1、 高三上学期理数一模试卷一、单选题1已知集合A=x|y=lg(1x)，B=1，0，1，则AB=（）A1，0B0，1C(0，1D(，1)2已知复数z的共轭复数为z，若z+z=4，(zz)i=2（i为虚数单位），则z=（）A2+iB2iC2+iD2i3“ab0”是“ab1”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4直线3x4y+8=0与圆(x1)2+(y+1)2=16的位置关系是（）A相离B相交C相切D不确定5函数 f(x)=3x2cosxexex 的部分图象大致为（） ABCD6已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(cos15sin15，cos1
2、5+sin15)，则tan=（）A23B2+3C62D37在空间直角坐标系中，已知A(1，1，1)，B(3，1，1)，则点P(1，0，2)到直线AB的距离为（）A22B32C62D38下列说法正确的有（）A两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于0B若X是随机变量，则E(2X+1)=2E(X)+1，D(2X+1)=4D(X)+1.C已知随机变量N(0，1)，若P(1)=p，则P(1)=12pD设随机变量表示发生概率为p的事件在一次随机实验中发生的次数，则D()149已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为奇函数，f(2x+1)为偶函数，则（）Af(2)=0Bf(1)=0C
3、f(1)=0Df(3)=010已知F是椭圆C：x2m+y215=1的右焦点，点A(2，352)在C上，直线AF与y轴交于点B，点P为上的动点，则PAPB的最小值为（）A514B154C134D15411在平面四边形ABCD中，已知ABC的面积是ACD的面积的2倍.若存在正实数x，y使得AC=(1x4)AB+(11y)AD成立，则2x+y的最小值为（）A1B2C3D412半球内放三个半径为3的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是（）A1+3B3+5C5+7D3+7二、填空题13(12)2+4log22+log24= .14(2x1x+2y)6展开式中的常数项
4、是 .15关于函数f(x)=sinx与g(x)=cosx有下面四个结论：函数f(x)的图像可由g(x)的图像平移得到函数f(x)与函数g(x)在(2，)上均单调递减若直线x=t与这两个函数的图象分别交于A，B两点，则|AB|1函数f(x)g(x)的图像关于直线x=4对称；其中正确结论的序号为 （请写出所有正确结论的序号）.16已知nN，函数f(x)=x(an+1)lnx在x(n，n+1)有极值，设bn=an，其中x为不大于x的最大整数，记数列bn的前n项和为Sn，则S100= .三、解答题17在ABC中，已知sinAsinB+cos2A=sin2B+cos2C，D是AB的中点.（1）求角C的大
5、小；（2）若AB=23，CD=7，求ABC的面积.18已知数列an中，a1=1，a2=3，an+2=kan(k1)，nN，a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列.（1）求k的值和an的通项公式；（2）设bn=log3a2n+1a2n，nN，求数列bn的前n项和为Sn.19如图，已知圆O的直径AB长为4，点C是圆弧上一点，BOC=45，点P是劣弧AC上的动点，D点是另一半圆弧的中点，沿直径AB，将圆面折成直二面角，连接OP、DP、CD.（1）若AB面PCD时，求PC的长；（2）当三棱锥POCD体积最大时，求二面角CPDO正切值.20如图，点A、B、C是周长为3cm圆形导轨上的三个等分点，在
6、点A处放一颗珠子，规定：珠子只能沿导轨顺时针滚动.现投郑一枚质地均匀的股子，当掷出的点数是3的倍数时，珠子滚动2cm，当掷出的点数不是3的倍数时，珠子滚动1cm，反复操作.（1）求珠子在A点停留时恰好滚动一周的概率；（2）求珠子第一次在A点停留时恰好滚动两周的概率.21已知双曲线：x2a2y2b2=1(a0，b0)过点(4，13)，离心率为14，直线l：x=9交x轴于点A，过点A作直线交双曲线于M，N两点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；（3）设P，Q是直线l上关于x轴对称的两点，直线PM与QN的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.22设函数f(x)=
7、aex+2x+ab，(a，bR)，f(x)为函数f(x)的导函数.（1）讨论函数f(x)的单调性并写出单调区间；（2）若存在a，使得函数f(x)不存在零点，求b的取值范围；（3）若函数g(x)=f(x)ab有两个不同的零点x1，x2(x11.答案解析部分1【答案】A2【答案】B3【答案】B4【答案】B5【答案】C6【答案】D7【答案】C8【答案】D9【答案】A10【答案】C11【答案】A12【答案】D13【答案】1014【答案】-16015【答案】16【答案】61517【答案】（1）解：由题意得：sinAsinBsin2A=sin2Bsin2C故aba2=b2c2即a2+b2c2=abcosC
8、=a2+b2c22ab=ab2ab=12又C(0，)C=3.（2）解：AB2=a2+b22abcosC12=(a+b)23ab又CD=12(CB+CA)|CD|2=14(|CB|2+|CA|2+2CBCA)28=(a2+b2+2abcosC)=(a2+b2+ab)=(a+b)2ab(a+b)2ab=28由得：ab=8SABC=12absinC=2318【答案】（1）解：a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列(a3+a4)(a2+a3)=(a4+a5)(a3+a4)即a4a2=a5a3，得a2(k1)=a3(k1)又k1，a3=a2=3，从而k=a3a1=3所以an=3k1，n=2k1(k
9、N)，3k，n=2k(kN)，（2）解：由（1）得bn=log3a2n+1a2n=n3n，Sn=13+232+333+n13n1+n3n13Sn=132+233+n13n+n3n+1两式相减，得23Sn=13+132+133+13nn3n+1=12(113n)n3n+1Sn=342n+343n，nN19【答案】（1）解：AB平面PCD，AB平面OPC，平面OPC平面PCD=PCABPC又BOC=45，OP=OC=2，所以OPC为等腰直角三角形.PC=22.（2）解：二面角CABD为直二面角，且ODAB，OD平面ABDOD平面OPCVPOCD=VDOPC=13SOPCOD=1312OPOCODs
10、inPOC=43sinPOC43当POC=90时等号成立.此时OP，OC，OD两两垂直，且长度相等，则PC=CD=22取PD的中点E，连接OE，EC，则PDEC，PDEO，OE=2CEO为二面角CPDO的平面角，直角三角形CEO中，tanCEO=OCOE=2二面角CPDO的正切值为2.20【答案】（1）解：设掷出3的倍数为事件M，掷出不是3的倍数记为事件N，则P(M)=13，P(N)=23珠子恰好转一周回到A点包含的事件为(M，N)，(N，M)，(N，N，N)且这三种情况互斥故所求概率为P1=(13)(23)+(23)(13)+(23)3=2027（2）解：珠子滚两周回到A点，则必须经历以下三
11、个步骤：A至C：此时概率为13+(23)2=79C至B：掷出的必须是3的倍数，此时的概率为13B至A：概率与相同又以上三个步骤相互独立，故所求概率为P2=791379=4924321【答案】（1）解：由题意得：16a2169b2=1，ca=14，a2+b2=c2.解得a2=3，b2=39，所以双曲线的标准方程为x23y239=1（2）解：方法1：设N(x0，y0)，则M(x0+92，y02)依题意有x023y0239=1(x+9)234y02394=1解得x0=4，y0=13所以直线MN的方程为x+y9=0或xy9=0.方法2：设直线MN的方程为y=k(x9)，与双曲线的方程x23y239=1
12、联立得：(13k2)x2+18k2x(81k2+39)=0.当=324k4+4(13k2)(81k2+39)0时设M(x1，y1)，N(x2，y2)，得x1+x2=18k213k2，x1x2=81k2+3913k2.又因为x1=x2+92，所以x2=9k2+3913k2，x22+9x22=81k2+3913k2，解得k2=1.此时0，所以直线MN的方程为x+y9=0或xy9=0.（3）解：方法1：设P(9，t)，Q(9，t)，直线PM的方程为yt=y1tx19(x9)，直线ON的方程y+t=y2+tx29(x9)，联立两方程，可得2t=(y2+tx29y1tx19)(x9)结合（2）方法2，可
13、得y2+tx29y1tx19=k(x29)+tx29k(x19)tx19=t(x1+x218)x1x29(x1+x2)+81代入得2=x1+x218x1x29(x1+x2)+81(x9)故x=2x1x29(x1+x2)x1+x218=2(81k2+3913k2)9(18k213k2)18k213k218=13.所以直线PM与QN的交点在定直线x=13上.方法2设直线MN的方程为x=my+9，与双曲线的方程x23y239=1联立得：(13m21)y2+234my+1014=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(9，t)，Q(9，t)，由根与系数的关系，得y1+y2=234m13m21，y
14、1y2=101413m21.lPM：yt=y1tx19(x9)，lQN：y+t=y2+tx29(x9)，联立两方程，可得：2t=(y2+tx29y1tx19)(x9)=(y2+tmy2y1tmy1)(x9)=y1+y2my1y2t(x9)=234m13m21m101413m21t(x9)=313t(x9)，解得x=13所以直线PM与QN的交点在定直线x=13上.22【答案】（1）解：f(x)=aex+2. 当a0时，f(x)0，函数f(x)的单调递增区间是(，+).当a0，得xln(2a)，令f(x)ln(2a).所以，函数f(x)的单调增区间为(，ln(2a)，单调减区间是(ln(2a)，+
15、)（2）解：当a0时，由（1）知，f(x)的单调增区间是(，+)， 易知f(ab2)=aeab2+40.又a+|ab|+420，故可得f(a+|ab|+42)=a(ea+|ab|+421)|ab|+ab0又a+|ab|+42ab2，且函数f(x)的图像连续，所以f(x)存在一个零点，不满足题意.当a0时，因为f(ab+42)=aet+40，函数f(x)的图像不间断，若存在a0，使函数f(x)不存在零点，则f(x)0对任意xR恒成立.由（1）知，f(x)max=f(ln(2a)=2ln(2a)+ab+22a1+ln(2a)能成立令2a=t，则t0，bt(1+lnt)g(t)=t(1+lnt)，则
16、g(t)=2+lnt，令g(t)=0，得t=e2，当t(0，e2)时，g(t)0，g(t)单调递增.所以g(t)min=g(e2)=e2，所以be2综上，b的取值范围是(e2，+).另：当a0时，f(x)有零点，不满足；当ae2.（3）证明：因为函数y=f(x)ab有两个不同的零点x1，x2(x1x2)， 则由（1）知a0，所以(u)在(0，1)上单调递增，所以(u)0，所以f(x1)+f(x2)=aex1+2+aex2+2=2(x1+x2+2)0，所以f(x1)0所以p(u)在(0，1)上单调递增，所以p(u)p(1)=0，所以f(x2)1.方法2：x1+1=ulnuu+1u1，x2+1=lnuu+1u1，f(x1)f(x2)+1=aex1+2aex2+2+1=2(x1+1)2(x2+1)+1=ulnuu+1lnuu+1+1=(u+1)lnu2u+2lnuu+1.设k(u)=(u+1)lnu2u+2，u(0，1)，则k(u)=lnu+1u1.设l(u)=lnu+1u1，u(0，1)，则l(u)=u1u2l(1)=0，k(u)在(0，1)上单调递增，所以k(u)0，所以p(u)在(0，1)上单调递增，所以p(u)0，故f(x1)f(x2)1.
