1、n指定教材n王晓军等，保险精算原理与实务，中国人民大学出版社。n参考资料nKellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA，1991.nBowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition，SOA，2019.课程结构n基础n利息理论基础 生命表基础n核心n保费计算 n责任准备金计算n多重损失模型n保单的现金价值与红利n拓展n特殊年金与保险n寿险定价与负债评估n偿付能力与监管第一章利息理论基础利息理论要点n利息的度量n利息问题求解的原则n年金n收益率n分期偿还表与偿债基金第一节利息的度量第一节汉英名词对照n积累值
2、n现实值n实质利率n单利n复利n名义利率n贴现率n利息效力nAccumulated valuenPresent valuenEffective annual ratenSimple interestnCompound interestnNominal interestnDiscount ratenForce of interest 一、利息的定义n定义：n利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。n影响利息大小的三要素：n本金n利率n时期长度二、利息的度量n积累函数n总额函数n贴现函数n第N
3、期利息)(ta)(tA)(1ta0t1-K-1)(1ta)(ta)(tA)1()()(nAnAnI()I n利息度量一计息时刻不同n期末计息利率n第N期实质利率n期初计息贴现率n第N期实质贴现率)1()(nAnIin)()(nAnIdn例1.1 实质利率/贴现率n某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求 分别等于多少？2121ddii、例1.1答案 1211112222(0)1 0 0 0,(1)1 0 2 0,(3)1 0 5 0(1)(0)2 0 (3)(2)3 02 02%(0)1 0 0 02 01.9 6%(1)1 0 2 03 02.9
4、 4%(1)1 0 2 03 02.8 6%(2)1 0 5 0AAAIAAIAAIiAIdAIiAIdA利息度量二积累方式不同n线形积累n单利n单贴现n指数积累n复利n复贴现iniiittan)1(11)(iiitant)1()(dndddttan)1(11)(1dddtant)1()(1单复利计息之间的相关关系n单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。n单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。n 时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。n 时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。1t1t
5、例 证明对于0t6.036%,选择A。n否则选择B。5510(1 0.1)(1)(1 0.8)6.036%jj利息的再投资问题（一）例1.30:n某人一次性投资10万元进基金A。该基金每年年末按7%的年实质利率返还利息，假如利息可按5%实质利率再投资，问10年后这10万元的积累金额等于多少？例1.30的积累过程例1.31答案105%1000007000188045.3n jPiPss利息的再投资问题（二）n例1.32（例1.31续）n假如此人在10年期内每年年初都投资1万元进基金A，本金按7%年实质利率计息，而利息可按5%实质利率再投资，那么第10年末该这10万本金的积累金额又等于多少？例1.
6、32的积累过程基金收益率计算n基本符号nA=初始资金nB=期末资金nI=投资期内利息nCt=t时期的净投入（可正可负）nC=n 在b时刻投资1元，经过a时期的积累，产生的利息ttCa bi1ab币值加权方法(1)1(1)(1)1(1)(1)(2)1assume that net principal contributions occur at time t=,22(1)0.50.5()ttt ttttttttttIiACiiACiiACt iIiACtBACIthenIIIIiACtACABAIBAI 时间加权方法n原理时间 012-m-1m投资C1C2C3Cm-1金额B0B1B2Bm-1Bm
7、收益率j1j2j3jm-1jm基本公式1112100111,1,2,1(1)(1)(1)1kkkkmmmmBjkmBCijjjBBiBCBC 例1.32n某投资基金n1月1日，投资100000元n5月1日，该笔资金额增加到112000元,并再投资30000元n11月1日，该笔资金额降低为125000元，并抽回投资42000元。n次年1月1日，该资金总额为100000元。n请分别用币值加权的方法和时间加权的方法计算这一年该投资基金的年收益率。例1.32答案111 15 111 11 13000042000100000112000125000100000(1)120001200010.62%21(
8、1)100000300004200036(2)112000125000110000011200030000tttttttttimeCBdollarweightedIBACIiAtCtimeweightedBiBC 100000118.79%12500042000 币值加权和时间加权的比较n都是计算单位时期投资收益率的方法n币值加权方法重点考察的是整个初始本金经过一个单位时期综合投资之后的实际受益率。n时间加权方法得到的是在这种市场条件下能达到的理论收益率。它可以作为考察投资正确与否的某个指标。第五节分期支付与偿债基金第五节中英文单词对照n分期偿还方法n分期偿还表n偿债基金n偿债基金表nAmor
9、tization methodnAmortization schedulenSinking fundnSinking fund schedule债务偿还方式n分期偿还：n借款人在贷款期内，按一定的时间间隔，分期偿还贷款的本金和利息。n偿债基金：n借款人每期向贷款人支付贷款利息，并且按期另存一笔款项，建立一个基金，在贷款期满时这一基金恰好等于贷款本金，一次偿付给贷款者。分期偿还n常见分期偿还类型n等额分期偿还n不等额分期偿还n递增分期偿还n递减分期偿还n分期偿还五要素n时期 n每次还款额 n每次偿还利息n每次偿还本金n未偿还贷款余额（一）等额分期偿还。，每次偿还金额为率为年度末进行，年实际利在还
10、款年，每年还款一次，并。，还款期限为设贷款本金为等额分期偿还RinBikkknnRsiBBKRsiBBiRBBRiBBiRBBBiRBiRBiRBBB)1)1()()1()(,.,022011200011010（：期末未偿还本金余额为第第二期末：第一期末：余额分别为：因此各期末未偿还本金，则每期的利息分别为，。，分别为设每期期初的本金金额差额。减过去已经偿还本金的金余额等于借款本金扣在过去法下，未偿还本法计算：过去法和将来法两种方未来法nkRaBiknk,.,2,1,值，即总金额在计算时点的现是将来需要偿还的将来法未偿还本金余额证明两种方法的一致性iknknkknikkinikkkinRaiv
11、RiiiivRRsiRaRsiBBRaB11)1()1(1)1()1(00分期偿还表（等额贷款为例）时期每次还款额每次偿还利息每次偿还本金贷款余额0-11k1n10总计n-nanv1nv1na11knv1knvknav1vnanna例1.33n某借款人每月末还款一次，每次等额还款3171.52元，共分15年还清贷款。每年计息12次的年名义利率为5.04%。计算（1）第12次还款中本金部分和利息部分各为多少？（2）若此人在第18次还款后一次性偿还剩余贷款，问他需要一次性偿还多少钱？前18次共偿还了多少利息？例1.33答案33.29260)(1897.372172)2(63.160989.1561
12、0042.152.3171)1(180180%42.01818018121216911218012BBPIPaBPPIPvP（二）变额分期偿还金相等款方式为每期偿还的本最为常见的一种变额还则有次偿还的金额为，第设原始贷款金额是。还金额不等的还款方式变额分期偿还指每期偿nkkkkRvBRKB100偿债基金n常见偿债基金类型n等额偿债基金n不等额偿债基金n偿债基金六要素n时期 n每期偿还利息n每次存入偿债基金金额n每期偿债基金所得利息n偿债基金积累额n未偿还贷款余额（一）等额偿债基金njnjnsiBsBiBDIiBIsBDjD1,00000金额是则借款人每期支付的总为贷款人的利息数年数，若每期支付
13、给如果贷款期限是一个整，则恒为的利率，如果该偿债基金每期的金额相等，设为蓄款人每期向偿债基金储等额偿债基金方法下借jkjkjnjkjkjnjkjkjDsiBkjDskssBssBBDsBkDskD10100001,额应为期末实际支付的利息金借款人在第期所产生的利息为故偿债基金在第基金利率的乘积息为上期期末累积值与偿债基金每期产生的利期末贷款净额为故第为期末偿债基金的累积值第，故储蓄的金额都相等，为借款人每期向偿债基金等。方法所支付的利息也相两种，两种方法等价。而且下每期末支付金额相等偿还法时，偿债基金法与分期因此，当两者利率相等金额应为：则借款人每期支付的总。贷款的利率相等，即假设偿债基金的利
14、率与RaBsiBsiBDIjiininjn00011偿债基金与分期偿还的每期利息相等ikniniknnknnkninikinikjkjnjkiRaaaiBvviBiiiiBssiBssiBiBssBjiBjDsIij11010101010010011111111,利率：所以借款人实际支付的由于偿债基金k期末的贷款净值与分期偿还法中第k期末的未偿还本金余额相等ikninikninnknnkninikjnjkRaaaRavvBiiiBssBssB111111110000偿债基金表（贷款利率i，偿债基金利率j，贷款1元）时期支付贷款利息每期偿债基金储蓄每期偿债基金利息偿债基金积累值未偿还贷款余额0-
15、1102Kn10iii1n jsi1 jn jjss11jn jss1n js1n js1 jn jss2 jn jssk jn jss21jn jss1njn jjss1kjn jjss1k jn jss偿债基金利息本金分析n对偿债基金而言，第次付款的实际支付利息为：n第次付款的实际偿还本金为：(1)1kk jn jn jsjijiss(1)kn jjs例1.34nA曾借款1万元,实质利率为10%.A积累一笔实质利率为8%的偿债基金一偿还这笔贷款.在第10年末偿债基金余额为5000元,在第11年末A支付总额为1500元,问n1500中又多少是当前支付给贷款的利息?n1500中有多少进入偿债基
16、金?n1500中又多少应被认为是利息?n1500中有多少应被视为本金?n第11年末的偿债基金余额为多少?例1.34答案59004005005000)5(9006001500)4(6004001000:11400%85000:11)3(50010001500)2(1000%1010000)1(11111011IPBB次付款纯利息为所以第年积累利息为偿债基金第例1.35n(1)一位借款人向贷款人借L元贷款,在10年内以每年年末付款来偿还这一实质利率为5%的贷款,其付款方式为:第一年付款200元,第二年付190元,如此递减至第10年末付110元.求贷款金额L.n(2)假如该借款人贷款年限与付款方式与
17、(1)相同,但采用偿债基金形式还清贷款.在还款期内该借款人向贷款人每年支付实质利率为6%的利息,并以实质利率为5%的偿债基金以偿还贷款金额,求贷款金额L.例1.35答案81.1139%61)(10100)(10)%6100()2(83.122705.07217.71010)7217.7(100)(10100)1(%510%510%510%510%51005.01005.010sDssLDssLLDaaL（二）变额偿债基金00,iBRkRkjBkk储蓄额为期末向偿债基金缴纳的则借款人第的总金额为期末支付，借款人在第，贷款利率为设原始贷款本金为化。剩余还款余额都有所变的利息、偿还的金额、每期偿还有
18、变化。这时每期实际的金额人每期向偿债基金储蓄变额偿债基金是指借款knkkknkkjnnkkkjnnkknkjnnkknknkknkvRiRBjiifajijRisjRBsiBjRjiBRBBn1101100110001 (2.51)111111将上式变形得即贷款本金期末的累积值等于原始偿债基金在第nnnnnnnnnnnjnnjnjjjijijjjjjjjijijjjijjijijjjjiajijis)1(1)1(1)1()1()1()1()1(11)(11)1(111)1(1)(11151.2方程右边方程左边式的分母相同，即）的关键式求得前后两（第六节 债券价值nP债券的理论价格ni投资者要求
19、的收益率或市场利率nF债券的面值nC债券的偿还值nr债券的息票率nrF每期的息票收入ng债券的修正息票率，它是债券的息票收入rF与偿还值之间的比率，g=rF/Cnn截至到期日，息票的偿还次数nK偿还值按收益率i计算的现值nG债券的基价，基价按收益率i投资时得到的每期利息收入等于债券的息票收入一 基本公式nnnnttnnttCvrFaCvrFviCirFP11)1()1(二 溢价公式nnnnnnnaigCCPCPaigCaCirFCiaCrFaCvrFaP)()(1)()1(溢价价出售时，我们就称债券按溢超过其偿还值当债券价格变形，可得：对上面的基本公式进行三 基价公式nnnnnnnvGCGCv
20、vGCvGiaCvrFaPrFiGrF)()1(,代入基本公式可得基价即收入说必需的投资额，相等的利息了获得与息票收入债券的基价是投资者为四 Makeham公式)()(1KCigKCvCigCvCvivgCCvrFaPnnnnnn 例n债券的面值为1000元，年息票率为5，期限为6年，到期按面值偿还，投资者要求的年收益率为5.5%，试计算债券购买价格。02.975)(1 1000055.1/100050055.005.01000055.066055.06aigaPigrCF解：依题意，有例n假设两种债券的面值都为1000元，且期限相同，收益率都为2，其中一种债券的价格为1136.78元，年息票
21、率为2.5%，另一种债券的价格为P，年息票率为1.25%，试计算P。元元公式，有解：由83.794)1000(02.00125.088.45278.1136)1000(02.0025.01KKPKKKPMakeham例n某债券面值1000元，名义年息票率为9，半年支付一次，期限为10年，前5年每半年收益率为4，后5年每半年收益率为5，计算债券价值。（元）和，即债券价值为以上三者之元）（为：零时刻赎回债券的现值（元）个息票的现值为：零时刻剩余元）值为：年的息票在零时刻的现前46.10173.41474.23499.364(73.414)05.1()04.1100074.23404.14510(9
22、9.36445510101004.01004.010aa二 债券的账面价值n投资者购买债券相当于投资了一笔资金，该投资者将以市场利率进行累积。而发行人支付息票收入就相当于投资者收回了相应金额的投资，用投资累积值减去息票收入就可得到投资者的投资余额。我们定义投资者在该债券上的投资余额为债我们定义投资者在该债券上的投资余额为债券的账面值。券的账面值。整数息票支付周期的债券价格和账面值101000)(1)1()(1)1),1.,nnkkaigCCgiaigCCgiPBCgiPFrCgPBPBk（为在第一期末的账面价值单位息票收入，故债券同时投资者可获得（将累积到在第一期末，初始投资收入为每期息票投资
23、额它等于投资者在期初的初始账面值为，债券价格为账面值为期末领取息票收入后的设第CaigCBnaigCBkaigCCgiaigCCgiBBnnnknknn)(1)(1)(1)1()(1)1(22112期末的账面值为第期末的账面值为依此类推，可得第息票收入，即累积值减去末投资余额在本期末的期末的账面值为第一期第值。可以得到每期末的账面调整，就整两部分，再经过逐期利息收入和账面值的调入分解为出发，将每期的息票收我们可以从初始投资期期末的账面值为：第本期息票收入。比如，值减去值等于上期期末的累积可见，某期期末账面价0111)()1(PCgiBBCgiBBkkkkk110111001)(1)()(1)(
24、)1)()(1)(1 nnnnnnnkkaigCvigCaigCPBBvigCiaigCaigiCCgICgPaigiCiPiBIPkIk：设第一期末的账面值为整额为：设第一期对账面值的调等于第一期对应的利息收入调整额为期对账面值调整的，第期应得利息收入设第（二）任意时点的账面值值种方法可以得到其估计的应计息票收入。有两到时间是从时间任意时点的账面值，有到是从设式。面值也有类似的递推公类似地，任意时点的账的关系：支付日的账面值由如下）可得，相邻两个息票由公式（tFrFriBBkkBFriBCgiBBtttktktkkkk0)(1 t)()1(1)1()1(59.211111tFritBBitiFrFriiFrFrtiFrFrktkttt)1(1)1()(1)1()(,/1011种方法也称实践方法：收入均按单利计算，这和应计利息，初始账面值的累积值实践中，为了简化计算在单利方法下，有利息收入为：产生的应计这一本金在时间为那么在时间零的本金应的息票收入可以产生到时间时间在复利方法下，如果从
