1、广东省2022届高三数学三模试卷一、单选题1已知集合A=x|ex1，B=x|lnx0，则（）AAB=x|x0，b0)，F1，F2分别是双曲线的左右焦点，M是双曲线右支上一点连接MF1交双曲线C左支于点N，若MNF2是以F2为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A2B3C2D56将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温信息登记维持秩序现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有（）A120种B240种C360种D480种7已知函数f(x)=3cos(x23)(0)，且f（x）在0，有且仅有3个零点，则的取值范围是（）A53，83）B53，1
2、36）C76，136）D136，196）8在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数公式和定理，如：欧拉函数(n)（nN）的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：(1)=1；(3)=2（与3互素有12）；(9)=6（与9互素有124578）.记Sn为数列n(3n)的前n项和，则S10=（）A192310+12B212310+12C194311+34D214311+14二、多选题9一部机器有甲乙丙三个易损零件，在一个生产周期内，每个零件至多会出故障一次，工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如下柱状
3、图，由频率估计概率，在一个生产周期内，以下说法正确的是（）A至少有一个零件发生故障的概率为0.8B有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大C乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大D已知甲零件发生了故障，此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大10“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且OP=2，弦ACBD均过点P，则下列说法正确的是（）A(OD+OB)DB=0BPAPC为定值COAOC的取值范围是-2，0D当ACBD时，
4、ABCD为定值11已知a，bR，e是自然对数的底，若b+eb=a+lna，则ab的取值可以是（）A1B2C3D412在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB=1，点P满足CP=CD+CC1，其中0，1，0，1，则下列结论正确的是（）A当B1P/平面A1BD时，B1P可能垂直CD1B若B1P与平面CC1D1D所成角为4，则点P的轨迹长度为2C当=时，|DP|+|A1P|的最小值为2+52D当=1时，正方体经过点A1PC的截面面积的取值范围为62，2三、填空题13在数列an中，a3=3，3an+1=an，Sn为an的前n项和，则S4= .14已知tan=2，则sin(24)= .15已知椭圆C的中
5、心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得|PF1|=6|PF2|，写出C的一个标准方程： .16已知函数f(x)=1+2log2(1+x)（x(1，+)）.（1）x(1，+)，f(1+2x)f(x)= ；（2）若m，n满足f(m1)+f(n2)=f(n)1，则m+n的最小值是 .四、解答题17已知ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.（1）求角A的大小；（2）设点D为BC上一点，AD是ABC 的角平分线，且AD=2，b=3，求ABC 的面积.18如图，已知四棱锥P-ABCD
6、的底面为矩形，AB=2，AD=22，顶点P在底面ABCD的正投影为AD的中点O.（1）求证：平面PAC平面POB（2）若平面PAB与平面PCD的交线为l，PD=2，求l与平面PAC所成角的大小.19已知数列an的前n项和Sn，a1=1，an0，anan+1=4Sn1.（1）计算a2的值，求an的通项公式；（2）设bn=(1)nanan+1，求数列bn的前n项和Tn.20学习强国APP从2021年起，开设了一个“四人赛”的答题模块，规则如下：用户进入“四人赛”后共需答题两局，每局开局时，系统会自动匹配3人与用户一起答题，每局答题结束时，根据答题情况四人分获第一二三四名.首局中的第一名积3分，第二
7、三名均积2分，第四名积1分；第二局中的第一名积2分，其余名次均积1分，两局的得分之和为用户在“四人赛”中的总得分.假设用户在首局获得第一二三四名的可能性相同；若首局获第一名，则第二局获第一名的概率为15，若首局没获第一名，则第二局获第一名的概率为13.（1）设用户首局的得分为X，求X的分布列；（2）求用户在“四人赛”中的总得分的期望值.21已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，且经过点(-1，32).（1）求椭圆E的标准方程；（2）设椭圆E的右顶点为A，点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左右顶点的动点，直线l：x=t(ta)交x轴于点P，直线PB交椭圆E于另一点C，直线B
8、A和CA分别交直线l于点M和N，若OAMN四点共圆，求t的值.22设函数f(x)=x2ax+2sinx.（1）若a=1，求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；（2）若f(x)在区间(0，2)上有唯一零点，求实数a的取值范围.答案解析部分1【答案】B2【答案】D3【答案】C4【答案】C5【答案】B6【答案】B7【答案】D8【答案】A9【答案】A,D10【答案】A,B,D11【答案】C,D12【答案】A,B,D13【答案】4014【答案】721015【答案】x24+y29=1（答案不唯一）16【答案】（1）2（2）7217【答案】（1）解：在ABC中，由正弦定理及2asinA=(2b+c)sin
9、B+(2c+b)sinC得：a2b2bc=c2，.由余弦定理得cosA=b2+c2a22bc=12，又0A，所以A=23（2）解：AD 是ABC的角平分线，BAD=DAC=3，由SABC=SABD+SCAD可得12bcsin23=12cADsin3+12bADsin3因为b=3，AD=2，即有3c=2c+6，c=6，故SABC=12bcsinA=123632=93218【答案】（1）证明：在RtABC中，tanACB=22，在RtAOB中，tanABO=22，则ACB=ABO，于是ACB+OBC=2，所以ACBO因为PO平面ABCD，AC平面ABCD，则ACPO；又POBO=O，PO，OB平面
10、POB，所以AC平面POB，而AC平面PAC，所以PAC平面POB（2）解：因为AB/CD，AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB/平面PCD，.又平面PAB平面PCD=l，AB平面PCD，所以l/AB.则l与平面PAC所成角的正弦值等于AB与平面PAC所成角的正弦值.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），P（0，2，2），B（2，0，0），C（2，22，0），所以AP=(0，2，2)，AC=(2，22，0)，AB=(2，0，0).设平面PAC的一个法向量为n=(x，y，z)，则nAP=0nAC=0，即2y+2z=02x+22y=0，即x=2yz=y，令y
11、=1，得n=(2，1，1).设l与平面PAC所成角为，则sin=|cos|=|nAB|n|AB|=2222=22，.又因为0，2，所以l与平面PAC所成角为4.19【答案】（1）解：当n=1时，a1a2=4a11，解得a2=3由题知anan+1=4Sn1an+1an+2=4Sn+11由得an+1(an+2an)=4an+1，因为an0，所以an+2an=4所以数列an的奇数项是以a1=1为首项，以4为公差的等差数列；偶数项是以a2=3为首项，以4为公差的等差数列；当n为奇数时，an=1+(n+121)4=2n1当n为偶数时，an=3+(n21)4=2n1所以an的通项公式an=2n1.（2）解
12、：由（1）可得bn=(1)n(2n1)(2n+1).当n为偶数时，Tn=a1a2+a2a3a3a4+a4a5+(1)nanan+1=a2(a1+a3)+a4(a3+a5)+an(an1+an+1)=4(a2+a4+an)=4n2(3+2n1)2=2n(n+1)当n为奇数时，当n=1时，T1=3当n3时，Tn=Tn1anan+1=4n12(3+2n3)2(2n1)(2n+1)=2n22n+1经检验，T1也满足上式，所以当n为奇数时，Tn=2n22n+1综上，数列bn的前n项和Tn=2n2+2n，n=2k，kN*2n22n+1，n=2k1，kN*20【答案】（1）解：X的所有可能取值为3，2，1，
13、P(X=3)=14，P(X=2)=14+14=12，P(X=1)=14其分布列为X321P141214（2）解：方法一：设总得分为Y，则Y的取值为5，4，3，2，则P(Y=5)=1415=120，P(Y=4)=1445+1213=1130P(Y=3)=1223+1413=512，P(Y=2)=1423=16Y的分布列为Y5432P120113051216所以E(Y)=5120+41130+3512+216=3.3.方法二：E(X)=314+212+114=2.设第二局得分为Y，则Y的取值为2，1.则有P(Y=2)=1415+3413=310，P(Y=1)=1445+3423=710化简得Y的分
14、布列为Y21P310710E(Y)=2310+1710=1.3，四人赛总分期望为E(X)+E(Y)=2+1.3=3.321【答案】（1）解：依题意：ca=121a2+94b2=1a2b2=c2，解得：a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为x24+y23=1；（2）解：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，点B为椭圆E上异于左右顶点的动点，则直线BC不与x轴重合，则可设BC为x=my+t，与椭圆方程联立得(3m2+4)y2+6mty+3t212=0，则=36m2t212(3m2+4)(t24)0，可得t22，故t(t2)=34(t+2)(t2)，解得t=622【答案】（1）解：当a=1时，f(x)
15、=x2x+2sinx，f(x)=2x1+2cosx；令g(x)=2x1+2cosx，则g(x)=22sinx0，g(x)在R上单调递增，又g(0)=1，g(x)=0，即f(x)=0有唯一解：x=0，又f(0)=0，所求切线方程为：y=x.（2）解：f(x)=x2ax+2sinx，f(x)=2xa+2cosx；令h(x)=2xa+2cosx，则h(x)=22sinx0，h(x)在R上单调递增，h(a32)=2cosa3230，x0(a32，a+32)，使得h(x0)=0，则当x(，x0)时，h(x)0，即f(x)0，即f(x)0；f(x)在(，x0)上单调递减，在(x0，+)上单调递增，又f(0)=0，若f(x)在(0，2)上有唯一零点，则x00f(2)0，f(0)=a+20，解得：2a2，即实数a的取值范围为(2，2).
