1、第一章乘法公式與多項式第一章乘法公式與多項式單元目標：單元目標：1.1.透過具體表徵，以文字符號表透過具體表徵，以文字符號表 示長方形面積。示長方形面積。2.2.由面積計算，認識乘法公式。由面積計算，認識乘法公式。3.3.能理解多項式的意義，並能進能理解多項式的意義，並能進行多項式的加減乘除運算。行多項式的加減乘除運算。教學時間：教學時間：10111011節節主題主題1 1.(ab)(cd)acadbcbd2.2.乘法公式乘法公式3.3.多項式及其運算多項式及其運算主題一主題一a aa2和和abba我們以前學過邊長為我們以前學過邊長為3的正方形面的正方形面積，可以積，可以32表示，那麼邊長為表
2、示，那麼邊長為a a的的正方形面積該如何表示呢？正方形面積該如何表示呢？如果正方形的邊長是如果正方形的邊長是a，那它的面積，那它的面積就是就是aa，也可以寫成，也可以寫成a2。如果長方形的長與寬分別為如果長方形的長與寬分別為a與與b，則它的面積為多少？，則它的面積為多少？主題一主題一a(bc)abac如果長方形的長是如果長方形的長是a，寬是，寬是(bc)，面積表示成面積表示成a (bc)或省略乘號記或省略乘號記為為a(bc)。bc aa(bc)a b abc a ac乘法分配律乘法分配律主題一主題一abab2ab我們將兩個長我們將兩個長a、寬、寬b的長方形拼合的長方形拼合在一起在一起baabb
3、aab2ab2ab同類項相加同類項相加主題一主題一(ab)(cd)acadbcbd如何透過面積切割，了解如何透過面積切割，了解(ab)(cd)acadbcbd呢呢取出附件一，將四個小長方形合併取出附件一，將四個小長方形合併成一個新的大長方形。並完成成一個新的大長方形。並完成活活動一動一中的表格。中的表格。以上的結果是否跟利用乘以上的結果是否跟利用乘法分配律的結果相同？法分配律的結果相同？主題一主題一(ab)(cd)acadbcbd以大長方形計算以大長方形計算 大長方形的長、寬分大長方形的長、寬分別為別為ab、cd。大長方形面積大長方形面積長長 寬寬(ab)(cd)以四塊小長方形計算以四塊小長方
4、形計算甲的面積甲的面積ac。乙的面積乙的面積ad。丙的面積丙的面積bc。丁的面積丁的面積bd。四塊小長方形面積和四塊小長方形面積和甲乙丙丁甲乙丙丁acadbcbd 主題一主題一(ab)(cd)acadbcbd請試試以上的方法，計算請試試以上的方法，計算出出1061061717的值。的值。怎麼利用怎麼利用(ab)()(cd)acadbcbd計算計算1001 102的值呢？的值呢？1001102(10001)(1002)100010010002 110012 10000020001002 102102主題二主題二(ab)2a22abb2 如果以將式子中的如果以將式子中的a a、b b分別分別用用x
5、 x與與y y代入，式子會變成怎代入，式子會變成怎樣？樣？如何知道如何知道(ab)2a22abb2呢？呢？方法一方法一長方形面積拼圖法長方形面積拼圖法方法二方法二利用乘法分配律利用乘法分配律 (ab)2(ab)(ab)a(ab)b(ab)a2abbab2 a22abb2主題二主題二(ab)2a22abb2 上述方法是將上述方法是將504504拆解成拆解成500500與與4 4的和，如果拆解成其它兩數的和，如果拆解成其它兩數的和，算出的值是否一樣呢？的和，算出的值是否一樣呢？你認為哪一種拆解法比較好？你認為哪一種拆解法比較好？怎麼利用和的平方公式怎麼利用和的平方公式(ab)2a22abb2計算計
6、算5042的值呢？的值呢？5042(5004)2 50022500442 250000400016 254016 主題二主題二(ab)2a22abb2 如何知道如何知道(ab)2a2 2abb2呢？呢？方法一方法一長方形面積拼圖法長方形面積拼圖法方法二方法二利用乘法分配律利用乘法分配律 (ab)2(ab)(ab)a(ab)b(ab)a2abbab2 a22abb2如果以將式子中的如果以將式子中的a、b分別分別用用x與與y代入，式子會變成怎代入，式子會變成怎樣？樣？主題二主題二(ab)2a22abb2 上述方法是將上述方法是將199199拆解成拆解成200200與與1 1的差，如果拆解成其它兩數
7、的差，如果拆解成其它兩數的差，算出的值是否一樣呢？的差，算出的值是否一樣呢？你認為哪一種拆解法比較好？你認為哪一種拆解法比較好？怎麼利用差的平方公式怎麼利用差的平方公式(ab)2a22abb2計算計算1991992 2的值呢？的值呢？1992(2001)2 20022200112 400004001 39601 主題二主題二(ab)(ab)a2b2如何知道如何知道(ab)(ab)a2b2呢？呢？方法一方法一長方形面積拼圖法長方形面積拼圖法方法二方法二利用乘法分配律利用乘法分配律 (ab)(ab)a(ab)b(ab)a2abbab2 a2b2如果以將式子中的如果以將式子中的a、b分別分別用用x與
8、與y代入，式子會變成怎代入，式子會變成怎樣？樣？主題二主題二(ab)(ab)a2b2上述方法是將上述方法是將203203與與107107拆解成拆解成200200與與3 3的和與差，你可再找到的和與差，你可再找到其它兩個數，相加的和等於其它兩個數，相加的和等於203203，相減的差等於，相減的差等於197197嗎？嗎？怎麼利用平方差的公式怎麼利用平方差的公式(ab)(ab)a2b2計算計算203197的值呢？的值呢？203197(2003)(2003)200232 400009 39991 主題三多項式及其運算主題三多項式及其運算怎樣的式子叫做多項式呢？怎樣的式子叫做多項式呢？像像2x、3x2、
9、x22x3，這類由，這類由數數字和文字符號字和文字符號x x進行加法和乘法進行加法和乘法所組成所組成的式子，稱為的式子，稱為x的多項式的多項式。2x3、x2、4、(1/2)x7、1/x、|x|是是x的多項式嗎？的多項式嗎？主題三多項式及其運算主題三多項式及其運算在在x22x3這個式子中，這個式子中，x x的最的最高次數是高次數是2，我們稱它是，我們稱它是x的的二次多項二次多項式式，或簡稱為，或簡稱為二次式二次式。x2稱為稱為二次二次項項，係數是，係數是1 1；2x這項稱這項稱為為一次項一次項，係數是係數是2；而；而3沒有含文字符號沒有含文字符號 x，我們稱它為，我們稱它為常數項常數項。3x2
10、22x1為幾次多項式？為幾次多項式？各項的係數為何？各項的係數為何？主題三多項式的加法主題三多項式的加法我們將我們將x2以邊長為以邊長為x，面積為，面積為x2的大的大正方形表示；正方形表示；x以長、寬分別為以長、寬分別為1 1、x的長的長方形表示；方形表示；1 1以邊長為以邊長為1 1的小正方形表示。的小正方形表示。所以所以x22x3可以可以1 1個面積個面積x2的大正的大正方形，方形，2個面積個面積x的長方形與的長方形與3個面積個面積1 1的的小正方形來表示。小正方形來表示。利用此方法，經過小遊戲之後，我利用此方法，經過小遊戲之後，我們就可以知道怎麼把兩個多項式加起來。們就可以知道怎麼把兩個
11、多項式加起來。兩個多項式可以像兩個數一樣加起兩個多項式可以像兩個數一樣加起來嗎？來嗎？主題三多項式的加法主題三多項式的加法我們將文字符號次數相同的部分稱為我們將文字符號次數相同的部分稱為同同類項類項。兩個式子相加時，就是將它們的兩個式子相加時，就是將它們的同類項合併計算，同類項合併計算，係數相加係數相加。(2x24x5)與與(x22x1)的和為的和為多少？多少？(2x24x5)(x22x1)2x24x5x22x1(2x2x2)(4x2x)(51)3x26x6主題三多項式的加法主題三多項式的加法(2x24x5)與與(x22x1)的和為的和為多少？多少？2x24x5 2 4 5 x2 2x1 1
12、2 1 3x2 2x4 3 2 4如果遇到有些多項式缺了某一如果遇到有些多項式缺了某一項，也就是這一項係數是項，也就是這一項係數是0時，時，通常我們會把缺項的位置補通常我們會把缺項的位置補0，這樣比較方便對齊。這樣比較方便對齊。主題三多項式的減法主題三多項式的減法怎麼計算怎麼計算(x25x1)(3x2x2)呢？呢？(x25x1)(3x2x1)x25x13x2x1(x23x2)(5xx)(1)12x24x2做多項式減法的方法其實與做做多項式減法的方法其實與做多項式的加法一樣，只是把加多項式的加法一樣，只是把加號改成減號，依照同類項係數號改成減號，依照同類項係數相減的原則來算就可以了。相減的原則來
13、算就可以了。主題三多項式的乘法主題三多項式的乘法將將4個邊長為個邊長為x，面積為，面積為x2的正方形，的正方形，拼成一個長為拼成一個長為4x，寬為，寬為x的長方形的長方形後，其面積為何？後，其面積為何？拼成的長方形面積會等於拼成的長方形面積會等於4 4個正方形個正方形面積，所以面積，所以4x x4x2。xxxxxx x xx4x主題三多項式的乘法主題三多項式的乘法將將6 6個邊長為個邊長為x，面積為，面積為x2的正方形，的正方形，拼成一個長為拼成一個長為3x，寬為，寬為2x的長方形的長方形後，其面積為何？後，其面積為何？拼成的長方形面積會等於拼成的長方形面積會等於4 4個正方形個正方形面積，所
14、以面積，所以3x 2x6x2。xxxx2xx x x3xxxxxx主題三多項式的乘法主題三多項式的乘法計算下列各式計算下列各式(1)(5x)(2x)(2)(3x)2(1)(5x)(2x)(5)2 x x (10)x210 x2(2)(3x)23x 3x3 3 x x9 x29x2當單項式乘以單項式時，只要將係數相當單項式乘以單項式時，只要將係數相乘寫在前面，文字符號乘寫在前面，文字符號x x相乘寫在後面相乘寫在後面就可以了！就可以了！主題三多項式的乘法主題三多項式的乘法長為長為x2，寬為，寬為x3的長方形面積的長方形面積為何呢？為何呢？由長、寬來看，它的由長、寬來看，它的面積是面積是(x2)(
15、x3)。也可以看成是圖中四也可以看成是圖中四個大區塊的面積和。個大區塊的面積和。所以，所以，(x2)(x3)x22x3x6x25x6xx3xxxxxx1111112主題三多項式的乘法主題三多項式的乘法請計算請計算(x2)(x4)之值之值 (x2)(x4)x24x2x8 x26x8以上結果與乘法分配律的方法是一樣的，以上結果與乘法分配律的方法是一樣的，因此我們可以利用乘法分配律來做多項因此我們可以利用乘法分配律來做多項式的乘法。式的乘法。主題三多項式的乘法主題三多項式的乘法請計算請計算(2x2)(x4)之值之值 除了橫式的乘法運算外，我們以可以仿除了橫式的乘法運算外，我們以可以仿照數字直式乘法的方式進行多項式的乘照數字直式乘法的方式進行多項式的乘法。法。2x2 2x2 x4 x4 8x8 2x2x 2x2x 8x8 2x26x8 2x26x8 主題三多項式的乘法主題三多項式的乘法請計算請計算(3x4)2之值之值 (3x4)2可用和的平方公式可用和的平方公式(ab)2 a22abb2來算。來算。將將a看成看成3x，b看成看成4，可得，可得(3x4)2(3x)22 3x 442 9x224x16利用乘法公式也能計算多項式的乘法喔！利用乘法公式也能計算多項式的乘法喔！利用乘法公式計算利用乘法公式計算(2x5)2與與(x7)(x7)之值之值
