1、向量的加法运算向量的加法运算:OABOBABOA三角形法则三角形法则OABCOCOBOA平行四边形法则平行四边形法则温故知新温故知新aaaa3记作把3.OCa即.|3|3|,33aaaa即倍的长度的的长度是 数的运算数的运算a+a+a=3a类比类比3aaOCa比较两个向量与（即与）a,.aaaa 引引例例1 1:已已知知非非零零向向量量请请作作出出 aaaBCABOAOC ,3的方向相同的方向与aaOAaCaBa),()()(aaaMNQMPQPN3.PNa 即,3的方向相反的方向与 aa.|3|3|,33aaaa即倍的长度的的长度是,()()().aaaa 引引例例2 2:已已知知非非零零向
2、向量量请请作作出出)()(3aaaa 把把(-)记记作作-类比aa Na MQa P 数的运算数的运算(a)+(a)+(a)=3a)(3-aPNaa与即与比较两个向量1.实数与向量的积实数与向量的积注注1 实数与向量的积实数与向量的积 仍是一个向量仍是一个向量.a注注2 求实数与向量的积的运算叫做向量的数乘求实数与向量的积的运算叫做向量的数乘.定义定义:实数实数 与向量与向量 的积是一个向量，的积是一个向量，记作记作 ，它的长度与方向规定如下：，它的长度与方向规定如下：aaaa（1 1）（2 2）当）当 0时时,与与 同向同向;aa 0时时,与与 反向反向；aa当当=0时时,00a当数乘运算与
3、向量的加法、减法以及它们的数乘运算与向量的加法、减法以及它们的混合运算称为向量的线性运算。混合运算称为向量的线性运算。aaa向量数乘运算的几何意义：向量数乘运算的几何意义：把向量把向量 沿沿 的方向或的方向或 的反方向放大或的反方向放大或缩小。缩小。a)3(2a)3(2aa6=abbaba22a2b2baba22)(2aaaaaaabaabbaa5a2a3aaa325(1)()();aa(2)();aaa(3)().abab 2运算律：运算律：设设 为任意向量为任意向量,为任意实数为任意实数,则则ba,例例1 计算：计算：).23()32()3(;)(2)(3 )2(;4)3()1(cbacb
4、aababaa口答口答:;124)3()1(aa(2)3()2()5;ababab.25)23()32()3(cbacbacba规律方法总结：规律方法总结：向量的线性运算类似于代数中多向量的线性运算类似于代数中多项式的运算，实数运算中的去括项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算因式等变形手段在向量线性运算中同样适用。中同样适用。练习练习:课本课本9090页练习页练习5 5问题问题1 1：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？怎样理解两向量平行？与原向量之间的位
5、置关系吗？怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？与两直线平行有什么异同？baa),0(b0aa问题问题2 2：对于：对于 ，如果有一个实数，如果有一个实数b问题问题3 3：已知向量：已知向量 与与 共线，且向量共线，且向量 的长度的长度是向量是向量 的长度的的长度的 倍，即倍，即 ，那么当，那么当 与与 同方同方向时，有向时，有 =，当，当 与与 反方向时，有反方向时，有 =。ababababababababb.共线与ba 思考思考2 此定理中的此定理中的0a能否去掉？能否去掉？.ba使 得成 立可以取任意实数，此时必有时因为当0,0ba.ba使得成立0,0ba因为当时 考虑到，只有一个
6、实数=0,此定理对此定理对0b 成立否？成立否？思考思考1成立成立!不能！不能！定理：定理：向量向量 与非零向量与非零向量 共线，当且仅共线，当且仅当有唯一一个实数当有唯一一个实数，使，使.baab3向量的共线定理：向量的共线定理：例例2 如图，已知如图，已知.3,3BCDEABAD试判断试判断AEAC与是否共线是否共线.ACBEDAEAC与是否共线是否共线,分析分析:判断判断也就是要判断是否存在唯一的也就是要判断是否存在唯一的实数实数,.AEAC 使使 得得成成 立立考虑到已知给出的是考虑到已知给出的是BCDEABAD,之间的关系之间的关系,因此要想得出因此要想得出的关系，与 ACAE就必须
7、用就必须用BCDEABAD,AEAC 与将将表示出来表示出来.解解:DEADAEBCAB33)(3BCABBCABACACAE3.共线与AEAC思考：思考：如何用向量知识证明三点共线如何用向量知识证明三点共线?引申：引申：此结论能否说明此结论能否说明A,C,E三点共线三点共线?例例2 如图，已知如图，已知.3,3BCDEABAD试判断试判断AEAC与是否共线是否共线.ACBED用向量知识证明三点共线的方法:ABC、三点共线ABAC使得存在唯一的实数,/ACAB 总结总结:练习：课本90页练习4归纳小结归纳小结 1.1.实数实数 与向量与向量 的积还是一个向量的积还是一个向量,与与 是共线的是共
8、线的aaa 2.2.运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算 多项式一样去合并同类项多项式一样去合并同类项3.3.作业：作业：课本习题课本习题2.2A2.2A组组9 91313 练习：设练习：设 x是未知向量，解方程是未知向量，解方程.0)2(3)(5bxax 分析：分析：本题中所求的未知量是一个向量，本题中所求的未知量是一个向量，所以本题属于解向量方程的问题，向量方程所以本题属于解向量方程的问题，向量方程的解法和数量方程的解法是相同的，的解法和数量方程的解法是相同的，体现了体现了数学中的方程思想。数学中的方程思想。解：解：原方程化为：原方程化为：,0635
9、5bxax856,xab.4385bax如果为两个不平行向量设例 .,321ee12,AB ee 1228,BCee 123().CDee.三点共线、求证DBA:,ABADAABD 分析 考虑到与有公共点所以要证明、三点共线.AD AB/,ADAB 须且只须证明,又只须证明存在唯一的实数使得CDBCABAD :证明121212()(28)3()eeeeee126(),ee.6AD AB,/ABAD即,AADAB有公共点与又.三点共线、DBA如果为两个不平行向量设例 .,321ee12,AB ee 1228,BCee 123().CDee.三点共线、求证DBA,的值试确定实数 k.2121是是两两个个平平行行向向量量与与使使ekeeek 1212 /keeeke分析与解.)(,2121成立使得存在唯一的实数ekeeek )(2121ekeeek 21)1()(ekek 不平行不平行因为因为21,010eekk .1 k .,21为两个不平行向量设练习ee。，且求证：的中位线，为如图决几何问题巩固练习：用向量法解/BC21DEBCDEABCDEABCDE
