1、第二节第二节定积分的性质定积分的性质 第1页，共65页。交换定积分的上下限，定积分改变符号，交换定积分的上下限，定积分改变符号，即即()d()dabbaf xxf xx 上下限相同的定积分等于零上下限相同的定积分等于零，即，即()d0aaf xx 第2页，共65页。定积分不依赖于积分变量的记号定积分不依赖于积分变量的记号，即，即()d()dbbaaf xxf tt 如果在区间如果在区间 上被积函数上被积函数 ，则，则,ba1)(xfdbaxba第3页，共65页。线性性质：线性性质：()()d()d()dbbbaaaf xg xxf xxg xx 可积函数代数和的定积分等于它们定积可积函数代数和
2、的定积分等于它们定积分的代数和，即分的代数和，即 被积函数的常数因子可以提到积分号外，被积函数的常数因子可以提到积分号外，即即()d()dbbaakf xxkf xx第4页，共65页。证证 ：()()dbaf xg xx0011lim()lim()nniiiiiifxgx01lim()()niiiifgx()d()dbbaaf xxg xx第5页，共65页。定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性，即，即()d()d()dbcbaacf xxf xxf xx证明：证明：先设先设 bca由于函数在由于函数在 上可积，上可积，,a b在在 时，时，RiemannRiemann和和
3、的极限总的极限总是存在。是存在。0niiixf1)(由于此极限与区间由于此极限与区间 的分割无关，的分割无关，,a b因此可以使因此可以使 为一个分点，将原有区间分成为一个分点，将原有区间分成两个子区间：两个子区间：c,ca,bc和和第6页，共65页。此时区间此时区间 上的上的RiemannRiemann和就等于子区和就等于子区间间 和和 上上 RiemannRiemann和的和，即和的和，即,ca,bc,a b,)()()(bciicaiibaiixfxfxf 在在 条件下，上式两端同时取极限条件下，上式两端同时取极限即得即得0()d()d()dbcbaacf xxf xxf xx第7页，共
4、65页。再设再设 ，cba()d()d()dcbcaabf xxf xxf xx由由 ，得，得()d()d()d()d()dbcccbaabacf xxf xxf xxf xxf xx证毕证毕第8页，共65页。保号性质保号性质：如果：如果 ，则，则0)(,xfbax)()d0bafbxxa证明：证明：由由()0,0(1,2,)iifxin得得 01()dlim()0bniiiaf xxfx第9页，共65页。保序性质保序性质：如果：如果)()(,xgxfbax则则()()d()dbbaaf xxg xxab证明：证明：令令 ，由，由得得0)()()(xgxfxF()d()()d0()bbaaF
5、xxf xg xxab第10页，共65页。绝对值性质绝对值性质：()()d()dbbaaf xxf xxab证明：证明：由由 ，根据，根据得得)()()(xfxfxf()d()d()d()bbbaaaf xxf xxf xxab又又()d0()baf xxab故故()d()d()bbaaf xxf xxab第11页，共65页。附：附：按绝对值不等式性质按绝对值不等式性质若若(0)xaa则则axa 因此，由因此，由axa xa第12页，共65页。定积分估值定理：定积分估值定理：设设 和和 分别是函数分别是函数 在闭区间在闭区间 上的最小值和最大值，则上的最小值和最大值，则mM)(xf,ba()(
6、)d()()bam baf xxM baba证明：证明：由由 Mxfmbax)(,根据定积分的保序性质有根据定积分的保序性质有 d()dd()bbbaaam xf xxM xab第13页，共65页。故故()()d()()bam baf xxM baab 定积分中值定理：定积分中值定理：如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 上上连续连续，在，在上上至少存在一点至少存在一点 ，使得，使得)(xf,ba,ba()d()()baf xxfbbaa第14页，共65页。证明：证明：设设 和和 分别是函数分别是函数 在闭区间在闭区间 上的最小值和最大值上的最小值和最大值.mM)(xf,ba将估值定理不等式各侧
7、同除以将估值定理不等式各侧同除以 得到得到)(ab 1()d()()bamf xxMabba 由于数值由于数值 介于函数介于函数 在在闭区间闭区间 上的最小值和最大值之间上的最小值和最大值之间 1()d()baf xxba)(xf,ba第15页，共65页。因此，因此，按连续函数的介值定理按连续函数的介值定理，在，在 上上至少存在一点至少存在一点 ，使得，使得,ba1()()d()baff xxabba积分中值定理的几何解释积分中值定理的几何解释ab()f()d()()baf xxfba 函数曲线下面积函数曲线下面积与矩形面积相等。与矩形面积相等。第16页，共65页。定积分第一中值定理：定积分第
8、一中值定理：如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 上连续，函上连续，函数数 在在 上可积且上可积且不变号不变号，则在，则在 上上至少存在一点至少存在一点 ，使得，使得)(xf,ba)(xg,ba,ba()()d()()()dbbaaf x g xxfg xxab第17页，共65页。证明：证明：,()xa bmf xM 0)(xg设设 ，若，若)()()()(xMgxgxfxmg则则根据定积分保序性质根据定积分保序性质()d()()d()dbbbaaam g xxf x g xxMg xx又由于又由于()d0bag xx 有有()()d()dbabaf x g xxmMg xx（保号性）（保号性）
9、第18页，共65页。在在 上至少存在一点上至少存在一点 ，使得，使得,ba()()d()()dbabaf x g xxfg xx证毕证毕按连续函数的介值定理按连续函数的介值定理第19页，共65页。【例题】【例题】根据定积分的性质，比较下列函数的根据定积分的性质，比较下列函数的大小。大小。(1)(1)与与21ln dx x221(ln)dxx解：解：由于在由于在 上上1,20ln1x因此在因此在 上上1,22ln(ln)xx故故22211ln d(ln)dx xxx第20页，共65页。f x()ln x()g x()ln x()()20.511.522.50.51f x()g x()x第21页，
10、共65页。(2)(2)与与43ln dx x423(ln)dxx解：解：由于在由于在 上上3,4ln1x 因此在因此在 上上3,42ln(ln)xx故故44233ln d(ln)dx xxx第22页，共65页。f x()ln x()g x()ln x()()211.522.533.540.511.52f x()g x()x第23页，共65页。解：解：(3)(3)与与10dx x10ln(1)dxx由于在由于在 上比较上比较 和和 的大小。的大小。0,1xln(1)x令令()ln(1)f xxx则则1()1(1)(1)xfxxx 当当 时，时，为单调增加为单调增加0,1x()0fx()f x且且
11、(0)0f故故()ln(1)0f xxx即即ln(1)xx所以所以1100dln(1)dx xxx第24页，共65页。f x()xg x()ln 1x()00.20.40.60.810.51f x()g x()x第25页，共65页。(4)(4)与与10e dxx210edxx解：解：由于当由于当 时时2xx(0,1)x故故2eexx因此在因此在 内内(0,1)21100e dedxxxx第26页，共65页。f x()exg x()ex200.20.40.60.810.51f x()g x()x第27页，共65页。【例题】【例题】估计下列定积分之值估计下列定积分之值 22205d2xxx解：解：
12、被积函数化为被积函数化为 23125)(222xxxxf在区间在区间 上上单调减少单调减少，故，故2,0(2)1.5mf(0)2.5Mf故故222053d52xxx（根据估值定理）（根据估值定理）按定积分的估值定理，按定积分的估值定理，第28页，共65页。313arctan dxx x解：解：被积函数被积函数 ，在区间，在区间 上上单调增单调增，所以，所以 xxxfarctan)(3,311()36 3mf(3)3Mf故故3132arctan d93xx x第29页，共65页。2 4sindxxx解：解：被积函数被积函数xxxfsin)()tan(cossincos)(22xxxxxxxxxf
13、在区间在区间 内内 ，单调减单调减,)4 2()0fx()f x2()2mf2 2()4Mf故故 2 41sin2d22xxx按定积分的估值定理，按定积分的估值定理，第30页，共65页。f x()xtan x()0.60.811.21.4105f x()x 函数在给定函数在给定区间小于零。区间小于零。)tan(cossincos)(22xxxxxxxxxf第31页，共65页。按前述定积分的定义可知，若函数按前述定积分的定义可知，若函数 在区间在区间 上连续，则函数在上连续，则函数在 上可积分，上可积分，即即)(xf,ba,babaxxfId)(其几何意义如图：其几何意义如图：第32页，共65页
14、。设函数设函数 ，为区间为区间 上任一点上任一点,fC a bx,ba因此函数因此函数 在部分区间在部分区间 上可积。上可积。)(xf,xa显然，此时在区间显然，此时在区间 上的定积分上的定积分 的积分值应为其的积分值应为其上限上限 的函数的函数。()dxaf xxx,xa()()dxaxf xx即即第33页，共65页。在这个表达式中，在这个表达式中，既是积分上限又是既是积分上限又是积分变量，为积分变量，为避免混淆避免混淆，把被积表达式的积，把被积表达式的积分变量改写为分变量改写为 ，因此有，因此有xt()()d()xaxf ttaxb称为积分上限的函数称为积分上限的函数显然显然()()d0a
15、aaf tt()()dbabf tt第34页，共65页。积分上限函数的几何解释：积分上限函数的几何解释：yxaOxb()yf x()()dxaxf tt 积分上积分上限函数为区限函数为区间间 内曲内曲线下的面积，线下的面积，显然，若上显然，若上限限 变化，变化，则其面积值则其面积值也随之变化。也随之变化。,a xx第35页，共65页。积分上限的函数的重要性质积分上限的函数的重要性质 ：定理：定理：如果函数如果函数 ，为闭区间为闭区间 上任一点，积分上限的函数上任一点，积分上限的函数 在闭区间在闭区间 上可导，其上可导，其导数为导数为,baCf x,ba()()dxaxf tt,bad()()d
16、()()dxaxf ttf xaxbx第36页，共65页。证明：证明：()()xxx ()d()dxxaaxf ttf tt()d()dxxxaaf ttf tt()dxxxf tt)(xyxaOxbxx()yf x设设 ，当积分上限，当积分上限 有一有一个增量个增量 时，将引起上限函数增量为时，将引起上限函数增量为),(,baxxxxx第37页，共65页。根据定积分的中值定理有根据定积分的中值定理有()d()xxxf ttfx()xxx按导数定义有按导数定义有0d()limdxxxx 0()limxfxx lim()()xff x注：注：由于由于 时，必有时，必有 ，且，且0 x x,baC
17、f 第38页，共65页。因此因此d()()d()dxaxf ttf xx 积分上限函数在闭区间积分上限函数在闭区间 端点端点 处的处的右导数右导数,baa0()()()limxaxaax 00()d()limlimaxaxxf xxfxxx (,)a ax 第39页，共65页。由于由于 时，必有时，必有 ，0 x a()lim()()aaff a故故其中其中,baCf 积分上限的函数在闭区间积分上限的函数在闭区间 端点端点 处处的左导数的左导数,bab0()()()limxbbxbx 00()d()limlimbbxxxf xxfxxx (,)bx b 第40页，共65页。由于由于 时，必有时
18、，必有 ，0 x b()lim()()bbff b故故其中其中,baCf 结论：结论：连续函数连续函数 取变上限积分后的函数取变上限积分后的函数 的导数就是的导数就是 本身。本身。)(xf)(xf()()dxaxf tt即即积分上限函数的导数是被积函数本身。积分上限函数的导数是被积函数本身。第41页，共65页。定理定理（原函数存在定理）（原函数存在定理）如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函上连续，则积分上限的函数数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个上的一个原函数原函数.即连续函数的原函数一定存在。即连续函数的原函数一定存在。上述定理也可以表述如下：上述定理也
19、可以表述如下：第42页，共65页。【例题】【例题】设变上限积分的函数为设变上限积分的函数为 ，则，则由自变量增量由自变量增量 引起的函数增量引起的函数增量()()dxaF xf ttx()_F xD.()()d.().()d.()dxaxxxxaxAf ttf ttBf xxCf ttDf tt 设设 ，则，则1()dlnxf ttxxx()_f x lnx第43页，共65页。【例题】【例题】求下列变限积分所确定函数的导数求下列变限积分所确定函数的导数 22dcos dcosdxayt txx2cos dxayt t 解：解：22d()bxtf xat222222dddd1()ddbxxbtt
20、fxxatxatax 解：解：第44页，共65页。2de ddxtxytx 220dee ddxxttx2e dxtxyt 解：解：2200d(e de d)dxttxttx220dee ddxxttx22()0dee dd()xxttx222ee2exxx第45页，共65页。，式中式中 为可导函数。为可导函数。()0()du xyf tt)(xu()0d()ddu xyf ttx 解：解：()0dd()dddu xuf ttuxd()duf u xxarctan0dtan ddxyt tx arctan0tan dxyt txuarctan解：解：令令 0ddtan ddduut tux21
21、tan1ux复合函数的导数复合函数的导数第46页，共65页。22tan(arctan)11xxxx2elndxatytt222lned(e)4edxxxyxx解：解：()()dxaF xxf tt()()d xaF xxf tt解：解：()d xaxf tt()d()xaf ttxf x函数乘积的导数函数乘积的导数第47页，共65页。2()()dxaF xtf tt2d()()ddxaF xtf ttx解：解：22()2x f xx322()x f x00e dcos d0yxyttt t解：解：方程两侧同时对方程两侧同时对 求导：求导：x00dddde dcos d0ddddyutyutt
22、tuxyyxuxecos()0yyxy yxy得得cosecosyyxyyxxy 故故第48页，共65页。1cosxt dsincotd1cos2yyttxxt00(1cos)dsin dttxuuyu u 解：解：sinyt参数方程的导数参数方程的导数第49页，共65页。【例题】【例题】求极限求极限 232000dlim(sin)dxxxttt ttt解：解：此极限为此极限为“”“”未定型，可以应用未定型，可以应用L LHospitalHospital法则求解法则求解 00232000dlim(sin)dxxxttt ttt3220()2lim(sin)xxxx xx302limsinxxx
23、x第50页，共65页。206lim1 cosxxx012lim12sinxxx2e d1 limxtaxatxa22e delimlim1xtxaxaxatxa2ea【例题】【例题】求下列函数的极限求下列函数的极限0()0型型解：解：第51页，共65页。222e d2 limedxtaxxtatt222222e delimlimeedxtxaxxxxtatt2e1limxx0()型型解：解：21cos20ed3 limtxxtx21cos20edlimtxxtx2cos0sinelim2xxxx12e2cos00sinelimlim2xxxxx0()0型型解：解：第52页，共65页。三、三、N
24、ewton-LeibnizNewton-Leibniz公式公式 此外，还有此外，还有()d()baf xxb 按原函数和积分上限函数的概念，按原函数和积分上限函数的概念，是被积函数是被积函数 在闭区间在闭区间 上的一个原函数。上的一个原函数。)(xf,ba()()dxaxf tt第53页，共65页。定理：定理：如果函数如果函数 是连续函数是连续函数 在区间在区间 上上的任意一个原函数，那么的任意一个原函数，那么)(xF)(xf,ba()d()()baf xxF bF a-Newton-Leibniz-Newton-Leibniz公式公式 第54页，共65页。证明：证明：由于由于()()d()x
25、axf ttf x()()F xf x,bax且且 即即 和和 都是连续函数都是连续函数 在区间在区间 上的原函数上的原函数.二者相差一个常数二者相差一个常数 ()x,ba()F x()f xCxxF)()(若令若令 ，则，则xa()()()daaF aaCf xxCC 若令若令 ，则，则xb()()()dbaF bbCf xxC 第55页，共65页。两式相减得两式相减得Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式公式()d()()()bbaaf xxF bF aF x讨论：讨论：Newton-Leibniz Newton-Leibniz公式的公式的意义意义：连续函数在区间：连
26、续函数在区间上的定积分是此函数上的定积分是此函数任意一个任意一个原函数在该区间上的原函数在该区间上的增量。增量。第56页，共65页。-反映了定积分与微分的关系。反映了定积分与微分的关系。()dd()()()()bbbaaaF xxF xF xF bF a积分是微分的逆运算。积分是微分的逆运算。由定积分的中值定理由定积分的中值定理1()()()d()()baF bF af xxfba1(,)a b第57页，共65页。表明表明定积分的定积分的中值定理中值定理和微分的中值定理和微分的中值定理在在Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式中实现了圆满的统一。公式中实现了圆满的统一。注
27、：注：这里所有的这里所有的 是一一对应的是一一对应的。21,22()()()()()()F bF aFbafba2(,)a b由微分中值定理由微分中值定理第58页，共65页。按定积分中值定理：按定积分中值定理：若若 在在 上连续，则在上连续，则在 内至少存内至少存在一点在一点 ，使，使()f x,a b,a b1成立。成立。11()d()()()baf xxfbaab按微分中值定理：按微分中值定理：若若 在在 上连续，在上连续，在 内可导，则内可导，则在在 至少存在一点至少存在一点 ，使，使()F x,a b(,)a b2(,)a b22()()()()()F bF aFbaab成立。成立。第
28、59页，共65页。按按Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式公式 ()d()()baf xxF bF a所以所以12()()()()fbaFba 表明：表明：积分中值定理和微分中值定理在积分中值定理和微分中值定理在Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式公式 中得到中得到统一统一，且，且 ，是一致的。是一致的。12第60页，共65页。【例题】【例题】用用Newton-Leibniz公式公式计算定积分计算定积分 121dxx解：解：由于由于23)3(xx33x2x，是是 的一个原函数的一个原函数因此因此1321112d33xxxxy被积函数是被积函数是2
29、yx第61页，共65页。120d1xxxy211yx解：解：211)(arctanxx由于由于即即 是是 的一个的一个原函数。原函数。arctan x211x11020darctan 14xxx因此因此被积函数是被积函数是211yx第62页，共65页。51dxx解：解：被积函数是被积函数是1yxxy1yxxx1)(ln由于由于5511dlnln5xxx因此因此第63页，共65页。【例题】【例题】计算正弦曲线计算正弦曲线 在在 上与上与 轴轴所围成的平面图形的面积。所围成的平面图形的面积。xysin,0 x解：解：xysin0 xy按定积分概念，所按定积分概念，所求图形面积为求图形面积为0dsinxxS由于由于 是是 的一个原函数，所以的一个原函数，所以xcosxsin0dsinxxS0cosx2)1()1(第64页，共65页。第65页，共65页。
