1、函数的概念与性质函数的概念与性质奇、偶函数在对称区间上的单调性1.(1)已知函数y=f(x)在R上是奇函数,且在(0,+)是增函数.那么y=f(x)在它的对称区间(-,0)上单调性如何?提示:奇函数的图象关于坐标原点对称,所以在两个对称的区间上单调性相同.即y=f(x)在它的对称区间(-,0)上单调递增.(2)你能用函数单调性的定义证明上面的结论吗?提示:x1,x2(-,0),且x1-x20,y=f(x)在(0,+)上是增函数,f(-x1)f(-x2).y=f(x)在R上是奇函数,f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),-f(x1)-f(x2),f(x1)f(x2).函数y=f
2、(x)在(0,+)上是增函数.(3)已知函数y=f(x)在R上是偶函数,且在(0,+)是减函数,y=f(x)在它的对称区间(-,0)上是增函数还是减函数?提示:偶函数的图象关于y轴对称,所以在两个对称的区间上单调性相反.即y=f(x)在它的对称区间(-,0)上单调递增.(4)你能用函数单调性的定义证明上面的结论吗?提示:x1,x2(-,0),且x1-x20,y=f(x)在(0,+)上是减函数,f(-x1)f(-x2).y=f(x)在R上是偶函数,f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),f(x1)f(-3)f(-2)B.f()f(-2)f(-3)C.f()f(-3)f(-2)D.f(
3、)f(-2)f(-3)解析:f(x)在R上是偶函数,f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).23,且f(x)在区间0,+)上为增函数,f(2)f(3)f(),f(-2)f(-3)f(3)f().又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)f(-3)f().(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在0,+)上为增函数,所以函数在R上是增函数,因为-3-2,所以f(-3)f(-2)f().随堂演练探究一探究二思维辨析应用应用函数的单调性与奇偶性解函数不等式函数的单调性与奇偶性解函数不等式例2已知定义在-2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上是减函
4、数,若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围.解:因为f(x)在区间-2,2上为奇函数,且在区间0,2上是减函数,所以f(x)在-2,2上为减函数.随堂演练探究一探究二思维辨析反思感悟反思感悟解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)0,先将f(a)+f(b)0变形为f(a)-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x)中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.随
5、堂演练探究一探究二思维辨析延伸探究延伸探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“0,2”改为“-2,0”,其他条件不变,求实数m的取值范围.解:因为函数为-2,2上的偶函数,又函数在-2,0上是减函数,所以函数在0,2上是增函数,不等式可化为f(|1-m|)f(1),则下列各式一定成立的是()A.f(0)f(3)C.f(2)f(0)D.f(-1)f(1),f(4)f(-1).答案:D探究一探究二思维辨析随堂演练2.若f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在(-,-1上是增函数,则()解析:f(-x)=f(x),f(2)=f(-2),答案:D 探究一探究二思维辨析随堂演练3.定义在
6、R上的偶函数f(x),对任意的x1,x20,+)(x1x2),有解析:由已知条件可知f(x)在0,+)上是减函数,所以f(3)f(2)f(1).再由偶函数的性质得f(3)f(-2)f(1).答案:f(3)f(-2)f(1)探究一探究二思维辨析随堂演练4.定义在R上的偶函数f(x),当x0时,f(x)是减函数,若f(1-m)f(m),则实数m的取值范围是.解析:f(x)是偶函数,当x0时,f(x)是减函数,不等式f(1-m)f(m)等价为f(|1-m|)|m|,探究一探究二思维辨析随堂演练5.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)0,求a的取值范围.解:f(3a-10)+f(4-2a)0,f(3a-10)-f(4-2a),f(x)为奇函数,-f(4-2a)=f(2a-4),f(3a-10)2a-4,a6.故a的取值范围为(6,+).
