1、Prof.Wang JX弹性与塑性应力应变关系弹性与塑性应力应变关系Prof,Wang JX一、低碳钢拉伸时的应力一、低碳钢拉伸时的应力-应变曲线应变曲线0AP lll0 o PA0l0PABCDEOB：弹性阶段：弹性阶段E p e s bBC：屈服阶段：屈服阶段CD：强化阶段：强化阶段DE：局部变形阶段：局部变形阶段C s ssss Prof,Wang JX一、低碳钢拉伸时的应力一、低碳钢拉伸时的应力-应变曲线应变曲线o ABCDE p e s bC s ssss J.Bauschinger效应：效应：强化材料随着塑性强化材料随着塑性变形的增加，屈服极限变形的增加，屈服极限在一个方向提高而在
2、相在一个方向提高而在相反方向降低的效应。反方向降低的效应。理想理想J.Bauschinger效应：效应：屈服极限在一个方屈服极限在一个方向提高的数值与在相反向提高的数值与在相反方向降低的的数值相等。方向降低的的数值相等。二、真应力二、真应力-应变曲线应变曲线APT o 材料不可压缩：材料不可压缩：A00lAAl 00llAPT )1(T A TAAA1oB 三、压缩时的应力应变曲线三、压缩时的应力应变曲线00HHH 对数应变：对数应变：00HAAH )1(0 APAPTPD0H0DH01HH 10HHHH0ln*11ln*体积不变：体积不变：11000AHHAA真应力：真应力：v 压缩应力应变
3、曲线的作法压缩应力应变曲线的作法（1）记录各试件在每次压缩后的载荷和尺寸。）记录各试件在每次压缩后的载荷和尺寸。（2）作各试件的真应力与对数应变曲线。）作各试件的真应力与对数应变曲线。11HD22HD33HD 11ln*)1(0 APTHDT 11HD22HD33HDabc（3）将真应力与对数应变曲线转换为真应力与）将真应力与对数应变曲线转换为真应力与D/H的曲线。的曲线。（4）将真应力与）将真应力与D/H的曲线外推到的曲线外推到D/H为零，再转换为真应力为零，再转换为真应力与对数应变曲线。与对数应变曲线。1.理想弹性力学模型理想弹性力学模型 E v符合材料的实际情况。符合材料的实际情况。v数
4、学表达式足够简单。数学表达式足够简单。2.理想弹塑性力学模型理想弹塑性力学模型 s s sssE Prof,Wang JX3.线性强化弹塑性力学模型线性强化弹塑性力学模型 11 ssssEE )(1 s sEE1（双线性强化力学模型）（双线性强化力学模型）4.幂强化力学模型幂强化力学模型nA n：强化指数：强化指数：0 n 1An=1n=06.线性强化刚塑性力学模型线性强化刚塑性力学模型 1Es s （刚塑性力学模型）（刚塑性力学模型）5.理想塑性力学模型理想塑性力学模型s E1 s一、单拉下的应力一、单拉下的应力-应变关系应变关系Exx xyE xzE 二、纯剪的应力二、纯剪的应力-应变关系
5、应变关系Gxyxy )0 x,y,z(i,jij )(0 x,y,zii 0 zxyz xyz xxyz x yE：弹性模量：弹性模量 ：泊松比：泊松比G：剪切弹性模量：剪切弹性模量 12 EGProf,Wang JX三、空间应力状态下的应力三、空间应力状态下的应力 -应变关系应变关系依叠加原理依叠加原理,得得:EEEzyxx xzyyE 1 yxzzE 1xyxyxyEG )1(2 zyxxE 1 xyz z y xy xyzyzyzEG )1(2 zxzxzxEG )1(2 zyxE 1 xzyyE 1 yxzzE 1 zyxxE 1 zyxzyxE 2103 zyx03 zyx体积应变：
6、体积应变：体积应力：体积应力：0021 E E 210)21(3 E 体积应变与三个主应力的和成正比。体积应变与三个主应力的和成正比。体积应变与平均应力成正比。体积应变与平均应力成正比。KE )21(30)21(3 Ek体积弹性模量体积弹性模量 K3 xzyyE 1 yxzzE 1 zyxxE 1 xxE)1(1 yyE)1(1 zzE)1(1 E3210 001 xxExxsEe 1xsG21 yysGe21 zzsGe21 xyxyG 1 xyxyxyGe 2121 yzyzGe 21 zxzxGe 21 ijijsGe21 Gsesesezxzxyzyzxyxyzzyyxx21222 G
7、sesese21332211 Gsseesseessee21131332322121 G21131332322121 xxsGe21 yysGe21 zzsGe21 xyxyGe 21 yzyzGe 21 zxzxGe 21 yzyzGe 21 G21131332322121 131323123122 313123131222 四、用应变分量表示应力形式的广义胡克定律四、用应变分量表示应力形式的广义胡克定律LameLame常数常数 zyxxE 1 zxzxyzyzxyxyGGG zyxxxE 1 xE)1(1 E 21 21)1(1EExx )21)(1(1 EExx)21)(1(E 12 E
8、G xxG2 yyG2 zzG2 )32(G 五、主应力五、主应力 -主应变关系主应变关系六、平面状态下的应力六、平面状态下的应力-应变关系应变关系:0zxyzz13221E12331E32111ExyxyGyxxE21xyyE21 1 3 2 21,1 EE对对于于平平面面应应变变状状态态：xyxyxyxyyyxyxGGEGE 112111211 x平面应力状态的广义虎克定律平面应力状态的广义虎克定律xyxyGyxxE21xyyE21 1.塑性力学的研究内容：塑性力学的研究内容：v 研究材料塑性变形和作用力之间关系（本构关系）。研究材料塑性变形和作用力之间关系（本构关系）。v 研究在塑性变形
9、后物体内部应力分布规律。研究在塑性变形后物体内部应力分布规律。2.塑性力学的特点：塑性力学的特点：v 应力与应变的关系是非线性的。（与材料有关）应力与应变的关系是非线性的。（与材料有关）v 应力与应变之间没有一一对应的关系。（与加载历史应力与应变之间没有一一对应的关系。（与加载历史有关）有关）v 在变形体中有弹性变形区和塑性变形区。（分界线）在变形体中有弹性变形区和塑性变形区。（分界线）v 区分加载和卸载过程。（加载使用塑性应力应变关系，区分加载和卸载过程。（加载使用塑性应力应变关系，卸载使用广义胡克定律。）卸载使用广义胡克定律。）Prof,Wang JX3.塑性条件（屈服条件）：塑性条件（屈
10、服条件）：v 屈服条件是材料处于弹性状态或塑性状态的判断准则。屈服条件是材料处于弹性状态或塑性状态的判断准则。单向拉伸时的屈服条件：单向拉伸时的屈服条件：考虑应力的组合对材料是否进入塑性状态的影响。考虑应力的组合对材料是否进入塑性状态的影响。s s 弹性状态弹性状态进入塑性状态进入塑性状态 空间应力状态：空间应力状态：zxyzxyzyx ,应力空间：应力空间：以应力为坐标轴的空间。以应力为坐标轴的空间。应力空间中每一点都代表一个应力状态。应力空间中每一点都代表一个应力状态。ij v 应力路径：应力路径：应力空间中应力变化的曲线。应力空间中应力变化的曲线。ij ABv 根据不同的应力路径进行实根
11、据不同的应力路径进行实验，可确定从弹性阶段进入验，可确定从弹性阶段进入塑性阶段的分界限。塑性阶段的分界限。CDE分界面分界面分界面：区分弹性区和塑性区的分界面。分界面：区分弹性区和塑性区的分界面。屈服条件：描述分界面的数学表达式。（屈服函数）屈服条件：描述分界面的数学表达式。（屈服函数）0)(ijF 0),(zxyzxyzyxF 工程上使用的屈服条件：工程上使用的屈服条件：Tresca 屈服条件屈服条件,Mises屈服条件。屈服条件。二、二、Tresca（特雷斯卡）屈服条件（特雷斯卡）屈服条件（1864，法国），法国）在物体中，当最大剪应力达到某一极限值时，材料便进在物体中，当最大剪应力达到某
12、一极限值时，材料便进入塑性状态。入塑性状态。1.主应力次序已知时：主应力次序已知时：321 k 231max 单向拉伸时：单向拉伸时：0 ,321 ks 2max s 2sk 纯剪切应力状态时：纯剪切应力状态时：s 321 ,0 ,ks max2ss k231 1 2 30 0二、二、Tresca 屈服条件屈服条件2.主应力次序未知时：主应力次序未知时：v 三个式子中，只要一三个式子中，只要一个式子取等号，材料个式子取等号，材料便进入塑性状态。便进入塑性状态。几何表示：正六棱柱面几何表示：正六棱柱面k231 k221 k232 将将 1 ，2，3向向 平面投影平面投影 1 2 31201200
13、 01201200 00 0二、二、Tresca 屈服条件屈服条件 1 2 3o o322k3.平面应力状态：平面应力状态：03 k21 k221 k22 1 20 0k221 k221 k21 k21 k22 k22 三、三、Mises 屈服条件（屈服条件（1913，德国），德国）1 2 30 0322kxy382222kRyx 1132 2232 3332 oox30sin30sin321 321261 xooy30cos30cos32 3222 y 22132322218k 三、三、Mises 屈服条件屈服条件 1 2 30 0322kxy 22132322218k v Mises条件的
14、常用形式：条件的常用形式：222kJ 2221323222161k 222132322216k 单向拉伸时：单向拉伸时：0 ,321 s 纯剪切时：纯剪切时：s 321 ,0 ,32sk sk 23ss 三、三、Mises 屈服条件屈服条件v Mises条件的常用形式：条件的常用形式：222kJ 222132322216k 单向拉伸时：单向拉伸时：纯剪切时：纯剪切时：32sk sk 2 22132322212s 2222222661zxyzxyxzzyyxJ 222222226szxyzxyxzzyyx 三、三、Mises 屈服条件屈服条件v Mises条件的常用形式：条件的常用形式：2213
15、2322212s s 21323222121si 三、三、Mises 屈服条件屈服条件v 平面应力问题的平面应力问题的Mises条件：条件：22132322212s 2222221s 1 20 0k2sk 2 222222226szxyzxyxzzyyx 0,0,zxyzxyzyx 22223sxyyxyx s平面应变问题的平面应变问题的Mises条件？条件？kRMisessi38,:1 2 30 0322kxykTrescas 2:max kTs max:kRMsi2,3:Tss:2 Mss:3 15.5%13.4%pAFtpD 321,2 软软钢钢。,:NiCuLode15.5%pFF 2
16、 1siMises :1:31 sTresca 22132322212s 313122 2231312 23131 s1.101.0511.15Ms 31 10-1TpWMAF ,软软钢钢。,:,AlCuQuinneyTaylorFFMM sTresca 31:22142 02 22342 1422 ss 2224s s 224 15.5%FFMMsiMises :Tresca 22132322212s 22142 02 22342 1422 ss 2223s 1322 ss s 1010.60.4MTs P97表表310 z )(1yxzzE )(21yxz Mises 屈服条件：屈服条件：
17、222222226szxyzxyxzzyyx 0 zxyz 222222622sxyxyxyyx 222312sxyyx )(212yxz Tresca 屈服条件：屈服条件：22122xyyxyx 0 zxyz 222412sxyyx 22322xyyxyx s 31sxyyx 2222 0,2,321 ptprtpr p 2 1:Mises1:31 sTresca 22132322212s 12322 stprs 1:2 stprtpr 12:2 sstprtpr :Mises:Tresca1:2 stprtpr 12:2 sstprtpr 12322 stprs 0 32stpr 22st
18、pr MPacmtcmrs240,4,40 :MisesMPapl65.5:TrescaMPapl9.4 理想弹塑性力学模型理想弹塑性力学模型 s s sssE p e1.1.在塑性区，应变增量由弹性和在塑性区，应变增量由弹性和塑性两部分组成。塑性两部分组成。pijeijijddd pijeijijdedede Prof,Wang JXpeddd 02.2.体积变化是弹性的，在塑性区，体积不变（体积不可体积变化是弹性的，在塑性区，体积不变（体积不可压缩）。（体积应变为零）压缩）。（体积应变为零）pijeijijdedede ed pzpyexddd 001)21(3 KEe 01 dKde 3
19、.3.弹性应变偏量的增量服从广义胡克定律，塑性应变偏弹性应变偏量的增量服从广义胡克定律，塑性应变偏量的增量与应力偏量成比例。量的增量与应力偏量成比例。ijeijdsGde21 ijeijsGe21 ijpijsdde 比例因子，随载荷、变形程度、点的位置而变。比例因子，随载荷、变形程度、点的位置而变。4.4.应力分量满足应力分量满足 MisesMises 屈服条件。屈服条件。ijeijdsGde21 ijpijsdde ijijijsddsGde 21物理意义：物理意义：塑性应变偏量的增量与应力偏量的主轴重合塑性应变偏量的增量与应力偏量的主轴重合(主方向重合主方向重合)。在某一瞬时塑性应变偏量
20、的增量与应力偏量成比例在某一瞬时塑性应变偏量的增量与应力偏量成比例(相似相似)。siMises :ppijpijddde0 pijd ijsd )(011 ddp)(022 ddp)(033 ddp)(2121 dddpp)(3232 dddpp)(1313 dddppsiMises :)(2121 dddpp)(3232 dddpp)(1313 dddpp 21323222121 i 21323222121ppppppiddddddd 2132322213223ppppppiddddddd ddpii 23 21323222132pppppppiddddddd ddpii 23ipidd 2
21、3 spidd 23 si ijijijsddsGde 21ijspiijijsddsGde 2321 xspixxsddsGde 2321 yspiyysddsGde 2321 zspizzsddsGde 2321 xyspixyxyddGd 31 yzspiyzyzddGd 31 zxspizxzxddGd 31 ijijdesdW ijijijsddsGde 21ijijijijssddssGdW 21 222222226szxyzxyxzzyyx 222222226szxyzxyxzzyyxssssss 22222223szxyzxyxzzyyxzyxsssssssss 02 zyxs
22、ss)(2222xzzyyxzyxsssssssss 2222222323szxyzxyzyxsss 223sdWd 322sddW xsxxsdWdsGde22321 xysxyxydWdGd 231 ijijijijssddssGdW 21 2222222323szxyzxyzyxsss 2222222322szxyzxyzyxsss 232sijijss 0 ijijdssijsijijsdWdsGde22321 ijsijijsWsGe22321ijijesW 理想刚塑性力学模型理想刚塑性力学模型 s s p e 0 01.1.在塑性区，可忽略弹性变形，在塑性区，可忽略弹性变形，总应变
23、等于塑性应变。总应变等于塑性应变。pijijdd pijijdede piidd 0 pdd 2.2.体积不变（体积不可压缩）。（体积应变为零）体积不变（体积不可压缩）。（体积应变为零）pijijdede 3.3.应变偏量的增量与应力偏量成比例。应变偏量的增量与应力偏量成比例。00 dijsd ijijded ijpijijsddd 物理意义：物理意义：应变增量与应力偏量的主轴重合应变增量与应力偏量的主轴重合(主方向重合主方向重合)。在某一瞬时应变增量与应力偏量成比例在某一瞬时应变增量与应力偏量成比例(相似相似)。4.4.应力分量满足应力分量满足 MisesMises 屈服条件。屈服条件。si
24、 sispiddd 2323 ijsiijsdd 23)(23230 xsixsixdsddxysixydd 3)(23230 ysiysiydsdd)(23230 zsizsizdsddyzsiyzdd 3 zxsizxdd 3 sizxzxyzyzxyxyzzyyxxddddsdesdesde 23222 sidsdesdesde 23332211 ijd ijsijsiijsdd 23 321,sss133221,321,ijd ijsijsiijsdd 23 321,sss321,ij 0 321:ddd0,321 sssssss 3132321310,ijsiijsdd 23 321
25、321:sssddd sidsdsdsd 23332211 1:1:2:321 ddd s 321,0sssssss 323312311310,321321:sssddd 2:1:1 ss 321,0,sssss 3210,0,0321321:sssddd 1:0:1 z rzrzsssddd:rzddd :tpRz2 tpR 0 r tpR20 tpRtpR2:0:2 1:0:1 p 0:1:1:321 pppddd Cdpss 1321 .0,3,3 ppippdWddd,32 0,3,303210 sssss 0,321 pppdCdCd 21323222132pppppppiddddd
26、dd 222232CCC C332 pijijdsdW sC 332 3sz?z 930sz z z9,92srszsss 2223szz sz 962 64:2:1:1:pzpzpprdddd Gs3 Gs3 2223s Gs3 Gs3 s 3s GEss3?,Gs3 Gs3 Gs3 s 3s:0,3 GsGs3 :0,s0,rzrrzz 3,3230 sssrzGeszz3 Gesz6 Gesrr6 Gsz3 0 rzr ijijdesdW rzrzrrzzrrzzddddesdesdes dd ijsijijsdWdsGde22321 zszzsdWdsGd22321 2)(3sddGd
27、d zszzdWdGd 231 223sdGdd 2231sdGd 022031sdGdssGth 33 ssGch 3 Gs3 ss 439.0,648.0 Gs3 Gs3 s 3s dddW d 223sdGdd 2213sdGd ssGth 3 Gs3 ss 374.0,762.0 Gs3 Gs3 s 3s 3 33 EG2223s ss 408.0707.0 变形时，应变增量之比为常数。变形时，应变增量之比为常数。1.1.比例变形：比例变形：321321:CCCddd 11122DCC 21133DCC 0:0321 t021 DD321321:CCC 21323222132 dddd
28、dddi 应变成比例应变成比例 1222113213131212 ddCCCCCCCCi Prof,Wang JX1.1.比例变形：比例变形：321321:CCC 31222113213131212DdCCCCCCCCi iid 2.2.比例加载：比例加载：0ijijCss 0ijijC dCsdsijij 03.3.简单加载：简单加载：0ijijt 0 t 简单加载：单元体的应力分量之间的比值，在加载过程简单加载：单元体的应力分量之间的比值，在加载过程中保持不变，按同一参数单调增长。（应力主方向不变。）中保持不变，按同一参数单调增长。（应力主方向不变。）v 简单加载的条件：简单加载的条件：0
29、nntPP 0 t（1 1）外载荷按比例增加。）外载荷按比例增加。（2 2）体积不可压缩。）体积不可压缩。（3 3）应力与应变具有幂强化形式。）应力与应变具有幂强化形式。（4 4）小变形。）小变形。00 mA 0021 E 21 （可用平衡微分方程和几何方程）（可用平衡微分方程和几何方程）v 在简单加载或偏离简单加载不太大的条件下，在简单加载或偏离简单加载不太大的条件下，而且可以，而且可以，与应力状态无关。与应力状态无关。)()(ii miiA pe 1.1.体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。（塑性变体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。（塑性变形体积变化为零）。形体积变化为零）。e )2
30、1(3 ,300 EKK2.2.应变偏量与应力偏量成比例。应变偏量与应力偏量成比例。eijijGes2 弹性阶段：弹性阶段：塑性阶段：塑性阶段：ijijeGs 2GG与材料性质、塑性变形有关。与材料性质、塑性变形有关。Geeeeseseszxzxyzyzxyxyzzyyxx 2 Gesijij 2Gzxzxyzyzxyxyzzyyxx 2000000 Gxzxzzyzyyxyx 2 G 2131332322121 21323222121 i 213232221323 GiiG 3iiG 3 ijiiijes 32 ijiiijse 23 xiixse 23 yiiyse 23 ziizse 2
31、3 xyiixys 3 yziiyxs 3 zxiizxs 3 ijeijsGe21 ijiieijijpijsGeee 2123 v体积不可压缩：体积不可压缩：ijije ijiiijs 23 物理意义：物理意义：应变与应力的主轴重合应变与应力的主轴重合(主方向重合主方向重合)。在某一瞬时应变与应力偏量成比例在某一瞬时应变与应力偏量成比例(相似相似)。3.3.，且可，且可)()(ii E iiE mA miiA s si 4.4.卸载应力：卸载应力：0 ijsijdsijsijijijdsss ijiiijes 32ijijGdeds2 ijijiiijGdees232 ijijijsdds
32、Gde 21比例加载：比例加载：0ijijCss dCsdsijij 0002ijijijsCdGdCsde dCGCseijij20ipidd 23 PiiijijdGCse 23210iid iPiijijGse 2321 Gsij21 ipiG 3 ij ijs321,sss133221,321,ijiiijes 32 ijsij ij 0 321,sss321,ijiiijs 23 321,i 5.86 .5,2,10i321 321,ijiiijs 23 1123sii 0123 ii 37105.8623133.0 006.02 127.03 z 1:0:1:rz tpRz2 tp
33、R 0 r tpR20 ptpRs2 tpRsr2 0 zsijiiijs 23 tpRii223 tpRiir223 0 z p z 0 0 zr zr ijiiijs 23 zrsss ,0 22223zrisss si 3,0szrsss 00s30sr 30s p z 030sr 30sz 030 sr 30s 32sz tpR Rtps3 RtFtpRz 22 tpRRtFs2322 002tprz 00tpr 0 r 0002tpr002tprs 002tprsr 0 zsijiiijs 23 00223tpriir 0023tpri 23ir 0lnttr 25.0800 ttt
34、 0tdtdr rett 0 25.0800ii 4800 ii 4800230 iett mmt714.3 mmt286.0 Prof,Wang JX3-1 解：解：4mmt 400mmd 250 MPas ptpd502 ptpdz254 pr MPappTrescasr9.425051:MPapMisessrrzz66.52)()()(:2222 0 r MPappTrescasr525050:MPapMisessrrzz77.52)()()(:2222%9.1%2 3-2 解：解：MPaMPaMPaMPas50 100 200 205321 MPaMPaTrescas205250:31
35、 MPaMPaMPaMisess8405029500095000)()()(:2213232221 MPaMPaMPaMPas50 100 200 205123 处于塑性状态。处于塑性状态。处于塑性状态。处于塑性状态。MPaMPaTrescas205250:31 MPaMPaMPaMisess8405029500095000)()()(:2213232221 处于塑性状态。处于塑性状态。处于塑性状态。处于塑性状态。3-4 解：解：tpr2 tpr2 0 pr tpr30 tprs6 tpr6 tprr3 rprppsssddd:2:1:1:prppddd tprrri2)()()(21222
36、2:1:1:prppddd rdrddpp :tdtdpr tdtrdr21 ttrrtdtrdr002100ln21lnttrr ttrr00 0202trtr 0,321 sssssss 3132321310,ijsiijsdd 23 321321:sssddd 1:1:2:321 dddss 321,0,sssss 3210,0,0321321:sssddd 1:0:1 3-7 解：解：tpr tprz20 pr ssrztprtprTresca 2 2:222222243 2)()()(:ssrrzztprMises ssrtprtprTresca 2:（1）平面应力问题）平面应力问题
37、 222222226szxyzxyxzzyyx 0,0,zxyzxyzyx 22223sxyyxyx 3-8 解：解：Mises条件：条件：Tresca条件：条件：22122xyyxyx 22222xyyxyx 03 （1）平面应力问题）平面应力问题0,0,zxyzxyzyx 3-8 解：解：Tresca条件：条件：222412sxyyx s 21sxyyx 222222122xyyxyx 22222xyyxyx 03 s 31sxyyxyx 2222s 32sxyyxyx 2222（2）平面应变问题（平面应变问题（=0.5）0 z )(1yxzzE )(21yxz Mises 屈服条件：屈服
38、条件：222222226szxyzxyxzzyyx 0 zxyz 222222622sxyxyxyyx 222312sxyyx )(212yxz Tresca 屈服条件：屈服条件：22122xyyxyx 0 zxyz 222412sxyyx 22322xyyxyx s 31sxyyx 2222 002tprz 00tpr 0 r 0002tpr002tprs 002tprsr 0 zsijiiijs 23 00223tpriir 0023tpri 23ir 0lnttr 25.0800 ttt 0tdtdr rett 0 25.0800ii 4800 ii 4800230 iett mmt714.3 mmt286.0 THANK YOU
