1、1 11 第第5章章 利率风险管理利率风险管理2 223 337272 如果无风险收益为年度6%，Standard&Poor500指数平均每年收益为10%，年度标准差为17%，则需要有多少年长才能达到以97.7%的置信度水平下有比6%无风险收益更高的平均收益4 44 第一节第一节 久久 期期5 55nnntttyMyCP)1()1(10债券价格与利率 负相关性 凸性6 66债券价格的变动特征 所有未附权债券的价格与要求收益率呈反向变动 收益率微小变化时，给定债券价格变化幅度大致相同 收益率较大变动时，特定债券价格的上升幅度上升幅度将大于下降下降幅度幅度（凸性的影响）债券多头债券多头：利率下降时
2、资本利得利率上升时资本损失债券空头债券空头：利率下降时资本损失利率上升时资本利得7 77债券价格波动的衡量方法 出于交易和保值的目的，需要对债券价格的波动性进行度量。更确切地说，是债券价格对市场贴现率的敏感性进行衡量 主要的衡量方法基点价值（Price Value of a Basis Point）价格变动的收益率值（Yield Value of a Price Change）久期（Duration）Macaulay 久期修正久期有效久期关键利率久期组合久期8 88基点价值基点价值（Price Value of a Basis Point）基点价值：到期收益率变动一个基点（0.01%=1BP）
3、所对应的债券价格的变化额 EX：期限5年，票面利率9%（半年支付），价格为100，求该债券的基点价值 目前的到期收益率为9%。到期收益率增加1个基点，为9.01%，债券新的价格 基点价值=$100-$99.9604=$0.03969604.9904505.15.104)505.41(5.410101ttP9 99价格变动的收益率值价格变动的收益率值（Yield Value of a Price Change）价格变动的收益率价值：债券价格发生一定金额变化（美国中长期国债为一个百分比的1/32；公司债和市政债券一个百分比的1/8）所对应的到期收益率的变化幅度 EX：期限5年，票面利率9%（半年支
4、付），到期收益率为9%，对应价格为$100。价格变动的收益率值=9%-8.992%=0.008%0.8BP%992.8)2/1(5.104)2/1(5.432110010101yyytt101010评价 基点价值：收益率变化价格变化 价格变动的收益率值：价格变化收益率变化均只有较小的变化收益率曲线是水平的收益率曲线平行移动111111 久期久期债券的利率风险：债券价值变动的百分比对到期收益率变动的敏感性 久期：久期：债券价值变动的百分比对到期收益率变动的一阶债券价值变动的百分比对到期收益率变动的一阶敏感性敏感性2221112!nnndPdPd Pd PdydydyPP dyP dynP dyd
5、 Pd Pd yPDd yP 11121212久期种类 金额久期 Macaulay 久期 修正久期 有效久期 关键利率久期 组合久期131313金额久期tnttttntttttnttdyyCtdPyCdCP1111)1()1(金额久期：市场利率变化1（或100BP）时，债券价格的变化问题1：在计算久期时，应选择那个时间节点的利率？问题2：当利率曲线是非水平时或利率是随机时，是否存在久期？141414特例特例 如果到期收益曲线是水平的，并且平行移动11111(1)(1)11(1)1()1.()(1)ntttntttntttntttttCPytCd Pd yyCtd yyytVCd yyCwhVC
6、y151515含义：债券现金流现值的时间加权平均11()(1)nntttttCttV Cy金额161616Macaulay(比率)久期11111(1)1(1)1(1)(1)P11ntttnnttttttntttCPyt CCdPtdyyyyCtyDPdPDdyPy 金额持续期定义：171717 零息债券的Macaulay久期等于期限本身()()P()tTTtVCTVCDTPVC金 额181818修正MacaulayMacaulay久期 修正久期是在久期的基础上考虑了短期利率短期利率？的影响()1()1/2.1MMMDDannualyDDsemiannualydPDDdydyPy 191919经
7、济含义 麦考利久期：现金流时间的加权平均 修正久期：短期/即期收益率变动1%时债券价格的变动百分比./MMdPdPDdyDdyPP 202020组合久期组合久期 组合的久期是久期的组合：加权平均（具有可加性）如果债券间的到期收益率不同，这意味着组合中每个债券的久期计算所依据的到期收益率是不同的 EX：由两个债券构成构成的组合，P(1)=$8，000，DM(1)=4.3；P(2)=$12，000，DM(2)=3.6 Dportfolio=(8/20)(4.3)+(12/20)(3.6)=3.88iiportfolioDwD212121久期的几何含义久期的几何含义 债券价格收益率曲线各点的切线斜率
8、 切线越陡，久期越大 到期收益率越低，切线越陡，久期越大；反之收益率越高，切线越缓，久期越小；适合于所有非附权债券222222麦考利久期与修正久期的一般结论 只有零息债券的麦考利久期等于到期时间 付息债券的麦考利久期等于或小于到期时间。到期时间相同，息票率高者，久期小（有例外）息票率越高，早期支付的现金流权重越大息票率为零的零息票债券久期最大，等于到期期限 息票率相同，到期时间长者，久期大尽管久期随着到期期限的增长而增加，但是是以递减的速度在增加。其他条件相同，到期收益率低时，久期大11(1)(1)ntttntttCtyDCy232323讨论：久期的局限性讨论：久期的局限性 当收益率仅发生了较
9、大变化改进：凸性改进：凸性 当债券内嵌期权时，债券的现金流变得不确定了改进：有效久期改进：有效久期222112!dPdPd PdydyPP dyP dy/2effectivePPPPDPyyyP 242424讨论：久期的局限性讨论：久期的局限性 仅考虑了影响债券价格的单个风险源（YTM）的影响改进：久期的一般方法改进：久期的一般方法 收益率曲线以平行的方式移动实际上通常短期利率的波动率高于长期利率的波动率，而且两者相关性并不好85%的国债收益曲线水平变动，5%的国债收益曲线变陡变动，3-4%的国债收益曲线蝴蝶装变化USA改进：利率随机情形下的久期改进：利率随机情形下的久期 本章稍后介绍本章稍后
10、介绍 12(,.,).?ndP y yyP252525有效久期有效久期 有些证券的现金流量是不确定(例如MBS)，而久期的定义是债券价格相对于市场利率的敏感性。由于现金流量是不确定的，因此无法使用标准的久期公式?为了估计该类证券价格受利率波动的影响程度，可使用有效久期。相当于市场利率的一个微小变化，引起债券价格的多大变化，将其除以价格P相当于比率久期/2.effectivePPPPDPPyyyw h PyPyy 表示市场利率下降时债券的价格；表示市场利率上升时债券的价格；表示到期收益率波动的基点262626 EX：票面利率为9%，期限 20Y 的非含权债券，价格 134.67，到期收益率6%现
11、让到期收益率上升或下降 20 个基点，债券价格将分别为 137.59 和131.84，因此66.1067.134002.0284.13159.1372PyPPDeffective272727关于久期的一般方法关于久期的一般方法 久期只考虑一个风险源（YTM）对债券价格的影响 当有多个风险源影响债券的价格时，需要引入久期的一般一般方法方法 关于久期的一般方法：指考虑到多种因素发生变化后，债券价格变化的总量，用线性数学模型表示为:nnffPffPffPPPdP22111282828关键利率久期关键利率久期 利率久期利率久期（rate duration)：即期利率的一定幅度变化导致债券价格变化的金额
12、对应即期利率曲线上的每一点都存在一个即期利率久期如果全部即期利率都变化相同的基点，那么债券价格变化的总金额就是久期 关键利率久期关键利率久期：关键即期利率的一定幅度的变化所产生的债券价格的变化 11 个关键利率：3 个月，1，2，3，5，7，10，15，20，25，30 年。其他利率久期可以用线性插值估计所使用的价格是在假设其他利率不变的情况下计算得到的292929案例：利用久期估计债券价格变化 E EX X：20 年，5%票面利率（半年支付），到期收益率9%，P=63.1968，D=10.87年，DM=10.87/(1.045)=10.4010.40 如果到期收益率从9%9%增加到增加到9.
13、10%9.10%，预测价格会这样变化 -10.40(0.0010)=-1.04%，实际价格变化-1.03%如果到期收益率从9%9%增加到增加到1111%，预测价格会这样变化 -10.40(0.020)=-20.80%，实际价格变化-17.94%在市场利率变化较小时，久期可以相对准确地估计债券价格的变化；当市场利率变化较大时，情形如何?303030第二节第二节 凸凸 性性313131凸性的影响经验观察 到期收益率变化较大时，仅考虑久期将导致对债券价格的低估低估（凸函数）利率下降时债券价格增加值总是大于大于利率上升时的债券价格减少值 同样久期、不同凸度的债券，在收益率发生较大变化时，实际的价格变化
14、不同323232凸性度量222222212111212dPd PdydydydydPd Pdydydy PdyPdy运用泰勒展开式：dP=误差项dP误差项=PP凸性引起的价格变化比率：凸性值333333各类凸性的计算 金额凸性 比例凸性 修正凸性 有效凸性343434金额凸性111222211211(1)(1)1tttt(1)(1)11tt1:(1)()ntttntttnnttttttnttnttCPyCPtyyCCPyyyyyDeft tV C（+1）（+1）（+1）V(C)353535债券价格的二阶逼近2222222211221212111tt1(1)21111()(1)2(1)nnttt
15、ttPPPyyyyPPPyyyytCyyyyyPyyyy 金额（+1）V(C)363636122(1)11(1)(1)(1)ntttmRCt tyyyP 比率凸性 修正凸性 债券价格变化1(1)(1)ntttRCt tyPP 2221()2111()(1)2(1)mmPDyyPPyyyy 金额373737有效凸性有效凸性02022()effectivePPPPy 含权证券包括本金在内的现金流量也可能是路径依赖路径依赖的，很难用数学上的二阶倒数来计算2()effectiveeffectivePDyyP 22111()(1)2(1)Pyyyy 金额383838有效凸性的解释222200010020
16、00000120200201 d,2dD,D.2D22222effectivePdyPdyPPyyPPPPPPPPPPPPPDyPPPPP由凸性引起的债券价格波动为表示利率变化引起久期的变化在利率分别为和 时，在 点，凸性 393939案例如何计算有效凸性 EX：yield=6%，V0=134.67；yield=6.2%，V+=131.84；yield=5.8%，V-=137.59 06.10002.067.134284.13159.137)(20yVVVDeffective EX:96.81)002.0(67.134267.134284.13159.137)(222200yVVVVeffec
17、tive2()18.04%effectiveeffectivePDyyP 404040凸性引入与债券价格估计的准确性 当市场利率变化很小时，久期可以相对准确地估计出债券价格的变化有一个20年期的附息债券，面值为9363.03，年票面利息为1009.09，到期收益率曲线与前面例子相同。该债券的金额久期为900，现价为10000.03假定到期收益率曲线水平上升1个基点，债券价格将下降到9991.03，下降幅度为9元；相似地，如果到期收益率曲线水平下降1个基点，债券价格上升到10009.03，上升幅度9元根据久期，计算债券价格波动。由于金额久期为900。那么，到期收益率变化一个基点，债券价格变化应该
18、为900*0.01=9414141凸性引入与债券价格估计的准确性 当市场利率变化幅度很大时，用久期估计债券价格会产生一定的误差；但使用久期和凸性后，债券的价格估计精但使用久期和凸性后，债券的价格估计精度会有所提高度会有所提高 EX：20年期付息债券，面值100，票面利率10，1年付息1次。经计算债券价格为98.12，久期11.59，凸性1.97如果到期收益率曲线平行上升上升 200BP200BP，则债券的实际价格为79.38，下降18.7418.74；如果到期收益率曲线平行下降下降200BP200BP，则债券的实际价格为123.91，上升25.7925.79实际价格变化通过久期久期估计的债券价
19、格波动债券价格波动为=11.59*2=23.1823.18424242引入凸性后的情形 当到期收益率曲线下降2个百分点时，利用凸性计算的价格变化为25.78825.788，与实际变化25.7925.79差异较小 当到期收益率曲线上升2个百分点时，利用凸性计算的价格变化为18.5718.57，与实际变化18.7418.74差异较小 434343有关结论 给定到期收益率和到期日，票面利率越低，凸性越大零息票债券凸性最大 给定收益率和息票率，期限越长，凸性越大2122111(1)1(1)(1)(1)1(1)(1)(1)(1)ntttmRntttmntttCt tyyyPCt tyyCy444444讨
20、论讨论 传统的久期和凸性在测度利率风险时有何局限性？隐含假设债券到期收益率微小微小变化时，债券价格的变化与久期呈线性线性关系。久期的这种静态静态比较仅适用于债券收益率曲线的平行平行移动 拓展结合利率期限结构来进行分析研究，以得出相应的久期模型当利率是随机情形时，是否存在久期和凸性？如何计算？如何把债券收益率曲线的非平行移动引入到静态比较分析中454545利率随机情形利率随机情形 Merton（1973）为例464646债券价格322),()(6)(21)(exp),(tTtTtTreETtrPtTtIQtt474747利率随机情形下的久期MMMdPdPdyDdyDPPDTt484848推导22
21、3exp()().()()exp()()1.()26()tttMtdPA TtB Tt rB TtdrdPdrDB TtTtPPA TtB Tt rwhere A TtTtTtB TtTt exp()()tPA TtB Tt r494949利率随机情形下的凸性1222222(1)11(1)(1)(1)()()ntttmRmmCt tyyyPd PdyPBT tT t 505050收益率曲线水平情形下的债券价格“变动”2221()2111()(1)2(1)mmRPDyyPPyyyy 金额515151利率随机情形的债券价格“波动”2221,21,tPPPPPdP r t TdtdWtrrrPr t
22、 TP r525252债券收益率曲线的非平行移动情形债券收益率曲线的非平行移动情形535353包含债券收益率曲线非平行移动的久期模型545454第三节第三节 久期与凸性久期与凸性在风险管理中的应用在风险管理中的应用555555平衡点 平衡点：投资者面临的价格风险价格风险和和再投资收益风险再投资收益风险相等；不管利率发生怎样的变化，投资者获得的收益基本稳定 EX：你在0时点上购买票面利率7%的债券，价值$1000，该债券期限10年，1年付息1次，你的投资期为7.5年。现象现象：不管在0时点市场利率发生怎样的变化，时点时点7.57.5的财富的财富大体相等 为什么？为什么？565656 如果在零时点
23、市场利率为7%:如果在债券购买(零时点)后市场利率立即降到 4%16614.10346.62607.1107007.17007.170)07.1(70)07.1(70)07.1(705.25.15.05.05.55.65.16687.11048.56304.1107004.17004.170)04.1(70)04.1(70)04.1(705.25.15.05.05.55.6 如果在债券购买(零时点)后市场利率立即上升到10%1.16676.9705.6961.110701.1701.170)1.1(70)1.1(70)1.1(705.25.15.05.05.55.6575757该债券的Maca
24、uly久期为7.51年价格风险被再投资风险抵销585858 免疫 免疫：使资产的价格风险与负债的价格风险相同，或使得组合自身的权益价值权益价值不受市场利率的影响 免疫目标：来自投资组合的收益满足负债的支付，而在投资后不必再增加额外资本使资产和负债的现金流量相匹配现金流量相匹配 流动性/利率风险利率风险问：商业银行的免疫管理是什么；常见的管理工具？595959免疫策略 计算负债的久期 寻找投资组合，使得资产资产组合的久期等于负债的久期 选择投资组合中证券投资的结构结构，使资产组合现值等于负债的现值 当市场利率发生变化时，或以负债偿还、或调整投资，或以负债偿还、或调整投资组合组合 投资者可从修正久
25、期、Macaulay久期等视角出发寻找免疫策略，但无论使用那种久期，要使资产和负债的定义一致 本质：期限（结构）匹配和现金流匹配期限（结构）匹配和现金流匹配606060债券组合免疫一组负债目标（来自姚（2007）：找到最高到期收益率的债券资产组合来免疫一组已知负债能免疫资产组合能获得最高的最高的收益率?线性规划的表现形式?616161免疫策略 根据当期市场中债券的到期收益率计算负债负债的现值和久期，获得免疫曲线（到期收益率与修正久期）分析哪些债券哪些债券可以用来构建资产组合组合，对于每一种债券，都分别计算其到期收益率和久期 决定每种债券投资的数量，使得：修正久期相等 资产组合的现值等于负债的现
26、值626262举例举例 假定投资者的净权益为50000 目前，投资者的资产资产包括305个单位的3 3年期年期零息债券（面值为11522.06）投资者的负债负债包括300个单位的2020年期附息债券年期附息债券，该息票债券的面值10000元，票面利率为6.162%投资者希望持有希望持有2020年的附息债券年的附息债券 资产持有资产持有，但愿意调整3年期零息债券的头寸636363投资者调整前的资产负债表 资产 负债 305个3 3年期的零息债券年期的零息债券 300300个单位的个单位的2020年期附息年期附息债债券，价值305万 价值价值300300万万 权益50000意愿：投资者希希望持有望
27、持有2020年的附息债券年的附息债券 资产持资产持有有646464债券价格债券价格32020111522.06 0.8679100003616.1910000 0.28621000020cttPPd 年零息债 可持年负息债 可持3202013100003001001()1175100CtttV C单个债券的金额久期单个债券的金额久期656565投资者调整前的资产负债表 资产 负债 N3?个3 3年期的零息债券年期的零息债券 300300个单位的个单位的2020年期附息年期附息债债券，价值305万 价值价值300300万万 N20?个单位的20年期 附息债券，价值153.5万 权益50000意愿
28、：投资者希希望持有望持有2020年的附息债券年的附息债券 资产持资产持有有666666组合调整使得资产的现值负债的现值50000资产的金额久期负债的金额久期3203203201000010000300 10000 500003001175300 1175151.5153.5cccNNNNNN676767投资者调整后的资产负债表 资产 负债 151.5个3年期的零息债券 300个单位的20年期附息债券，价值151.5万 价值300万 153.5个单位的20年期附息 债券，价值153.5万 权益5万686868用久期和凸性来避险 EX：做市商的资产组合的避险做市商的资产组合的避险一公司债券做市商在
29、某交易日末尾拥有5年期公司债券面值$100W，票面利率6.9%（半年支付），价格为平价现实困惑？现实困惑？该债券流动性很差，因此出售该债券会遭受很大的损失而隔夜持有该债券也有很大风险，因为预期预期市场利率上升，该债券价格会下降市场利率上升，该债券价格会下降696969策略卖空流动性很强的国债卖空流动性很强的国债707070 市场中有下面债券:10年期，票面利率 8%的国债，价格P=$1，109.0（面值$1，000）3 年期，票面利率6.3%的国债，价格P=$1，008.1（面值$1，000）为了避险，应该卖空多少10年期国债？如果卖空3年期国债，卖空多少？如果所有债券到期收益率一夜之间上升
30、1%，该做市商在了解自己的卖空头寸之后，自己的交易结果如何？如果他要卖空这两种国债，那么10年期和3年期国债各卖空多少？717171 问题 为了避险，应该卖空多少为了避险，应该卖空多少10年期国债？年期国债？如果卖空如果卖空3年期国债，卖空多少？年期国债，卖空多少？找到被避险债券的修正久期 找到卖空国债的修正久期 找到避险系数（hedge ratios）727272 对于5年期公司债券而言，票面利率6.9%，平价交易，因此y=6.9%，Dm=4.1688Dm=4.1688 对于10年期国债而言，票面利率 8%，价格1109.0，y=6.5%，Dm=7.005 对于3年期国债而言，票面利率 6.
31、3%，价格1008.1，y=6.00%，Dm=2.700 10年期国债卖空数量 a，a7.005=$100W4.1688，a=$593，861.5元元 3年期国债卖空数量 b，b2.7=$100W4.1688，b=$1，544，000元元737373 问题 如果全部债券的到期收益率一夜之间都上升如果全部债券的到期收益率一夜之间都上升了了1%1%，做市商了解卖空头寸后的交易结果，做市商了解卖空头寸后的交易结果 5年期公司债券的到期收益率上升为 7.9%，债券价格下降到 959.344，多头损失多头损失=$1mm(1-0.959344)=40，656元 10年期国债的到期收益率上升到7.5%，国债
32、的价格下降到 1034.74，空头盈利空头盈利(1-1034.74/1109）593，861.5=3939，765.7765.7元 3年期债券的到期收益率上升到 7%，国债的价格下降到 981.35，空头盈利空头盈利(1-981.35/1008.1)1，544，000=4040，891891元747474 问题问题如果他要卖空这两种国债，那么如果他要卖空这两种国债，那么1010年期和年期和3 3年期国债年期国债各卖空多少？各卖空多少？为了避险，被避险公司债券的价值应该等于避险债券价值，而且资产和负债的久期应该相等 x(7.005)+(1-x)(2.7)=4.1688 x=34.12%为10年期
33、国债卖空的比重，3年期国债的卖空比重为65.78%757575组合避险为了避免避免组合中某种流动性较差流动性较差的资产的价格风险，而出售出售另外一种流动性较好流动性较好的债券，间接回避组合中流动性较差的那个资产的资产的价格价格风风险险767676凸性的引入与利率风险回避t222S.D.E:d r,S.D.E:d P,P,1tr2.,;.t,tttPtPttPtPtrtd trtd Wrtrtd trtd WrtPPPrw hrtPPrtP假 设 利 率 随 机 过 程 服 从 如 下 的假 定 债 券 价 格 是 利 率 和 时 间 的 可 微 函 数，则债 券 价 格 可 用 如 下 的表
34、示777777风险中性测度下222222221P0tr2.t1r111122r111P02r1PPPrrrrw hPPrPrrrr 金 额金 额；（1）（1）787878 资产组合与负债久期相等，凸性也相等，那么资产与负债的时间效应时间效应也应该相等 当资产和负债的久期相等，若资产的凸性大于负债凸性，则负债的时间效应大于资产的时间效应，且有明确的配比关系797979 当投资者对利率的未来趋势有自己的判断之后，他希望让自己的资产组合存在一定的风险，那么凸性可以成为久期的一个重要补充和辅助 当投资者只能判断未来利率会发生变化，但不知是上升还是下降时，凸性也是有用的如果投资者预期利率波动很大，他可以选择高凸性的组合，因为凸性利益将超过时间价值损失凸性利益将超过时间价值损失当投资者认为市场利率稳定，或者变化不会很大时，他选择一个低凸性的组合，让其资产与负债的综合凸性为负，那么他可以获得较大的时间价值
