1、河南省开封市杞县2022届高中高三理数第一次摸底试卷一、单选题1已知复数z满足(1+2i)z1i=0，则z的虚部为（）A15B15iC15D352已知集合E=x|x=n+12，nZ，F=x|x=n2+1，nZ，则(RF)E=（）ABECFDZ3某市有11名选手参加了田径男子100米赛的选拔比赛，前5名可以参加省举办的田径赛，如果各个选手的选拔赛成绩均不相同，选手小强已经知道了自己的成绩，为了判断自己能否参加省举办的田径赛，他还需要知道这11名选手成绩的（）A平均数B中位数C众数D方差4已知命题p：x0R，ex00，则下列命题中为真命题的是（）ApqBp(q)C(pq)D(p)q52021年10
2、月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功.2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，中国航天又站在了一个新的起点已知火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料质量M（单位：kg）、火箭质量m（单位：kg）的函数关系为v=2ln(1+Mm)，若火箭的质量为3000kg，最大速度为9km/s，则加注的燃料的质量约为（）（
3、参考数据：ln904.5）A243tB244tC267tD273t6已知项数为n的等差数列an的前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则n=（）A48B36C30D267在区间0，1上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于12的概率为（）A34B12C14D188已知双曲线C：y2a2x2b2=1(a0，b0)，A1，A2分别为C的上、下顶点，点P为C上异于A1和A2的一点，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，若k1k2=45，则C的渐近线方程为（）Ay=52xBy=255xCy=54xDy=53x9已知0b0)的左、右焦点，A为C上位于第一象限内的一点，AF1与y轴交于
4、点B，若AF2B=3F1AF2=90，则C的离心率为 16实数x，y满足ex2(x3y1)e3y，则x3y的值为 三、解答题17在全民抗击新冠肺炎疫情期间，某市教育部门开展了“停课不停学”活动，为学生提供了多种网络课程资源活动开展一个月后，某学校随机抽取了高二年级的学生若干进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：小时），将样本数据分成3，4)，4，5)，5，6)，6，7)，7，8五组（全部数据都在3，8内），并整理得到如图所示的频率分布直方图（1）已知该校高二年级共有800名学生，根据统计数据，估计该校高二年级每天学习时间不低于5小时的学生人数；（2）利用统计数据，估计该校高二年级学生
5、每天平均学习时间；（3）若样本容量为40，从学习时间在3，5)的学生中随机抽取3人，X为所抽取的3人中来自学习时间在3，4)内的人数，求X的分布列和数学期望18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosCa=csinB（1）求角B；（2）若b=5，_求ABC的面积从sinC=55，sinA=1010这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答该问题注：如果按照两个条件分别解答，则按第一个解答计分19如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为菱形，且ABC=60，PA平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点（1）求证：平面AEF平面PAD；（2）若G为PD的中点，AB=
6、AP=2，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为15？若存在，求出PFPC的值；若不存在，请说明理由20已知抛物线C：y2=2px(0p0，若f(x)在定义域R上是增函数，求实数a的取值集合.22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+cos，y=sin（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=2sin.直线l的极坐标方程为=3(R).l与C1，C2分别交于A，B两点（异于点O）.（1）求C1的极坐标方程；（2）已知点M(2，0)，求MAB的面积.23已知关于x的不等式|x1|x+2|m+2|有解.（1）求实数m的取值范围
7、；（2）设M是m的最大值，若a1，b1，c1，且(a1)(b1)(c1)=M，求证：abc8.答案解析部分1【答案】C2【答案】A3【答案】B4【答案】D5【答案】C6【答案】B7【答案】C8【答案】B9【答案】B10【答案】A11【答案】B12【答案】D13【答案】6014【答案】615【答案】31216【答案】2317【答案】（1）解：根据统计数据估计该校高二年级每天学习时间不低于5小时的学生人数为800(0.50+0.25+0.05)=640所以估计该校高二年级每天学习不低于5小时的人数为640人（2）解：样本中学生每天学习时间的各组频率分别为0.05，0.15，0.50，0.25，0.
8、05样本中学生每天平均学习时间为x=3.50.05+4.50.15+5.50.50+6.50.25+7.50.05=5.6（小时）所以估计该校高二年级学生每天平均学习时间为5.6小时（3）解：由题意知样本中每天学习时间不足4小时的人数为400.05=2，样本中每天学习时间在4，5)上的学生人数为400.15=6所以X的取值为0，1，2，所以P(X=0)=C63C83=514，P(X=1)=C21C62C83=1528，P(X=2)=C22C61C83=328，故X的分布列为X012P5141528328所以E(X)=0514+11528+2328=3418【答案】（1）解：由正弦定理，得sin
9、BcosCsinA=sinCsinB， 由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，得cosBsinC=sinCsinB，由0C，得sinC0，所以cosB=sinB，显然cosB0，所以tanB=1，由0B，得B=34（2）解：选sinC=55 由正弦定理，得csinC=bsinB，即c=bsinCsinB=55522=2法一：由余弦定理，得b2=a2+c22accosB，即5=a2+222acos34，整理，得a2+2a3=0，解得a=3（舍去）或a=1所以ABC的面积S=12acsinB=121222=12法二：由C为锐角及sinC=55，得cosC=255，所以s
10、inA=sin(C+34)=22(25555)=1010，所以ABC的面积S=12bcsinA=12521010=12选sinA=1010由正弦定理，得asinA=bsinB，即a=bsinAsinB=5101022=1法一：由余弦定理，得b2=a2+c22accosB，即5=c2+12ccos34，整理，得c2+2c4=0，解得c=22（舍去）或c=2所以ABC的面积S=12acsinB=121222=12法二：由A为锐角及sinA=1010，得cosA=31010，所以sinC=sin(A+34)=22(310101010)=55，所以ABC的面积S=12absinC=121555=121
11、9【答案】（1）证明：连接AC，因为底面ABCD为菱形，ABC=60，所以ABC是正三角形，E是BC的中点，AEBC，又AD/BC，AEAD， PA平面ABCD，AE平面ABCD，PAAE，又PAAD=A，AE平面PAD，又AE平面AEF，所以平面AEF平面PAD（2）解：由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，直线AE，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设PF=tPC(0t1)，则A(0，0，0)，E(3，0，0)，C(3，1，0)，P(0，0，2)，G(0，1，1)，F(3t，t，22t)，所以AE=(3，0，0)，AF=(3t，t，22t)，EG=(3，1，
12、1)设平面AEF的法向量n=(x，y，z)，则nAE=0，nAF=0，即3x=0，3tx+ty+(22t)z=0，令z=t，得平面AEF的一个法向量n=(0，2t2，t)设EG与平面AEF所成的角为，则sin=|cosEG，n|=|EGn|EG|n|=|2t2+t|5(2t2)2+t2=|3t2|55t28t+4=15，解得t=12或t=45，即存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为15，且PFPC=12或PFPC=4520【答案】（1）解：由点M(x0，22)在C上，得(22)2=2px0，解得x0=4p，由抛物线的定义及|MF|=3，得x0+p2=4p+p2=3，解得p=2或p
13、=4，结合0p0，直线l与C一定有两个交点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=4my1y2=4，设AB中点为N(x0，y0)，则y0=y1+y22=2m，x0=my0+1=2m2+1，即N(2m2+1，2m)，线段AB的中垂线方程为y2m=m(x2m21)，令x=0，得y=2m3+3m，即P(0，2m3+3m)，所以|PN|=(2m2+10)2+(2m2m33m)2=1+m2(2m2+1)，又|AB|=(x1+1)+(x2+1)=m(y1+y2)+4=4m2+4，由|AB|=2|PN|，得4m2+4=21+m2(2m2+1)，解得m2=32，所以|AB|=4m2+4=432+
14、4=23+421【答案】（1）解：当a=0时，f(x)=exx，求导得f(x)=ex1，令f(x)=ex1=0，得x=0. 所以f(x)的增区间为(0，+)，减区间(，0)，因此当x=0时，f(x)取得最小值1.（2）解：f(x)定义域为R，f(x)=ex+ax2asinx1因为若f(x)在定义域R上是增函数，则f(x)0令g(x)=f(x)=ex+ax2asinx1，g(x)=ex+2axacosx，令h(x)=g(x)=ex+2axacosx，h(x)=ex+2a+asinx，注意到a0，g(0)=0，h(x)0恒成立，即g(x)=ex+2axacosx在xR上单调递增1当a=1时，g(0
15、)=0，故当x(，0)时，g(x)0，g(x)单调递增，而g(0)=0，故g(x)g(0)=0，满足题意； 2当0a0，g(1a)=2+e1aacos(1a)2+e1a+a0，故存在x0(1a，0)，使得g(x0)=0，当x(x0，0)时，g(x)单调递增，g(x)1时，所以g(x)为增函数，又g(0)=1a0，所以存在x1(0，2)，使得g(x1)=0，当x(0，x1)时，g(x)0，g(x)单调递减，g(x)g(0)=0，不合题意，舍去；综上：a122【答案】（1）解：曲线C1的普通方程为(x1)2+y2=1，因为x=cos，y=sin，所以C1的极坐标方程为=2cos（2）解：因为直线l
16、与C1，C2分别交于A，B两点，所以将=3代入=2cos得A=1，将=3代入=2sin得B=3，则|AB|=31.且点M到直线l的距离d=2sin3=3，所以MAB的面积S=12|AB|d=33223【答案】（1）解：|x1|x+2|=3，x2，2x1，2x1，b1，c1，且(a1)(b1)(c1)=1，令p=a1，q=b1，r=c1，则p0，q0，r0，且pqr=1，abc=(p+1)(q+1)(r+1)=pqr+pq+qr+pr+p+q+r+1，又pq+qr+pr33(pqr)2=3当且仅当p=q=r=1时取“=”号；p+q+r33pqr=3，当且仅当p=q=r=1时取“=”号；不等式(p+1)(q+1)(r+1)8，即abc8.
