1、第七章习题课第七章习题课例例1 1已知已知|13,|19,|24,abab求求|.ab 解解222|2|abaa bb 而而222|2|abaa bb 所以所以2222|2|2|ababab22222(1319)2422|22ab 第1页，共19页。例例2 2设向量设向量c 垂直于垂直于2,3,1,1,2,3,ab 且且|3,c c 与与y轴的夹角成钝角，求轴的夹角成钝角，求.c 解解由于由于c 垂直于垂直于,a b 所以所以c 与与ab 共线，共线，所以所以cab 231123ijk (777)ijk 由于由于|3,c 所以所以22223(7(7)(7)7 3|1,7 又因又因0,c j 所
2、以所以1,7 即即1,1,1c 第2页，共19页。例例3 3求以点求以点(3,4,1),(2,0,3),(3,5,4)ABC为顶点的为顶点的三角形面积。三角形面积。解解 1,4,4AB 6,1,5AC 144615ijkABAC 241925ijk 1|2SABAC 122221(24)(19)(25)2 115622 第3页，共19页。例例4 4 已知已知|4,|5,10,aba b 解解|sin(,)ababa b求求|.ab 101cos(,)|4 52a ba bab 所以所以23sin(,)1cos(,)2a ba b3|5 410 32ab 第4页，共19页。例例5 5求过求过z轴
3、且与平面轴且与平面250 xyz夹角为夹角为3 的的平面方程平面方程.解解过过z轴的平面方程的一般形式为轴的平面方程的一般形式为0AxBy由于和平面由于和平面250 xyz的夹角为的夹角为,3 所以所以2221|2|cos23215ABAB 即即223830AABB30AB或或30AB所求平面方程为所求平面方程为30 xy或或30 xy第5页，共19页。例例6 6 求平行于点求平行于点(5,11,3),(7,10,6),(1,3,2)ABC所确定的平面所确定的平面,且与它的距离为且与它的距离为2的平面方程的平面方程.解解点点,A B C所在平面的法向量为所在平面的法向量为nABAC 12,21
4、,9 6,8,5 33,6,30311,2,10 设所求平面方程为设所求平面方程为112100 xyzD点点C到其距离为到其距离为2,因此因此222|11 1(2)(3)10(2)|3|21511(2)10DD 27,D 或或33D 11210270 xyz或或11210330 xyz第6页，共19页。例例7 7 通过直线通过直线111:234xyzL且垂直于平面且垂直于平面20 xyz的平面方程的平面方程.解解所求平面的法向量所求平面的法向量n 垂直于已知直线方向向量垂直于已知直线方向向量s 和已知平面法向量和已知平面法向量1,n 所以所以12,3,4 2,1,1nsn1,10.8所求平面过
5、已知直线所求平面过已知直线,因此过点因此过点(1,1,1),所以所求平面所以所求平面方程为方程为110(1)8(1)0 xyz 即即10830 xyz 第7页，共19页。例例8 8 求过点求过点(1,2,3)M 且与三坐标轴成等角的直线且与三坐标轴成等角的直线方程方程.解解设所求直线的单位方向向量为设所求直线的单位方向向量为cos,cos,cos s 由题意由题意,所以所以23cos1 3cos3 所求直线方程为所求直线方程为123xyz第8页，共19页。例例9 9 求在平面求在平面1xyz上上,且与直线且与直线11yz 垂直垂直相交的直线方程相交的直线方程.解解所求直线的方向向量所求直线的方
6、向向量1,1,1,n 垂直于已知平面的法向量垂直于已知平面的法向量s 且垂直于已知直线方向向量且垂直于已知直线方向向量11,0,0,s 因此因此11,1,1 1,0,0sns0,1,1所求直线过已知平面与已知直线的交点所求直线过已知平面与已知直线的交点0(,1,1)M x 代入已知平面方程的代入已知平面方程的01,x 所以所求直线方程为所以所求直线方程为111011xyz 第9页，共19页。例例10 10 求过点求过点(1,0,4),M 平行于平面平行于平面3410 xyz且与直线且与直线13312xyz相交的直线方程相交的直线方程.解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为,sm n
7、p 已知直线已知直线过点过点1(1,3,0),M 方向向量为方向向量为13,1,2,s 已知平面的已知平面的法向量为法向量为3,4,1,n 根据题意得根据题意得340s nmnp 11312034mnpss MM 101290mnp 3712,4mp np1448374xyz第10页，共19页。例例1111求通过直线求通过直线2210420 xyzxyz 且在且在,y z轴轴上有相同的非零截距的平面方程。上有相同的非零截距的平面方程。解解过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为221(42)0 xyzxyz 即即(2)(1)(42)120 xyz 或或12121212142xyz根据题
8、意有根据题意有11423所求平面方程为所求平面方程为72210 xyz第11页，共19页。例例12 12 指出下列方程所表示的图形指出下列方程所表示的图形221)xyz平面曲线平面曲线xoy20 xyy 绕绕x旋转一周所得的旋转抛物面旋转一周所得的旋转抛物面22)xy 准线为准线为20 xyz 母线平行于母线平行于z轴的抛物柱面。轴的抛物柱面。2223)24650 xyzxyz中心在中心在(1,2,3)半径为半径为3的球面。的球面。224)2yxz椭圆抛物面椭圆抛物面2225)21xyz双叶双曲面双叶双曲面2226)yxz圆锥面圆锥面第12页，共19页。例例1313求下列曲线绕求下列曲线绕z轴
9、旋转一周所得的旋转面方程轴旋转一周所得的旋转面方程221)0zxy 222()zxy2)1zxy xyzo 1OM 1M解解设设(,)M x y z为曲面上为曲面上任意一点，任意一点，它是由曲线它是由曲线1zxy 上的点上的点111(,1,)Mxz绕绕z轴轴旋转而得的，旋转而得的，由题意可知由题意可知第13页，共19页。22211,1zzxyx即即2211,1zzxxy 由于由于11zx 所以所以221zxy 所求曲面方程为所求曲面方程为2221xyz这是单叶双曲面这是单叶双曲面第14页，共19页。例例1414求曲线求曲线2200 xyzxyz 在各坐标面的投影在各坐标面的投影解解从曲线的方程
10、中消去从曲线的方程中消去得得曲线在曲线在xoy投影曲线为投影曲线为2200 xyxyz 从曲线的方程中消去从曲线的方程中消去x得得22220yzyzz曲线在曲线在yoz投影曲线为投影曲线为222200yzyzzx z220 xyxy从曲线的方程中消去从曲线的方程中消去得得第15页，共19页。从曲线的方程中消去从曲线的方程中消去y得得22220 xzxzz曲线在曲线在zox投影曲线为投影曲线为222200 xzxzzy 第16页，共19页。例例15 画出由下列曲面围成的立体的图形。画出由下列曲面围成的立体的图形。xyoxz 0 z2yx 1 x2,1,0)1(yxxxzz xyzo0 yxy 0 zxz 1xyyxzz ,0,1,0)2(第17页，共19页。xyzo22zy2x 2zy 2x 2211xyz 22222,)3(yxzyxz yxzo2zy 22zy 2x 2x 22222,)4(yxzyxz 第18页，共19页。zxyo2yx 2yx 2z 1y 1,2)5(22 yzxyyxxyzo222zxy 22zx 222212xxyyz 2222,2)6(xzyxz 第19页，共19页。
