1、1第二章第二章 刚体的平衡刚体的平衡研究内容：研究内容：1.1.作用在刚体上的力系的简化作用在刚体上的力系的简化;2.2.刚体在各种力系作用下平衡的一般规律刚体在各种力系作用下平衡的一般规律.桥梁受有：桥梁受有：自身重力、铁轨压力、桥墩作用力、风载等自身重力、铁轨压力、桥墩作用力、风载等2作用在刚体上的力的三要素作用在刚体上的力的三要素:大小大小,方向方向,作用线作用线.问题：问题：空间任意力系如何简化空间任意力系如何简化?定理：定理：作用在刚体上的力可以沿作用线移动而不改变其对作用在刚体上的力可以沿作用线移动而不改变其对刚体的效应刚体的效应AFBAFBFBAFF3相对简单的问题相对简单的问题
2、:平面上两个力如何合成平面上两个力如何合成(简化简化)?)?1F2FA1F2FA情况情况1：两力不平行两力不平行4情况情况1：平面上两个以上的力的合成平面上两个以上的力的合成5情况情况2：两力平行且同向两力平行且同向1F2FFFo6情况情况3：两力平行但反向两力平行但反向1F2F7情况情况4：两力大小相等两力大小相等,方向相反方向相反,且不沿同一直线且不沿同一直线.结论：结论：力偶不能合成力偶不能合成(简化简化)为一个合力为一个合力.82-12-1、力偶系、力偶系力偶力偶：F，F,F=-F 不共线不共线力偶系：力偶系：作用于刚体上的作用于刚体上的 一组力偶。一组力偶。一、力对点之矩一、力对点之
3、矩力对点之矩是力对该点的转动效应的度量力对点之矩是力对该点的转动效应的度量AFBF1、力对点之矩的数学描述、力对点之矩的数学描述(1)矢量表示式矢量表示式:FrMOMOxyzOrFd O称为取矩点称为取矩点(2)力矩大小力矩大小:(3)力矩方向力矩方向:由右手螺旋法则确定由右手螺旋法则确定力对点的转动效应的度量必须用矢量表示力对点的转动效应的度量必须用矢量表示oMd FrF9xyzijkrFFxFyFzxyz(4)解析表示式解析表示式kjiFkjirzyxFFFzyxzyxFFFzyxkjikjiozoyoxMMMFrMOxyOzzxOyyzOxyFxFMxFzFMzFyFM力对点之矩在轴上的
4、投影力对点之矩在轴上的投影102、合力矩定理、合力矩定理：则：则：)()(1iniOFMFMRO若若：作用在刚体上作用在刚体上,21nFFFRFxyzo1F2FnFRF1r2rnrRrniiiRR1FrFrxyzo1F2FnFRFRr11二、力对轴之矩二、力对轴之矩FxyzdFMzoFxyFzFxydF逆时针逆时针，顺时针，顺时针如果已知：如果已知：kjiFkjirzyxFFFzyx如何求力如何求力F 对对 z 轴的矩轴的矩12xyzyFxFM)(FxzijkyFyxzFxFxyFyFzFxyFxFykjiFkjirzyxFFFzyx13xyOzzxOyyzOxyFxFMxFzFMzFyFM力
5、对轴之矩力对轴之矩力对力对o点之矩在坐标轴上的投影点之矩在坐标轴上的投影xyzzxyyzxyFxFMxFzFMzFyFM)()()(FFFrFMOxyzOOzzOyyOxxMMMMMM)()()(FFF 力对轴之矩力对轴之矩(标量标量)等于等于 力对轴上任意一点力对轴上任意一点之矩之矩(矢量矢量)在该轴上的投影。在该轴上的投影。14xyzabclFo例例:计算力计算力F 对对l 轴之矩轴之矩.A解解:()()AMlFMFl()()BMlFMFl B222abcabcijkl22aFcFacikFCD()BBCMFF BDF 22acFacj22222()abcFMacabclF15ABFFBA
6、r三、力偶矩三、力偶矩FABFFFrArBO)()(FMFMMOOOFrFrBA)(FrFrBAFrr)(BABArFrBAdFM M力偶矩矢量垂直于力偶所在的平力偶矩矢量垂直于力偶所在的平面面,其大小和方向与取矩点无关其大小和方向与取矩点无关.16四、力偶的等效条件和性质四、力偶的等效条件和性质1 1、力偶的等效条件、力偶的等效条件(定理）定理）两个力偶两个力偶等效的条件等效的条件是它们的是它们的力偶矩相等力偶矩相等ABrBAF1F1M 1DrCDF2F2M 22211FrMMFrCDBA,22FFFF1111FrMBA22FrMCD172 2、力偶的性质、力偶的性质性质一性质一 力偶不能与
7、一个力等效力偶不能与一个力等效,RFFF性质二性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平面到另一平行平面),),而不改变对刚体的作用效应而不改变对刚体的作用效应FFxxFFaaaABFFFFFaaaaABF1819性质三性质三 只要力偶的转向和力偶矩的大小不变只要力偶的转向和力偶矩的大小不变(F F，d d 可变可变)，则力偶对刚体的作用效应就不变。则力偶对刚体的作用效应就不变。20五、力偶系的合成五、力偶系的合成,21RnMMMMn1iiMMR222)()()(zyxRMMMMn1in1in1ikjiMiziyixRMMM性质三性质三 只要力偶的转向
8、和力偶矩的大小不变只要力偶的转向和力偶矩的大小不变(F F，d d 可变可变)，则力偶对刚体的作用效应就不变。则力偶对刚体的作用效应就不变。212-22-2、力偶系作用下刚体的平衡、力偶系作用下刚体的平衡0,21RnMMMM0n1iiMMR000zyxMMM 0M222)()()(zyxRMMMM22例：例：结构如图所示，已知主动力偶结构如图所示，已知主动力偶 M，哪种情况铰链的约束力最小哪种情况铰链的约束力最小,并确并确 定约束力的方向（不计构件自重）定约束力的方向（不计构件自重）ABMOABMO（A）（B）1、研究、研究OA杆杆FFNN2、研究、研究AB杆杆23M1,M2.1M2M2M1M
9、 sin2DNBDM DNADM 1研究研究BD研究研究AC242-32-3、空间任意力系的简化、空间任意力系的简化空间任意力系：空间任意力系：力作用线在空间任意分布的力系力作用线在空间任意分布的力系问题：问题：空间任意力系如何简化？空间任意力系如何简化？xyzo1F2F3FiFnF25加减平衡力系原理：加减平衡力系原理：在刚体上增加或减去在刚体上增加或减去一组平衡力系，不会改变一组平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效应原力系对刚体的作用效应0,21mPPP,21nFFF,2121mnPPPFFF26FFFF刚体刚体FFFF变形体变形体定理：定理：作用在作用在刚体刚体上的力，沿其作用线移动后
10、，上的力，沿其作用线移动后，不改变其作用效应。不改变其作用效应。作用于作用于刚体刚体上力的三要素上力的三要素:大小、方向、作用线大小、方向、作用线27力的平力的平移定理移定理,BABMFFFrMFFBBA,28o2F1F1M2MnFnM,21nFFF,21nFFF,21nMMM,RFOMn1iin1iiFFFRn1iiin1iiFrMMOo成为简化点成为简化点FR 一个作用在一个作用在O点上的力点上的力MO 一个作用在刚体上的力偶一个作用在刚体上的力偶（与简化点无关）（与简化点无关）（与简化点有关）（与简化点有关）29,21ORMFFFFn0,0ORMF0,0ORMF0,0ORMF30irir
11、iiiMrFiiiMrFiiro oriiiMrFiio orFiiiMo orFiiio oFrFiMRF031OORMFMFR,0,0RFOMRFRFRFRF0,0ORMFoRd MFRoo F32OORMFMFR,0,0OMRFRF2OM1OMRF1OMRF1OM22)(RRFooFORRROO1MFdFFMMRF1OMdRFRF33确定图示力系的简化结果确定图示力系的简化结果1F3F2F平面椭圆平面椭圆A1F3F2F平面椭圆平面椭圆B2F1F3F4F5F正方体正方体A2F1F3F4F5F正方体正方体B341F2F3FkjirkjiFiiiiiiziyixzyxFFFnn1iiiO1ii
12、RFrMFF352-42-4、各类力系作用下刚体的平衡条件、各类力系作用下刚体的平衡条件361、作一条直线穿过其中两力的作用线，则该直作一条直线穿过其中两力的作用线，则该直线必穿过第三力的作用线线必穿过第三力的作用线(由此推导出三力共面由此推导出三力共面)2、三力构成平行力系，或作用线汇交于一点、三力构成平行力系，或作用线汇交于一点AFBFCFAFBFCFAFBFCFBCFAFBFCF37ABFO（A）例：例：结构如图所示，已知主动力结构如图所示，已知主动力F，确定铰，确定铰链链O、B约束力的方向（不计构件自重）约束力的方向（不计构件自重）1、研究、研究OA杆杆2、研究、研究AB杆杆（B）AB
13、FOoFAFBFAFBFoF38,21ORMFFFFn0,0ORMFn1iin1iiFFFRn1iiin1iiFrMMO222)()()(zyxRFFFF222)()()(OzOyOxOMMMM39,0)(0)(0)(,000FFFzyxzyxMMMFFFOzzOyyOxxMMMMMM)()()(FFF40,000zyxFFF,00yxFF,0)(0)(0)(FFFzyxMMM 0M41,0)(0)(0FFyxzMMFxyzoxyo0)(0FOyMF42xyo0)(00FoyxMFF0)(0)(0FFBAxMMF0)(0)(0)(FFFCBAMMM43,21AnMFFFFR0cos0 RFFx
14、RFAM AyFAxFAM()0AMF 过A点RF()0BMF 沿AB线RF44BFAFBFAyFAxFBFAF45AMAxFAyF0,0AxxFF解：研究AB梁，画受力图。qlFxqFFAylAyy,0d,002021,0d,0qlMxxqMMAlAAq46重为重为W 的均质正方形板的均质正方形板水平支承在铅垂墙壁上，求水平支承在铅垂墙壁上，求绳绳1、2的拉力的拉力,BC杆的内力杆的内力和球铰链和球铰链A的约束力。的约束力。解：解：一、一、A xyz 1F2FCFAxFAyFAzFxyz47 1F2FCFAxFAyFAzFxyz120:cos()cos0 xAxCFFFFF0:sin0yAy
15、CFFF120:()sin0zAzFFWFF20:sin20 xMW aFa120:()sin20yMW aFFa20:cos2cos2sin20zCCMFaFaFa48 1F2FCFAxFAyFAzFxyz10:0ACMFD0:20DCAzMW aFa20:sin20 xMW aFa20:cos2cos2sin20zCCMFaFaFa120:cos()cos0 xAxCFFFFF0:sin0yAyCFFF492-52-5、考虑摩擦时物体的平衡、考虑摩擦时物体的平衡50一、滑动摩擦一、滑动摩擦1、静滑动摩擦、静滑动摩擦max0FF NmaxFfFs2、动滑动摩擦、动滑动摩擦NFfF其中：其中：
16、静滑动摩擦因数静滑动摩擦因数sf其中：其中：动滑动摩擦因数动滑动摩擦因数fF：摩擦力摩擦力，：法向约束力法向约束力NFFvNFF运动趋势运动趋势NF51NFFFRNtanFF 2N2FFFRNmaxFFFRsfmaxtan max RF Pmax maxFmax RFNFRFF NFNmaxmaxtanFF NmaxFfFs（不滑动的条件）（不滑动的条件）52问题：问题：已知静滑动摩擦已知静滑动摩擦因数为因数为f，斜面倾角为多，斜面倾角为多大时大时,滑块将要滑动滑块将要滑动。问题：问题：已知静滑动摩擦已知静滑动摩擦因数均为因数均为 f，沿垂直于，沿垂直于屏幕方向水平推动滑块屏幕方向水平推动滑块
17、,哪种情况容易推动？哪种情况容易推动？WW)(a)(bW nF 53问题：问题：假设墙壁光滑，若假设墙壁光滑，若使梯子不滑动，地面与梯使梯子不滑动，地面与梯子间的静滑动摩擦因数子间的静滑动摩擦因数fs至至少为多大少为多大(不计梯子自重不计梯子自重,人重为人重为W).ABBWAAFBFn sfmaxtantan 解：研究梯子，画受力图解：研究梯子，画受力图030 sf030tan54 W问题：问题：长轴为长轴为a，短轴为，短轴为b，重为，重为W的均质椭圆，的均质椭圆，一端铅垂吊起，另一端放在倾角为一端铅垂吊起，另一端放在倾角为 的固定斜面的固定斜面上，圆盘长轴与水平线的夹角为上，圆盘长轴与水平线
18、的夹角为 ，若圆盘处于，若圆盘处于平衡，盘与斜面的静滑动摩擦因数最小为多大？平衡，盘与斜面的静滑动摩擦因数最小为多大？TFfmtantanm不滑动的条件不滑动的条件tanminf55例：例：物块重物块重P,已知已知a、b、f，求维持求维持平衡时的平衡时的 QmaxhQab解：一、解：一、取物块为研究对象取物块为研究对象二、二、受力分析受力分析PQNF三、三、平衡方程平衡方程0:xFFQ0:yFNPA()0:02AaMQ bPN x Fx22PaQbxP56不滑动不滑动：不翻倒不翻倒：Qf Nf P202PaQbxP2PaQbmaxmin,2PaQf Pb57例：例：重为重为W长为长为L的均质梯
19、子靠在光滑的均质梯子靠在光滑的墙壁上的墙壁上(夹角为夹角为 ）,它与地面的静滑它与地面的静滑动摩擦因数为动摩擦因数为 f,梯子上作用一水平力梯子上作用一水平力F，BD=a，求维持平衡时的，求维持平衡时的F。ABCDWF BDCAAFBFsFWF解：解：取梯子为研究对象取梯子为研究对象,画受力图画受力图0sin2cos)(cos:0LWaLFLFMsP0,0WFFBytan2,),1(tan2WFLaFWFLaFWFABs0cossin2cos,0LFLWFaMAB维持平衡的条件维持平衡的条件:BSFfF 0AF58aLLfWFaLLfW)tan5.0()tan5.0(BSFfF 0AFFaLW
20、tan259WFFWNFsFWFWFNFfMsFfM滚动摩阻力偶矩滚动摩阻力偶矩max0ffMMNfFMmax 滚动摩阻系数滚动摩阻系数（mm）60WFR解：研究圆盘，画受力图解：研究圆盘，画受力图FFFFFssx,0,0WFWFFNNy,0,0WFNFfMsFAFRMFRMMffA,0,0不滑动条件：不滑动条件：NsfFF 不滚动条件：不滚动条件：NfFM,minmaxWRfWFfWF WRF61例：例：物块重物块重P,圆柱重圆柱重Q，斜面倾角为，斜面倾角为，设设A、B、C处的处的静滑动摩擦因数均为静滑动摩擦因数均为 f ，求维持求维持平衡时的平衡时的 fmin解：一、解：一、取圆柱为研究对
21、象取圆柱为研究对象,受力分析如图受力分析如图 ACBQPQBNCNBFCFyx对圆柱列平衡方程对圆柱列平衡方程62CNQBNBFCFyx0:sin0 xBCFQNF(1)0:cos0yBCFFNQ(2)(3)o()0:0oBCMFRFRF63二、二、取物块为研究对象取物块为研究对象,受力分析如图受力分析如图PBNQCNBFCFyxBNBFAFAN对物块列平衡方程：对物块列平衡方程：0:sin0 xBAFPNF(4)(5)0:cos0yABFNFP64三、三、补充临界条件方程补充临界条件方程AAFf N(6)如果圆柱滑下如果圆柱滑下：CCFf N(7)(此时此时：)BBFf N如果圆柱滚下如果圆
22、柱滚下：BBFf N(7)(此时此时：)CCFf N方程方程(1)-(6),(7)tanf方程方程(1)-(6),(7)()sincossinPQfPQ()sinmax tan,cossinPQfPQ65分析分析AB杆受力杆受力：66分析分析AB杆受力杆受力：PABPAB67PAB分析分析AB杆受力杆受力：68PAB69本章主要内容本章主要内容 基本定义基本定义力矩力矩(对点、对轴）、摩擦角、自锁条件对点、对轴）、摩擦角、自锁条件 基本原理和定理基本原理和定理 合力矩定理、三力平衡定理、加减平衡力系合力矩定理、三力平衡定理、加减平衡力系原理、力的滑移和平移定理原理、力的滑移和平移定理 基本方法基本方法 力系简化、各种力系的平衡方程、平衡方程力系简化、各种力系的平衡方程、平衡方程的力矩形式（独立条件）的力矩形式（独立条件）
