD对应边上的中线对应边上的中线 AF=CF AFC是等腰三角形是等腰三角形EF是底边上的中线是底边上的中线 EF AC例例4：正方体：正方体ABCDA1B1C1D1中，中，P为为AB中点，中点，Q为为BC中点，中点，AA1=a,O为正方形为正方形ABCD的中心，求的中心，求PQ与与C1O间的距离。间的距离。ABCDA1B1C1D1PQOM M 对于两异面直线的公垂线；两异面直线的对于两异面直线的公垂线；两异面直线的距离，本节只是最基本的方法，今后还会有距离，本节只是最基本的方法，今后还会有更多的处理方法更多的处理方法。小结：小结：和两条异面直线都垂
7、直相交的直线叫做和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线两条异面直线的公垂线。公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段异面直线的公垂线段。公垂线段的长度，叫做两。公垂线段的长度，叫做两条条异面直线的距离异面直线的距离能力提高：能力提高：例例1.已知两条异面直线所成的角为已知两条异面直线所成的角为(如图如图),在直线在直线a、b上分别取上分别取E、F，已知，已知A1E=m，AF=n，EF=L L，求公求公垂线段垂线段AA1的长的长d.aA1mEcdGAbF2 2m mn nc co os sn nm ml ld d2 22 22
8、 2F 练习练习AB是异面直线是异面直线a、b的公垂线段的公垂线段,AB=2，a、b成成300角，在角，在a上取上取P点使点使AP=4，则点，则点P到到b的距离等于的距离等于baNBAc能力提高题能力提高题1如图如图,异面直线异面直线AC与与BD间的公垂线段间的公垂线段AB=4,又又AC=2,BD=3,CD=42.(1)设二面角设二面角CABD为为,求求.(2)求点求点C到平面到平面ABD的距离的距离.(3)求异面直线求异面直线AB与与CD的距离的距离.DBAC.已知正方体已知正方体AC1的棱长为的棱长为1。如图。如图。(1)求直线求直线BD1与与B1C的距离。的距离。(2)E、F分别分别为为AA1、B1B的中点，求的中点，求EC与与D1F 的距离。的距离。EABCDA1B1C1D1FABCDA1B1C1D1G能力提高题能力提高题2
