1、广西柳州市2023届新高三理数摸底考试试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合 A=x|x21 ， B=y|y1 ，则 AB= （） AB1，1C1，）D1，1）2设 mR ，若复数 z1=2+i 的虚部与复数 z2=m+mi 的虚部相等，则 z1z2= （） A3+iB1iC3iD3i3已知向量 a ， b 的夹角为 3 ，且 |a|=2 ， |b|=3 ，则 a(ba)= （） A1B334C2D14执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A2B32C53D855若 a=lg0.3，b=log32，c=log54 ，则（） AcbaBbcaCcabDabc6若
2、sin()=45 ，则 cos2 （）A 2425B725C 725D24257设变量x，y满足约束条件 x+y20xy+20x1y1 ，则目标函数 z=x+y 的最小值为（） A2B3C2D08已知直线 y=kx(k0) 与圆 C：(x2)2+(y1)2=4 相交于A，B两点 |AB|=23 ，则k（） A15B43C12D5129今年中国空间站将进入到另一个全新的正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6
3、名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验的安排1人若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（） A44种B48种C60种D50种10若直线 x=4 是曲线 y=sin(x4)(0) 的一条对称轴，且函数 y=sin(x4) 在区间0， 12 上不单调，则 的最小值为（）A9B7C11D311函数 y=f(x) 是定义域为R的偶函数，当 x0 时， f(x)=116x2(0x2)(12)x(x2) ，若关于x的方程 f(x)2+af(x)+b=0 ， a，bR 有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（） A（ 52 ， 14 ）B（ 12 ，
4、 18 ）C(12，14)(14，18)D（ 12 ， 14 ）12如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线有焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线E： x2a2y2b2=1(a0，b0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，从 F2 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且 cosBAC=35 ， ABBD ，则E的离 A C心率为（） A52B173C102D5二、填空题（每题5分，满分20分，）13已知直线 y=x+b 是曲线 y=lnx+3 的一条切线，则b 14(11x2)(1+x)5 展开式中 x2 的系数为 （用数
5、字作答）15已知A（3，1），B（3，0），P是椭圆 x216+y27=1 上的一点，则 |PA|+|PB| 的最大值为 16在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点E为线段 B1D1 上的动点，现有下面四个命题： 点E到直线AB的距离为定值； 直线DE与直线AC所成角为定值；三棱锥 EA1BD 的外接球体积为定值； 三棱锥 EA1BD 的体积为定值其中所有真命题的序号是 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并将答案写在答案卡相应题号的空白处）17在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 2asinC=3c （1）求角A的大小；（2）
6、若 b=2 ， a=7 ，求ABC的面积 18已知数列 an 满足 a1=1 ， an+1=2an+1(nN*) （1）证明 an+1 是等比数列，并求 an 的通项公式； （2）求数列 an+n+1 的前n项和 Sn 192022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了200人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占 23 ，而男生有20人表示对冰球运动没有兴趣 P(K2k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635K
7、2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（1）完成 22 列联表，并回答能否有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣没兴趣合计男 110女 合计 （2）先从样本对冰球有兴趣的学生中按分层抽样的方法取出5名学生，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X名男生，求X的分布列和期望20如图，在三棱锥 PABC 中， AB=BC=2 ， PA=PB=PC=AC=22 ，O为AC的中点 （1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为 6 ，求二面角 MPAC 的平面角的余弦值 21已知函数 f(x)=lnx+ax2x （
8、1）讨论当 a0 时，f（x）单调性 （2）证明： ex+a2x22xxf(x) 22已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线 l：y=2 的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程（2）设点P的坐标为（0，1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明： AFM=AFN 答案解析部分1【答案】B2【答案】D3【答案】A4【答案】C5【答案】A6【答案】C7【答案】C8【答案】B9【答案】C10【答案】C11【答案】D12【答案】B13【答案】214【答案】515【答案】916【答案】17【答案】（1）解：由
9、已知及正弦定理知： 2sinAsinC=3sinC因为C为锐角，则 sinC0 ，所以 sinA=32因为A为锐角，则 A=3（2）解：由余弦定理， b2+c22bccosA=a2则 c2+44ccos3=7 ，即 c22c3=0即 (c3)(c+1)=0 ，因为 c0 ，则 c=3所以ABC的面积 S=12bcsinA=1232sin3=33218【答案】（1）证明：法一：由 an+1=2an+1 ，得 an+1+1=2(an+1)Q a1+1=20an+1+1an+1=2(an+1)an+1=2所以 an+1 是首项为2，公比为2的等比数列即 an+1=2n ，因此 an 的通项公式为 a
10、n=2n1法二：Q a1+1=20 ，且 an+1+1an+1=2an+1+1an+1=2(an+1)an+1=2又所以 an+1 是首项为2，公比为2的等比数列即 an+1=2n ，因此 an 的通项公式为 an=2n1（2）解：由（1）知 an=2n1 ，令 bn=an+n+1 则 bn=2n+n所以 Sn=b1+b2+bn=(21+1)+(22+2)+(2n+n)=(21+22+2n)+(1+2+n)=2(12n)12+n(1+n)2=2n+1+n(1+n)22综上 Sn=2n+1+n(1+n)2219【答案】（1）解：根据已知数据得到如下列联表 有兴趣没有兴趣台计男9020110女60
11、3090合计15050200根据列联表中的数据，得到 K2=200(90302060)21109015050=200336.0606.0605.024有97.5%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”（2）解：由题意得，按分层抽样方法抽取出来的5人中，有3个男生对冰球感兴趣，有2个女生对冰球感兴趣，则X的可能取值为1，2，3， P(X=1)=C31C22C53=310P(X=2)=C32C21C53=610P(X=3)=C33C53=110所以X的分布列为X123P310610110所以，的期望为 E(X)=1310+2610+3110=9520【答案】（1）证明：连接OB 法一：AB=BC
12、=2，AC=22 ，AB2+BC2=AC2 ，即ABC是直角三角形，又O为AC的中点，OA=OB=OC又PA=PB=PC ，POAPOBPOCPOA=POB=POC=90POAC，POOB，OBAC=O ，OB、AC 平面ABCPO平面ABC法二：连接 OB ， PA=PC ，O为AC的中点POACQ AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=22ABBC，BO=2，PO=6PO2+OB2=PB2POOBPOAC，POOB，OBAC=O ，OB、AC 平面ABCPO平面ABC（2）解：由（1）知 PO面ABCOM为PM在面ABC上的射影，PMO为PM与面ABC所成角tanPMO=POOM=6OM
13、=6 ，OM=1 ，在OMC中由正弦定理可得 MC=1 ，M为BC的中点法一：作MEAC于E，E为OC的中点，作 EFPA 交PA于F，连MFMFPA MFE即为所求ME=22EF=32AE=223432=364tanMFE=MEEF=22436=233cosMFE=3331=39331法二：分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系M（ 22 ， 22 ，0） AM=(22，322，0)，PA=(0，2，6)记 n=(x，y，z) 为面AMP的法向量则nAM=0nPA=022x+322y=02y6z=0x=33y=3z=1n=(33，3，1)面APC的法向量 m=(1，0，0)易
14、知 MPAC 所成角为锐角记为 ，cos=|cos(n，m)|=|nm|n|m|=3331=3933121【答案】（1）解：由题意可知 x0，f(x)=1xax22=2x2x+ax2对于二次函数 y=2x2x+a，=18a 当 a18 时， 0，f(x)0 恒成立，f（x）在 x0 上单调递减；当 0a0 ，f（x）在 x(118a4，1+18a4) 单调递增；当 x(0，118a4)(1+18a4，+)f(x)0 ，f（x）在 x(0，118a4) 和 (1+18a4，+) 单调递减综上：当 a18 时，f（x）在（0，）单调递减当 0af(x) ，即证 exlnx+2（方法一）设 h(x)
15、=exlnx2(x0) ，则 h(x)=ex1x ， h(x) 在（0，）上为增函数，因为 h(12)0 ，所以 h(x) 在（ 12 ，1）上存在唯一的零点m，且 h(m)=em1m=0 ，即 em=1m，m=lnm所以h（x）在（0，m）上单调递减，在 (m，+) 上单调递增，所以 h(x)min=h(m)=emlnm2=1m+m222=0因为 m(12，1) ，所以等号不成立，所 h(x)=exlnx20 ，所以 exlnx+2 ，从而原不等式得证（方法二）不妨设 h(x)=ex(x+1) ，则 h(x)=ex1，h(0)=0 ，当 x0 时， h(0)0 时， h(0)0 ，因此 h(
16、x)h(0)=0，ex(x+1)0 恒成立，则 h(lnx)=x(lnx+1)h(0)=0 恒成立，则 ex(x+1)+x(lnx+1)=ex(lnx+2)0 恒成立，即 exlnx+2又 xlnx ，所以等号不成立，即 exlnx+2 ，从而不等式得证22【答案】（1）解：Q（x，y），由题意，得 x2+(y1)2=|y+2|1 ， 化简得 x2=4y ，所以Q的轨迹方程C为 x2=4y法二：定义法依题意Q（x，y）到F（0，1）的距离与Q（x，y）到直线y1的距离相等，由抛物线定义知Q的轨迹方程C为以F（0，1）为焦点以 y=1 为准线的抛物线所以Q的轨迹方程C为 x2=4y（2）证明：不
17、妨设 A(t，t24)(t0) ，因为 y=x24 ，所以 y=x2 ， 从而直线PA的斜率为 t24+1t0=t2 ，解得 t=2 ，即A（2，1），又F（0，1），所以 AF/x 轴要使 AFM=AFN ，只需 kFM+kFN=0设直线m的方程为 y=kx1 ，代入 x2=4y 并整理，得 x24kx+4=0 首先， =16(k21)0 ，解得 k1 其次，设M（ x1 ， y1 ），N（ x2 ， y2 ），则 x1+x2=4k，x1x2=4kFM+kFN=y11x1+y21x2=x2(y11)+x1(y21)x1x2=x2(kx12)+x1(kx22)x1x2=2k2(x1+x2)x1x2=2k24k4=0故存在直线m，使得 AFM=AFN ，此时直线m的斜率的取值范围为 (，1)(1，+)
