1、经济预测与决策方法第三章回归预测方法第三章回归预测方法因果预测因果预测什么是回归分析？什么是回归分析？确定性关系函数关系确定性关系函数关系非确定性关系相关关系非确定性关系相关关系经济预测与决策方法1 1一元线性回归一元线性回归一、预测模型结构一、预测模型结构二、预测模型的参数确定二、预测模型的参数确定三、预测模型的检验三、预测模型的检验四、用预测模型进行预测四、用预测模型进行预测五、预测结果的精确度五、预测结果的精确度经济预测与决策方法 结结 构构散点目测确定散点目测确定已知：有已知：有n n组样本，组样本，（x xi i y yi i/i=1,2/i=1,2）,散点图呈散点图呈现直线关系，则
2、现直线关系，则回回归归系系数数，模模型型参参数数、计计算算值值实实际际值值，或或baybxabxayiiiiiiiyy经济预测与决策方法 参参 数数 xbynxbnyaSSxxyyxxxxnyxyxnbyxxbxayxbnaiixxxyiiiiiiiiiiiiiii2222)()()(00aQaQmin)bx-a(y min)y(yQ2in1ii2in1ii经济预测与决策方法 检检 验验相关性分析相关性分析相关系数：相关系数：)R(S )bxa(y )y-(yQQRSSSRSSSyyxxyyxxRyyiiiiyyxxxyyyxxxyiiiii2222221)()()(之间的关系：与经济预测与决
3、策方法 检检 验验之间的线性关系不密切与说明很大时，反之当之间线性关系密切与说明当分析yxSQRyxyyQRRRRSQyyiiyy0 0时，ii)111i)1(2经济预测与决策方法当当R0时，时，Sxy=0,b=0 x与与y无关无关当当0R1时，时，b0 x与与y之间有一定线性关系，且呈正相关，之间有一定线性关系，且呈正相关，越大，趋势越明显。越大，趋势越明显。反之，当反之，当-1R0时，时，b0 x与与y之间有一定线性关系，且呈负相关，之间有一定线性关系，且呈负相关，越小，趋势越明显。越小，趋势越明显。当当|R|0时，时，x与与y之间完全线性相关，之间完全线性相关，x与与y之间存在着确定的线
4、性弓数关系。之间存在着确定的线性弓数关系。iiyy 结结 论论经济预测与决策方法检验步骤检验步骤（1）计算相关）计算相关R的值；的值；（2）给定显著性水平）给定显著性水平（置信度为（置信度为1-），查出相应的），查出相应的临界值临界值R，n-2（3）比较）比较|R|与与R，n-2的大小的大小若若|R|R，n-2，则表明，则表明x与与y之间存在线性相关之间存在线性相关关系；关系；若若|R|R，n-2，则表明，则表明x与与y之间不存在线性相之间不存在线性相关关系。关关系。经济预测与决策方法置信区间置信区间%7.993S%4.952S%3.68Sy 2)(Sn2)()()(11(000022,2/2
5、2202,2/0范围内的概率为落在范围内的概率为落在范围内的概率为落在：则由正态分布性质可知接近于正态分布，若令较大时，简化算法：yyynyytnyyxxxxntyiiniiin经济预测与决策方法实例实例一元线性回归模型计算表单位亿元一元线性回归模型计算表单位亿元年份年份国内生产总值国内生产总值y固定资产投资完成额固定资产投资完成额xxyx2y2197819520390040038025197921020420040044100198024426634467659536198126435924012256969619822945215288270486436198331456175843136
6、9859619843608129160656112960019854321315659217161186624198648114971669222012313611987567163924212656932148919886552321519605382442902519897042024220840804495616合计合计472011676005661756612190104试配合适当的回归模型并进行显著性检验；若试配合适当的回归模型并进行显著性检验；若1990年该省回定资产投资完成额年该省回定资产投资完成额为为249亿元，当显著性水平亿元，当显著性水平0.05时，试估计时，试估计1990
7、年国内生产总值的预测区间。年国内生产总值的预测区间。经济预测与决策方法1、绘制散点图、绘制散点图2、建立一元线性回归模型、建立一元线性回归模型bxay3、计算回归系数、计算回归系数2767.274604316985521167175661124720116760056612)(222 xxnyxxynb9243.1711211672767.2124720nxbnya所求回归预测模型为：所求回归预测模型为：xy2767.29243.171解：解：经济预测与决策方法4.检验线性关系的显著性检验线性关系的显著性222222472021901041211671756611247201167600566
8、12)()y(ynxxnyxxyxR9829.0487.1728090169855240028487460431698552当显著性水平当显著性水平0.05，自由度，自由度n-m12-210时，查相关系时，查相关系数临界值表，得数临界值表，得R0.05（10）0.576，因，因R0.98290.576 R0.05（10）0.576故在故在0.05显著性水平上，检验通过，说明两变量之间相关关显著性水平上，检验通过，说明两变量之间相关关系显著。系显著。经济预测与决策方法5.5.预测预测 （1）计算估计标准误差。）计算估计标准误差。2126005662767.247209243.1712190104
9、22nxybyaySy6343.33106918.11312 （2）当显著性水平）当显著性水平0.05，自由度，自由度n-m=10时，查时，查t分布分布表得：表得：t0.025(10)=2.228经济预测与决策方法（3）当）当x0=249亿元时，代入回归模型得亿元时，代入回归模型得y的点估计值为：的点估计值为：)(8226.7382492767.29243.1710亿元y预测区间为：预测区间为：22202/011)()x(xn)x-n(xnSmntyy74604375.1511212116343.33228.28226.73823518.908226.7382057.16343.33228.2
10、8266.738即：当即：当1990年全省固定资产投资完成额为年全省固定资产投资完成额为249亿元时，在亿元时，在0.05的显著性水平上，国内生产总值的预测区间为：的显著性水平上，国内生产总值的预测区间为：648.4708829.1744亿元之间。亿元之间。经济预测与决策方法2.2.多元线性回归多元线性回归结构结构mmxbxbxbxbby3322110二元时：二元时：22110 xbxbby经济预测与决策方法参数确定参数确定min)(12niiiyyQniiiixbxbby1222110)(000210bQbQbQ22221120221221110122110iiiiiiiiiiiiiiixb
11、xxbxbyxxxbxbxbyxxbxbnby经济预测与决策方法设有n组样本),2,1/(1nixxymiii矩阵形式：eXBYXBY或nyyyY21mbbbB10neeee21mnnnmmxxxxxxxxX212221212111111经济预测与决策方法min12niieQXBXBYXBXBYYYXBYXBYXBYXBY)()()(根据：根据：XYXBXXBYXBQBXYXBYYXBXBYAbAB1)X(022)(,)(是同值矩阵与所以：经济预测与决策方法例：设某邮电研究所以新产品开发和技术服务为主要任务，近十年来该所收例：设某邮电研究所以新产品开发和技术服务为主要任务，近十年来该所收入，经
12、费支出和科技人员数如表所示（见表前入，经费支出和科技人员数如表所示（见表前3栏）：栏）：某邮电研究所的收入与经费支出科技人员数的回归计算某邮电研究所的收入与经费支出科技人员数的回归计算年份年份序号序号收入收入(万元万元)Yi经费支出经费支出(万元万元)X1i科技人员科技人员(人人)X2iX1i2X2i2X1iX2iX1iYiX2iYi123525416064516256004064059690376002238257163660492656941891611663879432562751667562527556456507040042496426429016984100285614901076
13、56044616527129517287025295845074079945466126273296175876163062551800808084777572893111789672131684553588987951441829831818110112432761575589476453939304327184106929338566016899408559103103411871162813496963767108438594合计合计27462964173588598630176551682821058478经济预测与决策方法 用接线性相关拟合回归预测模型。如果次年该所经费预算定为用接线
14、性相关拟合回归预测模型。如果次年该所经费预算定为380380万元，万元，科技人员增加到科技人员增加到200200人，预测其收入可能达到多少？人，预测其收入可能达到多少？根据题意要求，此二元线性回归预测模型为：根据题意要求，此二元线性回归预测模型为：2210XbbbY将表中有关数据代入后式，得：将表中有关数据代入后式，得：b b1 1=0.6858=0.6858b b2 2=0.8721=0.8721b b0 0=-79.9805=-79.9805则二元线性回归预测模型为：则二元线性回归预测模型为：218721.06858.09805.79XXY若次年的科研经费支出预测为若次年的科研经费支出预测
15、为380380万元，科技人员增加到万元，科技人员增加到200200人，分别代入人，分别代入X1X1和和X2X2，则：，则：)(0435.3552008721.06858.09805.79万元Y即为该研究所次年可能达到的收入水平。即为该研究所次年可能达到的收入水平。经济预测与决策方法3.3.非线性回归预测非线性回归预测一、常见一元非线性回归预测模型结构一、常见一元非线性回归预测模型结构(1)(1)双曲线回归模型双曲线回归模型(2)(2)多项式回归模型多项式回归模型(3)(3)对数曲线回归模型对数曲线回归模型(4)(4)三角函数回归模型三角函数回归模型(5)(5)幂函数回归模型幂函数回归模型(6)
16、(6)指数回归模型指数回归模型xbaykkxbxbxbxbby332210 xbaylnbSinxaybaxy xaby 经济预测与决策方法二、参数确定的方法二、参数确定的方法(1)(1)直接换元法直接换元法(2)(2)间接代换法间接代换法(如对数变换等如对数变换等)(3)(3)线性化迭代方法线性化迭代方法经济预测与决策方法(1)(1)直接换元法直接换元法 通过简单的变量换元直接化为线性回归模型通过简单的变量换元直接化为线性回归模型如如令：令：由于这类模型因变量没有变形，直接采用由于这类模型因变量没有变形，直接采用最小平方法估计回归系数，并进行检验和预测。最小平方法估计回归系数，并进行检验和预
17、测。xbayxbayxax ,则则 经济预测与决策方法(2)(2)间接代换法间接代换法 通过对数变形的代换间接地化为线性回归模型通过对数变形的代换间接地化为线性回归模型如如令令则：则：由于经变换后改变了因变量的形态，使得变形后由于经变换后改变了因变量的形态，使得变形后模型的最小平方估计失去了原模型的残差平方和最小模型的最小平方估计失去了原模型的残差平方和最小的意义，从而估计不到原模型的最佳回归系数，造成的意义，从而估计不到原模型的最佳回归系数，造成回归模型与原数列之间的偏差较大。回归模型与原数列之间的偏差较大。baxy xbaylnlnlnaaxxyyln,ln,lnxbay 经济预测与决策方法(3)(3)线性化迭代方法线性化迭代方法 一般在矢法用数学的轶换或代换变为线性函数时一般在矢法用数学的轶换或代换变为线性函数时采用。采用。如：如：高斯高斯牛顿迭代方法的基本思想就是使用泰勒级牛顿迭代方法的基本思想就是使用泰勒级数展开或去近似地代替非线性回归模型，通过多次迭数展开或去近似地代替非线性回归模型，通过多次迭代，多次修正系数，使回归系数不断逼近非线性回归代，多次修正系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最小。到最小。xcbay
