1、2022 年高考数学真题分类汇编专题 04：导数2022 年高考数学真题分类汇编专题 04：导数一、单选题一、单选题1（2022全国乙卷）函数()=cos+(+1)sin+1 在区间 0，2 的最小值、最大值分别为（）A2，2B32，2C2，2+2D32，2+22（2022全国甲卷）已知 =3132，=cos14，=4sin14，则（）A B C D 3（2022全国甲卷）当 =1 时，函数()=ln+取得最大值 2，则(2)=（）A-1B12C12D14（2022新高考卷）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 36 ，且 3 3 3，则该正四棱锥体积的取值范围是（
2、）A18，814B274，814C274，643D18，275（2022新高考卷）设 =0.10.1，=19，=0.9，则（）A B C D 二、多选题二、多选题6（2022新高考卷）函数()=sin(2+)(0 2D 2三、填空题三、填空题9（2022新高考卷）写出曲线 =ln|过坐标原点的切线方程：，10（2022全国乙卷）已知 =1 和 =2 分别是函数()=22（0 且 1）的极小值点和极大值点若 1 0)（）求()的单调区间；（）已知，曲线 =()上不同的三点(1，(1)，(2，(2)，(3，(3)处的切线都经过点(，)证明：（）若 ，则 0 ()12(1)；（）若 0 ，1 2 3
3、，则 2+6211+13 0 时，()ln(+1)15（2022全国乙卷）已知函数()=1(+1)ln（1）当 =0 时，求()的最大值；（2）若()恰有一个零点，求 a 的取值范围16（2022全国甲卷）已知函数()=ln+（1）若()0，求 a 的取值范围；（2）证明：若()有两个零点 1，2，则 12()+()20（2022新高考卷）已知函数()=和()=有相同的最小值.（1）求 a；（2）证明：存在直线 =，其与两条曲线 =()和 =()共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列21（2022上海）已知数列 ，2=1，的前 n 项和为 .（1）若 为等比数列，2=3，
4、求 lim；（2）若 为等差数列，公差为 d，对任意 ，均满足 2 ，求 d 的取值范围.答案解析部分答案解析部分1【答案】D2【答案】A3【答案】B4【答案】C5【答案】C6【答案】A,D7【答案】A,C8【答案】B,C,D9【答案】=1；=110【答案】(1e，1)11【答案】a0 或 a-412【答案】213【答案】解：（）()=122=222 故()的减区间为(0，2)，增区间为(2，+).（）（）因为过(，)有三条不同的切线，设切点为(，()，=1，2，3，故()=()()，故方程()=()()有 3 个不同的根，该方程可整理为(122)()2ln+=0，设()=(122)()2ln
5、+，则()=122+(12+3)()1+22=13()()，当 0 时，()0；当 0，故()在(0，)，(，+)上为减函数，在(，)上为增函数，因为()有 3 个不同的零点，故()0，故(122)()2ln+0，整理得到：2+ln=()，此时()12(1)2+1(2+ln)2+12=322ln，设()=322ln，则()=222 0，故()为(，+)上的减函数，故()322ln=0，故 0 ()12(1).（）当 0 时，同（）中讨论可得：故()在(0，)，(，+)上为减函数，在(，)上为增函数，不妨设 1 2 3，则 0 1 2 3，因为()有 3 个不同的零点，故()0，故(122)()
6、2ln+0 且(122)()2ln+0，整理得到：2+1 2+ln，因为 1 2 3，故 0 1 2 1，=1，要证：2+6211+12262，即证 2+6 1+326，即证：136 1+3216，即证：(1+3136)(1+32+16)0，即证：1+322(13)(2+12)36(1+3)，而(+1)1+221+ln1+=0 且(+1)3+223+ln3+=0，故 ln1ln3+2(2123)(+1)(13)=0，故 1+322=2ln1ln313，故即证：2ln1ln313 0即证：(+1)ln1+(13)(2+12)72 0，记()=(+1)ln1，1，则()=1(1)2(12ln)0，
7、设()=12ln，则()=1+12222=0 即()0，故()在(1，+)上为增函数，故()()，所以(+1)ln1+(13)(2+12)72(+1)ln1+(13)(2+12)72，记()=ln+(1)(13)(2+12)72(+1)，0 (1)2(33+3)72(+1)2 0，所以()在(0，1)为增函数，故()(1)=0，故 ln+(1)(13)(2+12)72(+1)0，故原不等式得证.14【答案】（1）解：解：=1()=(1)()=当 (，0)时，()0，()单调递增.（2）令()=()+1=+1(0)()(0)=0 对 0 恒成立又()=+(0)=0令()=()()=+(+)=(2
8、+)则(0)=21若(0)=21 0，即 12，(0)=lim0+()(0)0=lim0+()0所以 0 0，使得当 (0，0)时，有()0()0()单调递增(0)(0)=0，矛盾若(0)=21 0，即 12 时，()=+=+ln(1+)12+ln(1+12)12+12=0()在 0，+)上单调递减，()(0)=0，符合题意.综上所述，实数 a 的取值范围足 12.（3）证明：取 =12，则 0，总有 12+1 1，2=，=2ln，故 2ln 21 即 2ln 1 恒成立.所以对任意的 ，有 2ln+1+1+1，整理得到：ln(+1)ln ln2ln1+ln3ln2+ln(+1)ln=ln(+
9、1)，故不等式成立.15【答案】（1）解：当 =0 时，()=1ln()=121=12x（0，1）1（1，+）f（x）+0-f（x）()的最大值=f（1）=-1-ln1=-1（2）解：()定义域为（0，+）()=+12+1=2(+1)+12=12(1)(1)根据（1）得：a=0 时，f（x）max=-10，f（x）无零点当 a0 时，x0，ax-10，又 x20 x（0，1）1（1，+）f（x）+0-f（x）x0，f（x）f（1）=a-10，f（x）无零点当 a0 时，()=2(1)(1)当 0a1 时，1 1x（0，1）1（1，1）1（1，+）f（x）+0-0+f（x）x（0，1，f（x）f
10、（1）=a-10，又 lim+f（x）=+，f（x）恰有一个零点当 a=1 时，()=(1)22 0，f（x）在（0，+）上递增，由 f（1）=a-1=0 可得，f（x）恰有一个零点当 a1 时，1（0，1x（0，1）1（1，1）1（1，+）f（x）+0-0+f（x）x 1，+），f（x）f（1）=a-10，又 lim0 f（x）=-，f（x）恰有一个零点综上所得 a 取值范围为(0，+)16【答案】（1）解：由题意得，函数 f(x)的定义域为(0，+)，()=1121+1=11 1+1 1=1+1 ，令 f(x)=0，得 x=1，当 x（0，1），f(x)0，f(x)单调递增，若 f(x)0
11、，则 e+1-a0，即 ae+1，所以 a 的取值范围为（-，e+1）（2）证明：由题知，()一个零点小于 1，一个零点大于 1 不妨设 1 1 2要证 12 1，即证 1(12)因为(1)=(2)，即证(2)(12)即证 ln+1ln1 0，(1，+)即证 12ln12(1)0下面证明 1 时，1 0，ln12(1)1，则()=(112)(1+1(12)=1(11)1(11)=(11)(1)=1(1)设()=(1)，()=(112)=12 0所以()(1)=，而 1 0，所以()0所以()在(1，+)单调递增即()(1)=0，所以 1 0令()=ln12(1)，1()=112(1+12)=2
12、2122=(1)222 0所以()在(1，+)单调递减即()(1)=0，所以 ln12(1)0，所以 12 0，解得 13 1，令()0，解得 13 或 0 0，当 (1，0)，()=+(12)0，即()0所以()在(1，0)上单调递增，()0所以()在(0，+)上单调递增所以()(0)=1+0，即()0所以()在(0，+)上单调递增，()(0)=0故()在(0，+)上没有零点，不合题意3若 0，所以()在(0，+)上单调递增(0)=1+0所以存在 (0，1)，使得()=0，即()=0当 (0，)，()0，()单调递增所以当 (0，)，()0所以()在(1，0)单调递增(1)=1+2 0所以存
13、在 (1，0)，使得()=0当 (1，)，()0，()单调递增，()(0)=1+0所以存在 (1，)，使得()=0，即()=0当 (1，)，()单调递增，当 (，0)，()单调递减有 1，()而(0)=0，所以当 (，0)，()0所以()在(1，)上有唯一零点，(，0)上无零点即()在(1，0)上有唯一零点所以 0，ln(1+)+21+1(1+)2 ln1+1+2(1+)2 0故()0 对 0，+)成立，()在 0，+)上单调递增（III）证明：不妨设 ，由拉格朗日中值定理可得：(+)()(+)=()其中 ，+，即(+)()=()()(0)0=()，其中 (0，)，即()(0)=()由()在
14、0，+)上单调递增，故()()(+)()()(0)=()(+)()+()证毕20【答案】（1）因为()=，所以()=，若 0，则()=0 恒成立，所以()在(0，+)上单调递增，无最小值，不满足；若 0，令 f（x）0 xlna，令 f（x）0 xlna，所以()min=(ln)=ln，因为()=ln，定义域 0，所以()=1，所以()0 1，()00 0)，则()=2+1(+1)2 0 恒成立所以()在(0，+)上单调递增，又因为(1)=0，ln1+1=0 有唯一解 =1，综上，=1（2）由(1)易知()在(，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增，()在(0，1)上单调递减，在(1，+)上
15、单调递增，存在直线 =，其与两条曲线 =()和 =()共有三个不同的交点，设三个不同交点的横坐标分别为 1，2，3，不妨设 1 2 3，显然有 1 0 2 1 3，则肯定有(1)=(2)=(2)=(3)=，注意()，()的结构，易知(ln)=()，所以有(ln)=()，所以有(1)=(ln2)，而由 1 0，ln2 0，()在(，0)上单调递减，知 1=ln2，同理 2=ln33=2，所以 1+3=ln2+2，又由(2)=(2)22=2ln22+ln2=22，故 1+3=22，所以存在直线 =，其与两条曲线 =()和 =()共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.21【答案】（1）设等比数列的公比为 q，则由题意得 a1=2，则=12 则=11 1 =4 1 12 则 lim=lim41 12=4（2）由题意得2=2(2+21)2=22+(2 3)则(3-2n)d1 当 n=1 时，d1；当 n2 时，13 2恒成立；13 2 1，0)d0 综上 0，1
