1、2022 年高考数学年高考数学真真题分类汇编专题分类汇编专题题 04：导导数数一、单选题一、单选题1（2022全国乙卷）函数()=cos+(+1)sin+1 在区间 0，2 的最小值、最大值分别为（）A2，2B32，22，2C+2D3+22，22（2022全国甲卷）已知 =31=cos，1，=41，则（4sin）32B 4C D A 3（2022全国甲卷）当 =1 时，函数()=ln+取得最大值 2 ，则(2)=（）A-1B122C1D14（2022新高考卷）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 36 ，且 3 3 3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A1881B
2、2781C 2764，D18，27444439，=0.9，则（5（2022新高考卷）设=0.10.1，=1）A B 二、多选题二、多选题C D 326（2022新高考卷）函数()=sin(2+)(0 2三、填空题三、填空题B直线 AB 与 C 相切D 29（2022新高考卷）写出曲线 =ln|过坐标原点的切线方程：，10（2022全国乙卷）已知 =1 和 =2 分别是函数()=22（0 且 1）的 极小值点和极大值点若 1 0)（）求()的单调区间；（）已知，曲线 =()上不同的三点(1，(1)，(2，(2)，(3，(3)处的切线都经过点(，)证明：21（）若 ，则 0 ()(1)；（）若 0
3、 ，123，则 2+1+1 0 时，()ln(+1)12+122+22+115（2022全国乙卷）已知函数()=(+1)ln（1）当 =0 时，求()的最大值；（2）若()恰有一个零点，求 a 的取值范围16（2022全国甲卷）已知函数()=ln+（1）若()0，求 a 的取值范围；（2）证明：若()有两个零点 1，2，则 12 ()+()20（2022新高考卷）已知函数()=和()=有相同的最小值.（1）求 a；（2）证明：存在直线 =，其与两条曲线 =()和 =()共有三个不同的交点，并 且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列21（2022上海）已知数列 ，2=1，的前 n 项和为 .（1
4、）若 为等比数列，2=3，求 lim ；（2）若 为等差数列，公差为 d，对任意 ，均满足 2 ，求 d 的取值范围.答案解析部答案解析部分分1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】A,D7.【答案】A,C8.【答案】B,C,D1 ；19【答案】=11 0【答案】(，1)e11.【答案】a0 或 a-412.【答案】21 1 3 【答案】解：（）()=22=222故()的减区间为(0，)，增区间为(，+).22（）（）因为过(，)有三条不同的切线，设切点为(，()，=1，2，3，故()=()()，故方程()=()()有 3 个不同的根，1 22该方程可
5、整理为(2)()ln+=0 ，1 2 2设()=(2)()ln+，1 11 则()=22+(2+3)()+22=1()()，3当 0 时，()0；当 0，故()在(0，)，(，+)上为减函数，在(，)上为增函数，因为()有 3 个不同的零点，故()0，11 22 2 2故(2)()ln+0，整理得到：+ln=()，222此时()(1)2+1(21 1322 2+ln)2+=ln，3 2设()=ln，则()=2222 0，22故()为(，+)上的减函数，故()3 ln=0，1 故 0 ()(1).2（）当 0 时，同（）中讨论可得：故()在(0，)，(，+)上为减函数，在(，)上为增函数，不妨设
6、 1 2 3，则 0 1 2 3，因为()有 3 个不同的零点，故()0，22112 2故(2)()ln+0 且(2)()ln+0，整理得到：+1 +ln，22因为 1 2 3，故 0 1 2 1，=1，31要证：2+1+126212 626，即证 2+13 2 6，即证：13 1+3 2 1，666即证：(1+313)(1+3 2+1)0，13即证：+2622(13)(+12)36(1+3)，而(+1)1+2+ln1+=0 且(+1)3+2+ln3+=0，2 12 3132221313故 ln ln+()(+1)()=0，故 1+32 2=2 ln1ln3，13故即证：2 ln1ln3 0即
7、证：(+1)ln+(13)(2+12)0，172记()=(+1)ln1 11，1，则()=(1)2(2ln)0，121 22 2 设()=2ln ，则 ()=1+=0 即 ()0，故()在(1，+)上为增函数，故()()，所以(+1)ln+(13)(2+12)(+1)ln+(13)(2+12)，17217272(+1)记()=ln+(1)(13)(2+12)，0 (1)2(33+3)72(+1)272(+1)2 0，所以()在(0，1)为增函数，故()(1)=0，故 ln+(1)(13)(2+12)0，72(+1)172故原不等式得证.1 4 【答案】（1）解：解：=1()=(1)()=当 (
8、，0)时，()0，()单调递增.（2）令()=()+1=+1(0)()(0)=0 对 0 恒成立 又()=+(0)=0令()=()()=+(+)=(2+)则(0)=212若(0)=21 0，即 1，0+0+0(0)=lim()(0)=lim()0所以 0 0，使得当 (0，0)时，有()0()0()单调递增(0)(0)=0，矛盾若(0)=21 0，即 12时，()=+=+ln(1+)11 2+ln(1+2)11 2+2=0()在 0，+)上单调递减，()(0)=0，符合题意.2综上所述，实数 a 的取值范围足 1.22（3）证明：取 =1，则 0，总有 1+1 1，=，=2ln，1故 2ln
9、21 即 2ln 1 恒成立.所以对任意的 ，有 2ln +1 +1+1 ，1 111整理得到：ln(+1)ln ln2ln1+ln3ln2+ln(+1)ln=ln(+1)，故不等式成立.11 5【答案】（1）解：当 =0 时，()=ln111()=22x（0，1）1（1，+）f（x）+0-f（x）()的最大值=f（1）=-1-ln1=-1（2）解：()定义域为（0，+）1()=+2=+12(+1)+121=(1)(1)2根据（1）得：a=0 时，f（x）max=-10，f（x）无零点当 a0 时，x0，ax-10，又 x20 x（0，1）1（1，+）f（x）+0-f（x）x0，f（x）f（1
10、）=a-10，f（x）无零点21当 a0 时，()=()(1)当 0a1 时，1 1x（0，1）1（1，1）1（1，+）f（x）+0-0+f（x）x（0，1，f（x）f（1）=a-10，又lim+f（x）=+，f（x）恰有一个零点2当 a=1 时，()=(1)0，2f（x）在（0，+）上递增，由 f（1）=a-1=0 可得，f（x）恰有一个零点当 a1 时，1（0，1x（0，1）1（1，1）1（1，+）f（x）+0-0+f（x）x 1，+），f（x）f（1）=a-10，0又 lim f（x）=-，f（x）恰有一个零点综上所得 a 取值范围为(0，+)1 6 【答案】（1）解：由题意得，函数 f
11、(x)的定义域为(0，+)，()=21 1=1 +1 1+1=1 1 1 +1 1，令 f(x)=0，得 x=1 ，当 x（0，1），f(x)0，f(x)单调递增，若 f(x)0，则 e+1-a0，即 ae+1，所以 a 的取值范围为（-，e+1）（2）证明：由题知，()一个零点小于 1，一个零点大于 1不妨设 1 1 2要证 12 1，即证 1 ()222 1因为(1)=(2)，即证(2)()11即证ln+ln 0，(1，+)1112即证2ln()0211下面证明 1 时，1 ，ln()1，21 1 111111 1则 ()=()(+(2)=(1)(1)11=(1)()=11()设()=(1
12、)，()=(2)=1 11 021所以()(1)=，而 0，所以()0所以()在(1，+)单调递增即()(1)=0，所以 1 0211令()=ln()，111 1()=(1+2)=221 22=(1)222 02所以()在(1，+)单调递减211即()(1)=0，所以 ln()0，所以1 2 0，解得13 1，3令()0，解得 1 或 0 0，当 (1，0)，()=+(12)0，即()0所以()在(1，0)上单调递增，()0所以()在(0，+)上单调递增所以()(0)=1+0，即()0所以()在(0，+)上单调递增，()(0)=0故()在(0，+)上没有零点，不合题意3 若 0，所以()在(0
13、，+)上单调递增(0)=1+0所以存在 (0，1)，使得()=0，即()=0当 (0，)，()0，()单调递增 所以当 (0，)，()0所以()在(1，0)单调递增1(1)=+2 0所以存在 (1，0)，使得()=0当 (1，)，()0，()单调递增，()(0)=1+0所以存在 (1，)，使得()=0，即()=0当 (1，)，()单调递增，当 (，0)，()单调递减 有 1，()而(0)=0，所以当 (，0)，()0所以()在(1，)上有唯一零点，(，0)上无零点 即()在(1，0)上有唯一零点所以 0 ，ln(1+)+21 ln1+1+2 0故()0 对 0，+)成立，()在 0，+)上单调
14、递增（III）证明：不妨设 ，由拉格朗日中值定理可得：(+)()(+)=()其中 ，+，即(+)()=()()(0)=()，其中 (0，)，即()(0)=()0由()在 0，+)上单调递增，故()()(+)()()(0)=()(+)()+()证毕2 0 【答案】（1）因为()=，所以()=，若 0，则()=0 恒成立，所以()在(0，+)上单调递增，无最小值，不满足；若 0，令 f（x）0 xlna，令 f（x）0 xlna，所以()min=(ln)=ln，因为()=ln，定义域 0，所以()=1，所 以()0 1，()00 0)，则()=2+1 0 恒成立+1(+1)2所以()在(0，+)上
15、单调递增，又因为(1)=0，ln 1=0 有唯一解 =1，+1综上，=1（2）由(1)易知()在(，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增，()在(0，1)上单调递减，在(1，+)上单调递增，存在直线 =，其与两条曲线 =()和 =()共有三个不同的交点，设三个不同交点的横坐标分别为 1，2，3，不妨设 1 2 3，显然有 1 0 2 1 3，则肯定有(1)=(2)=(2)=(3)=，注意()，()的结构，易知(ln)=()，所以有(ln)=()，所以有(1)=(ln2)，而由 1 0，ln2 0，()在(，0)上单调递减，知 1=ln2，同理 2=ln33=2，所 以 1+3=ln2+2，又 由(2)=(2)22=2ln22+ln2=22，故 1+3=22，所以存在直线 =，其与两条曲线 =()和 =()共有三个不同的交点，并且从左到右的 三个交点的横坐标成等差数列.2 1【答案】（1）设等比数列的公比为 q，则由题意得 a1=2，则=12则1 =1 1 =4 1 1 2则 lim =lim4 1 1 2=422（2）由题意得=2(2+21)=22+(2 3)则(3-2n)d1当 n=1 时，d1；3 2当 n2 时，1恒成立；1 1，0)3 2d0综上 0，1
