1、解三角形（解三角形（解解答题答题）大数据之五大数据之五年年（2018-2022）高考真题高考真题汇汇编（新高编（新高考考卷与全国理卷与全国理科）科）一、解答题一、解答题1在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c5已 知 4=5，cos=3（）求 sin 的值；（）若 =11，求 的面积2记 的三个内角分别为 A，B，C，其对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c 为边长的三个23正三角形的面积依次为 1，2，3，已知 12+3=3，sin=1（1）求 的面积；（2）若 sinsin=2，求 b33记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 sinsin()=sinsin(
2、)（1）若 =2，求 C；（2）证明：22=2+2.4记 的内角，的对边分别为，已知 sinsin()=sinsin()（1）证明：22=2+2；（2）若 =5，cos=25，求 的周长315在 中，sin2=3sin（I）求 ：（II）若 =6，且 的面积为 6 3，求 的周长1+1+26记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 =2.（1）若 =2求 B；3，2（2）求 2+2 的最小值.27已知点 A(2，1)在双曲线 C：2221=1(1)上，直线 交 C 于 P，Q 两点，直线AP，AQ 的斜率之和为 0.（1）求 的斜率；（2）若 =2 2，求 的面积.8在 中，角
3、A，B，C 所对的边长分别为,=+1,=+2（1）若 2sin=3sin，求 的面积；（2）是否存在正整数 a，使得 为钝角三角形?若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理 由39已知在 中，=2cos，=2 1求 的大小；2在下列三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求出 边上的中 线的长度=2；周长为 4+2 3；面积为 =3 3；410在 ，角，所对的边分别为，已知 sin：sin：sin=2：1：2，=2 1求 a 的值；2求 cos 的值；（3）求 sin(2)的值611.记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a.，b.，c,已知 2=ac,点 D 在边 AC 上，
4、BDsinABC=asinC.（1）证明：BD=b：（2）若 AD=2DC.求 cosABC.12.中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC（1）求 A；（2）若 BC=3，求 周长的最大值.13在=3，=3，=3 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问 题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在 ，它的内角,的对边分别为,，且 =3，=6，?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分14在 中，角,所对的边分别为,已知 =2 2,=5,=13（）求角 C 的大小；（）求 sin 的值；（）求 sin(2+4)的值15在ABC 中，角 A，
5、B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 =3,=2,=45（1）求 sin 的值；（2）在边 BC 上取一点 D，使得 cos=4，求 tan 的值516在 中，+=11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）a 的值：（）sin 和 的面积7条件：=7，cos=1；条件：cos=1cos=9，816注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分17.在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2bsinA3 a（）求角 B；（）求 cosA+cosB+cosC 的取值范围18.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c3（1）若 a=3c，b=
6、2，cosB=2，求 c 的值；（2）若sin=cos2，求 sin(+2)的值19在 中，内角,所对的边分别为,.已知 +=2，3sin=4sin.（）求 cos 的值；（）求 sin(2+6)的值.2+20ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin=sin1求 B；2若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围.221在ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-1.I.求 b，c 的值：II.求 sin（B+C）的值.222在ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-1.I.求 b，c 的值；II.求 sin（B-C）的值.23ABC 的内角 A
7、，B，C 的对边分别为 a，b，c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC。（1）求 A；（2）若2+=2,求 sinC.24在平面四边形 中，=90，=45，=2，=5.（1）求 cos；（2）若 =2 2，求 .25在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 sin=cos(6).（）求角 B 的大小；（）设 a=2，c=3，求 b 和 sin(2)的值.726在ABC 中，a=7，b=8，cosB=-1，（）求A：（）求 AC 边上的高。答案解析部答案解析部分分，551【答案】解：（）由于 cos=3sin 0，则 sin=4.由正弦定理可知 4sin=
8、5sin，则 sin=5.5552（）因为 sin=4 sin=5，则 ，所以 1)上，所以有 4 1=1解得 2=2，所以双曲线：22=12设直线：=+，(1，1)，(2，2)，联立2 2=12=+消去 y 得到(122)24222=0显然 122 0，否则不可能有两个交点，而 =(4)24(122)(222)=8(2+122)0，由韦达定理得+121 2=4，=222122122因为直线 AP，AQ 的斜率之和为 0，所以 0=11+21=(11)(22)+(21)(12)1222(12)(22)所以 1222 所以(11)(22)+(21)(12)=0即(1+1)(22)+(2+1)(1
9、2)=0，所以有 212+(12)(1+2)4(1)=0，将韦达定理代入化简得(+1)(2+1)=0，而当 2+1=0，此时直线 为 =+12，易知恒过定点(2，1)，故舍去，所以 =1，此时满足 0.（2）又由（1）易知 1+2=4，12=22+2，且|12|=(1+2)2412=2 2 28依题可设 AP 斜率为 1 ，斜率为-1 ，1+1 (1)则由夹角公式知（后面补充证明）2 2=tan=11，由对称性易知，只需考虑 1 0 的情况就行，12所以有22+1 2=0，解得 1=2 或 1=2（舍）.而 1=1111=1(12)，同理 21=1(22)，12而 =(12，11)，=(22，
10、21)，1=2|(12)(21)(22)(11)|12=|1(12)(22)1(22)(12)|=|(12)(22)|22 2=|122(1+2)+4|=2|24+3|2另一方面，联立1=1+11=1(12)=11,(2)+1+1，（1）同理 =1(22)+1+2，（2）将以上两式相加，得 2=1(12)+2+(1+2)，3解 得 =11，所以 =2|24+3|=16 298【答案】（1）因为 2sin=3sin，则 2=2(+2)=3，则 =4，故 =5，=6，288cos=2+22=1，所以，为锐角，则 sin=1cos2=3 7，因此，=11228sin=4 5=3 715 74；（2）
11、显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，由余弦定理可得 cos=22(+1)2+222+(+1)2(+2)2223=2(+1)0，解得 1 3，则 0 +2，可得 1，故 =2.9【答案】（1）=2cos，则由正弦定理可得 sin=2sincos，3222 sin2=sin 3=2，=3，(0,3)，2 (0,3)，2=，解得 =；36（2）若选择：由正弦定理结合（1）可得=sin sin312=2=3，与 =2 矛盾，故这样的 不存在；6若选择：由（1）可得 =，设 的外接圆半径为 ，则由正弦定理可得 =2sin6=，=22=3，sin 3则周长 +=2+3=4+2 3，解得 =2，则 =2,
12、=2 3，由余弦定理可得 边上的中线的长度为：62(2 3)+122 2 3 1 cos =7；6若选择：由（1）可得 =，即 =，则=2211 2 33 324sin=，解得 =3，则由余弦定理可得 边上的中线的长度为：2 2+(2)2 2 cos 33+4+3 222=33=21.1 0 【答案】（1）因为 sin：sin：sin=2：1：2，由正弦定理可得：=2：1：2，=2，=2 2，=2；（2）由余弦定理可得 cos=2+22=8+24=3；22 2 2 2444（3）cos=3，sin=1cos2=7，448 sin2=2sincos=2 7 3=3 7，cos2=2cos21=2
13、 9 1=1，66681所 以 sin(2)=sin2cos cos2sin=3 7 3 282161681=3 211.1 1【答案】（1）在 中，=sinsin，sin=sin，sin =sin，联立 得 =，即 =，2=，=（2）若 =2，中，cos=2+222 ，中，cos=2 2+(3)22 3，=，(3)(2+22)=32+22，3整理得 2+22=32+232，211 22 2 3 +=0，2=，332 6211+32=0，即 =或 =，33若 =时，2=2，则 cos=2+222 2+2 232 27 232 2=93=9=76（舍），32223 2若 =，=，则 cos=2
14、2+229 2+2 3 27 23232 7 12=42=4=.1 2【答案】（1）解：由正弦定理可得：222=，cos=2+22=1，2 2 (0,)，=2.3（2）解：由余弦定理得：2=2+22 cos=2+2+=9，即(+)2 =9.(+2)2（当且仅当 =时取等号），2 9=(+)(+)2+2()2342=(+)，解得：+2 3（当且仅当 =时取等号），周长 =+3+2 3，周长的最大值为 3+2 3.13【答案】解：解法一：由 =3 可得：=3，不妨设 =3,=(0)，则：2=2+22=32+22 3 3=2，即 =.2选择条件的解析：据此可得：=3 =32=3，=1，此时 =1.选
15、择条件的解析：据此可得：=2+22=2+232=1，22221(2)22则：=1 2=3，此时：=3=3，则：=2 3.选择条件的解析：可得 =1，=，与条件 =3 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：=3,=6,=(+),=3sin(+)=3sin(+6),212=3sin(+)=3 3+3，36=3,=3,=2,=,若选，=3,=3=3,32=3,c=1;22 2 2 52若选，=3,则 3=3,=2 3;2若选,与条件 =3 矛盾.1 4【答案】解：（）在 中，由 =2 2,=5,=13 及余弦定理得cos=2+22=8+2513=2，4又因为 (0,)，所以 =；（）在 中，由 =4
16、，=2 2,=13 及正弦定理，可得 sin=sin2 2 2=2=132 13；13（）由 0，所以 cos=2sin 0，从而 cos=2 5.5因此 sin(+2)=cos=2 55sinsin1 9【答案】解：在 中，由正弦定理 =，得 sin=sin，又由 3sin=43423sin，得 3sin=4sin，即 3=4.又因为 +=2，得到 =，=.由余弦定理可得 cos=2+22=2+4 2 16 2992122 3 4=.（）由（）可得 sin=1cos2=15，从而 sin2=2sincos=15，cos2=cos2488sin2=7，故sin(2+)=sin2cos+cos2
17、sin=153716668282=3 5+7162+2 0【答案】（1）解：由题设及正弦定理得 sinsin=sinsin 2+因为 sinA 0，所以 sin=sin 由 +=180，可得 sin+2=cos2，故 cos=2sin cos222 因为1cos2 0，故 sin2=2，因此 B=60（2）由题设及（1）知ABC 的面积 =3 42tansinsin2由正弦定理得 =sin=sin(120)=3+1 由于ABC 为锐角三角形，故 0A90，0C90，由（1）知 A+C=120，所以 30C90，故 12 2，从 而 3 3 82因此，ABC 面积的取值范围是(3,3)8 22
18、1【答案】解：（I）根据余弦定理 2=2+22cos，12故(2+)2=9+22 3 ()，解得 c=5，b=7；22（II）根据 cos=1，得 sin=3，sinsin根据正弦定理，=，3214sin147得=5，解得 sin=5 3，所以 cos=11，2所以 sin(+)=sincos+cossin=3 111)14+(214145 3=3 3.2 2【答案】解：（I）根据余弦定理 2=2+22cos，12故(2+)2=9+22 3 ()，解得 c=5，B=7；22（II）根据 cos=1，得 sin=3，sinsin根据正弦定理，=，3214sin147得=5，解得 sin=5 3，
19、所以 cos=11，2所以 sin()=sincoscossin=3 111142()5 3=16 3=4 3.1428723【答案】（1）解：(sinsin)2=sin2sinsin,222sin +sin sin =sinsin,222由正弦定理得：+=,由余弦定理2233得：cos=2+22=1,=或=5,在三角形中，0 ,=3（2）解：32+=2，A=由正弦定理得：2sin+sin=2sin+sinsin+cossin=2sin,23代入 A 得：6+sin（2-C）=2sinC 解得：sin（2 ，2C-6）=C-6=4C=4+6sinC=（4 6+）2=sin4cos6+=cos4
20、sin6=+=2 3 2 1 6+222242 4【答案】（1）解：在 中，由正弦定理得 =.455由题设知，5=2，所以 =2.由题设知，90，所以 =2551 2=23.=25+82 5 2 2（2）解：由题设及（1）知，=2.5在 中，由余弦定理得2=2+22 25=25.所以 =5.sin2 5【答案】解：.解：（）中，由正弦定理 =sinsin=sin=cos(6)sin=cos(6)6sin=cos()tan=3又 0 =33（）中，a=2，c=3，=则 2=2+22cos=7=73217 2由 sin=cos(6)sin=7=，所以 =。2（）设 AB 边上的高为 h，则 h=asinC.又 sinC=(+)=sincos+sincos=3 ()+1172 4 3=3 3，714而 h=7 3 3=3 3。142
