1、双曲线的几何性质双曲线的几何性质 一、知识再现一、知识再现 前面我们学习了椭圆前面我们学习了椭圆 的简单的几何性质：的简单的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率范围、对称性、顶点、离心率.我们来共同回顾一下椭圆我们来共同回顾一下椭圆 x2/a2+y2/b2=1(ab0)几何性质的具体内容及其研究方法几何性质的具体内容及其研究方法.12222byax12222byax 椭 圆标准方程x2/a2+y2/b2=1(ab0)几何 图形 范围 对称性 顶点a、b、c的含义离心率e定义B2B1yxA2A1 0F1F2x|x|a、|y|b x2/a2 1、y 2/b2 1中心对称，轴对称 -x代x、-y代y
2、A1(-a,0),A2(a,0)B1(0-b),B2(0,b)分别令x=0，y=0a(长半轴长)c（半焦距长）b（短半轴长)a2=b2+c2焦距与长轴长的比 e=c/a 0eb0)x2/a2-y2/b2=1(a0、b0)几何 图形范围 对称性顶点 a,b,c的含义离心率e的定义x2/a2 1、y 2/b2 1 -x代x、-y代y分别令x=0，y=0 x a 或 x -a中心对称，轴对称A1(-a,0)、A2(a,0)a（实半轴长实半轴长）c（半焦距长）半焦距长）b （虚半轴长虚半轴长）a2=c2-b2焦距与实轴长的比 e=c/a e1a(长半轴长长半轴长)c（半焦距长）半焦距长）b（短半轴长短
3、半轴长)a2=b2+c2焦距与长轴长的比 e=c/a 0e0,b0)y2/a2-x2/b2=1(a0、b0)几何 图形 范围x a 或 x -a 对称性中心对称，轴对称 顶 点a、b、c的含义 离心率e焦距与实轴长的比 e=c/a e1 y a 或 y -a中心对称，轴对称A1(0,-a),A2(0,a)A1(-a,0),A2(a,0)a（实半轴长）c（半焦距长）b（虚半轴长）a2=c2-b2a（实半轴长）c（半焦距长）b（虚半轴长）a2=c2-b2焦距与实轴长的比 e=c/a e1 yx oA2A1 B1B2F1 F2yF2A2A1B2 0 xF1x=ax=-ay=ay=-a B1 四、四、
4、让我们来讨论让我们来讨论 双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？讨论并给出答案交点，你认为对吗？讨论并给出答案.yF2B1A2A1B2 0 xF1五、让我们共同分析五、让我们共同分析 例例1、求双曲线、求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率虚半轴长、焦点坐标、离心率.分析：分析：化为标准方程：化为标准方程：y2/16-x2/9=1 确定焦点位置：在确定焦点位置：在y轴上轴上 找出找出a、b的值：的值：a=4,b=3 代入关系式代入关系式c2=a2+b2=25、e=c/a=5/4 写出结果：写出结果：a=4
5、,b=3,F1(0,5),F2(0,-5),e=5/4.六、练一练六、练一练 求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长及顶点坐标求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长及顶点坐标.(1)x2-4y2=16 (2)x2/49-y2/25=-1 解答：（解答：（1）a=4,b=2,A1(-4,0),A2(4,0)（2）a=5,b=7,A1(0,-5),A2(0,5)请思考：请思考：如若求半焦距长和离心率呢？如若求半焦距长和离心率呢？小结：关键在于求实半轴小结：关键在于求实半轴a的长和虚半轴的长和虚半轴b的长，的长，然后代入关系式然后代入关系式c2=a2+b2、e=c/a求半焦距求半焦距c的长的长及离心率及离心率.
6、七、让我们继续研究七、让我们继续研究请观察双曲线的图象和矩形对角线请观察双曲线的图象和矩形对角线,有何特征？有何特征？双曲线双曲线 x2/a2-y2/b2=1(a0、b0)的各支向外延伸的各支向外延伸时，与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近时，与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近.请思考：结论正确吗请思考：结论正确吗?F2 yB1A2A1B2 0 xF1（一）、我们共同来设计一个方案：（一）、我们共同来设计一个方案：八、我们一起来证明八、我们一起来证明 1、由双曲线的对称性我们只需研究第一象限的情形；、由双曲线的对称性我们只需研究第一象限的情形；2、如何说明如何说明双曲线双曲线 x2/a2-y
7、2/b2=1在第一象限内与矩形的对角线所在第一象限内与矩形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交呢？在的直线逐渐接近且不相交呢？M(x,y)Q Q（2）如何说明）如何说明|MQ|逐渐减小且不等于逐渐减小且不等于0呢？呢？0 xyb ba aLN(x,Y)N(x,Y)（3）如何证明）如何证明|MN|逐渐减小且不等于逐渐减小且不等于0呢？我呢？我们可用方程的思想解决：们可用方程的思想解决：|MN|=Y-y，求出，求出M、N点坐标即可点坐标即可.为此我们过点为此我们过点M作一条直线作一条直线L与与y轴平行，交轴平行，交矩形对角线与矩形对角线与N点，坐标记为点，坐标记为N（x，Y）.我我们需证明们需证明N
8、点在点在M点上方，即证点上方，即证y Y.又又|MQ|MN|，所只需证明，所只需证明|MN|逐渐减小且逐渐减小且不等于不等于0即可即可.（1）我们在第一象限内双曲线图象上任取一点）我们在第一象限内双曲线图象上任取一点M（x,y），过），过M点向矩形的对角线点向矩形的对角线y=bx/a引垂线，垂足为引垂线，垂足为Q点。我们只需说点。我们只需说明明|MQ|逐渐减小且不等于逐渐减小且不等于0即可即可.a a)(x xa ax xa ab by y2 22 2x xa ab bY Y 2 22 2a ax xa ab by y2 2x xa a1 1x xa ab bx xa ab bY Y（二）、我
9、们来证明二）、我们来证明 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部分的方程可写为分的方程可写为0 xyN(x,Y)N(x,Y)Q QM(x,y)y yY YMMNN)a ax x(x(xa ab b2 22 2)a ax x(x(x)a ax x)(x)(xa ax x(x(xa ab b2 22 22 22 22 22 2)a ax x(x(xabab2 22 2 在该式子中在该式子中x(xa)逐渐增大时，逐渐增大时，|MN|逐渐减小且不等于逐渐减小且不等于0.又又|MQ|MN|，所以，所以|MQ|逐渐减小且不等逐渐减小且不等于于0.即双曲线即双曲
10、线 x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩在第一象限内与矩形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交.在其在其它象限内，我们可类似证明它象限内，我们可类似证明.yN(x,Y)N(x,Y)M(x,y)0 x Q Q（三）、请注意：（三）、请注意：1、当焦点在、当焦点在y轴上时也可类似证明具有同样性质；轴上时也可类似证明具有同样性质；2、我们把两条直线、我们把两条直线 y=bx/a 叫做双曲线的叫做双曲线的渐近线渐近线.3、当焦点在、当焦点在x轴上时，方程为轴上时，方程为 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，渐，渐 近线方程为近线方程为y=bx/a；当焦点在
11、当焦点在y轴上时，方程为轴上时，方程为y2/a2-x2/b2=1(a0,b0)，渐近，渐近 线方程为线方程为y=ax/b.九、动脑九、动脑筋筋1 1、如何求双曲线的渐近线？、如何求双曲线的渐近线？例：例：求下列双曲线求下列双曲线 的渐近线的渐近线 （1 1）9y2-16x2=144；（2 2）9y2-16x2=-144 .规律总结：规律总结：（1）求矩形对角线所在的直线方程；）求矩形对角线所在的直线方程；解答：解答：（1）y=4x/3，（2）y=4x/30yb ba a （2）化成标准式后再将）化成标准式后再将1换成换成0或直接将常数项换为或直接将常数项换为0.2、双曲线与其渐近线之间是否是一
12、对一关系？、双曲线与其渐近线之间是否是一对一关系？例：当渐近线方程为例：当渐近线方程为y=bx/a时，双曲线的标准方时，双曲线的标准方 程一定是程一定是x2/a2-y2/b2=1吗？为什么？吗？为什么？xy=bx/ay=-bx/a3、类比作椭圆的简图、类比作椭圆的简图,如何较规范地作出如何较规范地作出双曲线的图形？双曲线的图形？例：画出下列双曲线的图形例：画出下列双曲线的图形（1）9y2-16x2=144；（2）x2-y2=4.注注:实轴和虚轴等长的双曲线实轴和虚轴等长的双曲线 叫做等轴双曲线叫做等轴双曲线.0yxM-3 3 4-4十、让我们来共同回顾十、让我们来共同回顾 本节课我们共同学习了
13、那些内容：本节课我们共同学习了那些内容：椭圆 双曲线标准方程x2/a2+y2/b2=1(ab0)x2/a2-y2/b2=1(a0、b0)几何 图形 范围|x|a、|y|b x a 或 x -a对称性中心对称，轴对称 中心对称，轴对称顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0-b),B2(0,b)A1(-a,0)、A2(a,0)a,b,c的含义a(长半轴长)c（半焦距长）b（短半轴长）a2=b2+c2a（实半轴长）c（半焦距长）b （虚半轴长）a2=c2-b2离心率e定义焦距与长轴长的比 e=c/a 0e1B2B1yxA2A1 0F1F2yF2B1A2A1B2 0 xF1X=aX=-a标准方程
14、x2/a2-2/b2=1(a0,b0)y2/a2-x2/b2=1(a0、b0)几何 图形 范围 x a 或 x -a y a 或 y -a 对称性 中心对称，轴对称中心对称，轴对称 顶 点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)a、b、c的含义a（实半轴长）c（半焦距）b（虚半轴长）a2=c2-b2a（实半轴长）c（半焦距长）b（虚半轴长）a2=c2-b2 离心率e焦距与实轴长的比 e=c/a e1焦距与实轴长的比 e=c/a e1yF2B1A2A1B2 0 xF1X=aX=-a yx oA2A1 B1B2F1 F2 双曲线的渐近线双曲线的渐近线yF2 yx oA2A1
15、 B1B2F1 F2 当焦点在当焦点在x轴上时，方程为轴上时，方程为 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，渐，渐 近线方程为近线方程为y=bx/a；当焦点在当焦点在y轴上时，方程为轴上时，方程为 y2/a2-x2/b2=1(a0,b0)，渐近，渐近 线方程为线方程为y=ax/b.B1A2A1B2 0 xF1X=aX=-a 1 1、离心率、离心率e e的变化对双曲线图形有何影响？的变化对双曲线图形有何影响？如何解释？如何解释？十一、课后请你思考题十一、课后请你思考题0yb ba aF1CF2x0ye1e2e3e4 2、如图，双曲线和椭圆的离心率分别为如图，双曲线和椭圆的离心率分别为e1、e
16、2、e3、e4,试比较试比较e1、e2、e3、e4 的大小的大小.再见!85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶
17、行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色
18、的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物
19、，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想
20、延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每
21、天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去
22、行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动
23、力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
