1、自动控制原理中国科学技术大学工业自动化研究所第第 二二 章章系统的数学模型系统的数学模型例例2.122.12 流体流量建模（储罐液位）流体流量建模（储罐液位）2.8 设计实例设计实例成品储罐、球罐成品储罐、球罐精馏塔再沸器精馏塔再沸器四效蒸发器四效蒸发器1.5 1.5 控制系统设计控制系统设计确立控制目标确立控制目标确定被控变量确定被控变量给出设计指标给出设计指标确立系统结构确立系统结构建立过程、执行机构、传感器的模型建立过程、执行机构、传感器的模型确定控制器并选取需要调整的关键参数确定控制器并选取需要调整的关键参数优化关键参数并分析系统性能优化关键参数并分析系统性能系统性能不满足设计指标则重
2、新选择系统结构系统性能不满足设计指标则重新选择系统结构系统性能满足设计指标结束设计系统性能满足设计指标结束设计确立系统确立系统目标、被目标、被控变量、控变量、设计指标设计指标系统定义系统定义并建模并建模控制系统控制系统设计、仿设计、仿真、分析真、分析1、建立系统非线性微分方程、建立系统非线性微分方程假定储罐中的水不可压缩，具有定常密度假定储罐中的水不可压缩，具有定常密度；流体无粘性、无旋涡、稳定。流体无粘性、无旋涡、稳定。由质量守恒定律：由质量守恒定律：2.8 设计实例设计实例11mA HmAH：储罐中水的质量：水的密度：储罐的截面积：储罐液位2.8 设计实例设计实例111212 212221
3、2221122110.mass flow rate /100 Bernoulli1122 AconstmA HQQQA vQQAAAvHvPgHvPvP流体不可压缩，：稳态流入质量流量：出口流出质量流量：出口面积，：出口处水的流速，液位 的函数根据方程：入口处水的流速212PPP、：入口、出口处大气压,2.8 设计实例设计实例12112 212211122 222123211121231Bernoulli22122212 vvgHmA HQA vQAgHAHgHQAAQA vgAHAgkkkgAAAHkHk QQkHQ 很小，可以忽略，则方程简化为：模型参数与工作点无关在很大的范围内都成立令：
4、，非线性一阶定常微分方程2Q为输入、为输出2.8 设计实例设计实例1121213*1*1112221*111,Taylor*0*2*2*Hf H QkHk QQh H QkHQHHkQQHgAHHkgAHQHHHQQQ 在平衡点上级数展开，、为平衡点流入质量流量和液位，在平衡点有，则：，令、为偏离平衡点的微小增量，有：2、非线性微分方程线性化、非线性微分方程线性化2.8 设计实例设计实例*11*11*1111*11*11*111212112*1112*1Taylor,*,*12*HHQQHHQQHHHHQQQQHHQQfHf H Qf HQHHHfQQQkHk QkAfgHHAHQkHkfQ
5、平衡点上的级数展开：*111*2111HHQQQkQA2.8 设计实例设计实例*1111*1111*12211*111*2221*1112232*11*,*0*Taylor1,*,1 2*HHHHQQQQHHHHQQQQf HQHHHHHAgHHQQHAAQQQQh H Qhhh HQHQHQkgAhhHQHQ ，忽略级数展开的高阶项：与的线性模型，02.8 设计实例设计实例22222*1221*1112222*1122222221*1 11 11gAQHHQQAgHHQAAQgAQHQQQA gA gQQQAQAQ 与的线性模型得到工作点附近的线性化方程组：模型参数与工作点有关以为输入，为输
6、出，得一阶线性定常微分方程：2.8 设计实例设计实例 22*112211221121AgAQQQQQQQsQssQHH skQss 令：得：零初始条件下，方程两边做拉氏变换，得到以流入质量流量为输入、流出质量流量为输出的传递函数：以流入质量流量为输入、水箱液位为输出的传递函数：3、由线性微分方程求传递函数、由线性微分方程求传递函数2.8 设计实例设计实例 ss122222*1122001 00 0ooooottoootoqqQssQqqqQsssssQtqq eqetAgteAQQqA 考虑幅值为的阶跃输入信号：在零初始条件下，得输出信号拉氏变换：，部分分式展开求拉氏反变换，得到：，当时，稳态
7、时流出流量变化为：流入流量变化流出口面积越大，就越大，系统达到稳态就越快4、由传递函数求时域响应、由传递函数求时域响应2.8 设计实例设计实例 222*21 11ss2221 22111 0ootooooqq kkH sssssq kH tetq kq AQq QHA A ggA此时，水箱液位的变化为：求拉氏反变换：稳态时液位的变化为：2.8 设计实例设计实例 11222231222222222222 sin 001 ()cossinoooootoQ tqtqQssQqc sccQsqssssqsssqQ tett 输入信号为正弦信号：拉氏变换为：在零初始条件下，输出信号拉氏变换：求拉氏反变换
8、，得到：0t 2.8 设计实例设计实例222222222222222202222sincos()11/1/sincos 1 sincosctotottqtQ teqtteeqt 102222 1 22222max22ossinsin()0tan()sin|tootetqtqtQttqQt ，稳态时，当时，稳态时，流出流量变化的最大值为：2.8 设计实例设计实例 312120.04431.2732 1034.7700.5 m34.77 kg/sHHQQHHQ tH tQt 当，时，对非线性模型采用数值积分，可以得到和随时间变化的响应曲线。5、数字仿真研究、数字仿真研究采用以上系统参数可得非线性模
9、型：采用以上系统参数可得非线性模型：3*34.77 kg/m*1 mQH当时，系统稳态液位为，达到稳态大约需要250秒。2.8 设计实例设计实例 11 kg/sQ t如果系统已经处于稳态，为了对系统进行评估，如果系统已经处于稳态，为了对系统进行评估，给流入质量流量施加一个阶跃变化：给流入质量流量施加一个阶跃变化：可以采用传递可以采用传递函数获得单位函数获得单位阶跃响应。阶跃响应。5.75 cm5.835 cmHH对线性模型，稳态液位变化：对非线性模型，稳态液位变化：2.8 设计实例设计实例 12211av0.05 rad/s1*34.77 kg/s*1ooqQsqsQ tQQ tQHH，总流入
10、流量为：，稳态时液位按正弦变化，平均值为：米流入质量流量按正弦变化：流入质量流量按正弦变化：2.8 设计实例设计实例 max2max2222max|0.4 kg/s0.05 rad/s*|35.18 kg/soqQtQQQt 稳态时，流出流量按正弦变化，变化量的最大值为：流出流量振荡频率为稳态时，最大值为：例例2.132.13 电力牵引电机控制电力牵引电机控制电机在轨道交通中广泛应用电机在轨道交通中广泛应用2.8 设计实例设计实例按照各个部件，获取系统模型；得到闭环系统按照各个部件，获取系统模型；得到闭环系统传递函数；选择合适的电阻；预测系统响应。传递函数；选择合适的电阻；预测系统响应。2.8
11、 设计实例设计实例1、给定元件给定元件：将期望设定的系统角速度作为差：将期望设定的系统角速度作为差分放大器的一端输入电压：分放大器的一端输入电压：ininin rad/sV1010rad/sdddtvvvV注意：的单位是；的单位是。给定，则期望的稳态角速度为2.8 设计实例设计实例2、反馈元件反馈元件：采用转速计测量电机角速度，转：采用转速计测量电机角速度，转速计在稳态时的输出电压速计在稳态时的输出电压Vt正比于电机角速度，正比于电机角速度，作为系统反馈信号，引入差分放大器的另一端作为系统反馈信号，引入差分放大器的另一端输入。输入。ttvK2.8 设计实例设计实例3、差分放大器差分放大器：误差
12、信号放大：误差信号放大2122121inin3413411/1/1/1/ttRRRRRRvvvvKRRRRRR系统达到稳态时，系统达到稳态时，V1=0。如果。如果Kt=0.1，若取：，若取：32122341141/1 10101/tRRRRRKRRRRR，可取，2.8 设计实例设计实例101033 1.51211111()2 36540vvdg vvvevevvdv4、非线性功放非线性功放：线性化增量模型：线性化增量模型：去掉增量符号，做拉氏变换：去掉增量符号，做拉氏变换：21540VsVs2.8 设计实例设计实例5、大功率直流电机大功率直流电机：10110.1maabKLRK，6、负载负载：
13、20.5Jb，2.8 设计实例设计实例7、方框图方框图：2.8 设计实例设计实例121212121222540()()540()()1 0.15401 540.154005400 120.5540122.55401.52700 1.252700.75dG s GsG GssG GG GG Gssssss8、信号流图信号流图：9、闭环传递函数闭环传递函数：2.8 设计实例设计实例52/0.012nrad s闭环系统无阻尼自然振荡频率闭环系统阻尼系数，欠阻尼阻尼系数非常小，预计闭环系统响应振荡非常剧烈9、系统响应预测：、系统响应预测：2.8 设计实例设计实例例例2.14 机械式加速度计机械式加速度
14、计：测试滑车磁悬浮在导轨上，设计具有合适动态测试滑车磁悬浮在导轨上，设计具有合适动态响应的加速度计，在可接受的时间内达到期望响应的加速度计，在可接受的时间内达到期望的测量性能：的测量性能：y tqa tq，为常数2.8 设计实例设计实例2222220ddyMyxbkydtdtd ydyd xMbkyMdtdtdt 质量块质量块M的受力：的受力：2.8 设计实例设计实例 22223,2,32sssssd xF tMdtF td xMdtMMybykyF tMF tbkyyyMMMF tbkQ tMMMyyyQ t 引擎推力为：若取：则有：2.8 设计实例设计实例 2222223122010200
15、302Q(t)P/231232121232yys Y ssyysY syY sQ sQ sP sPs Y sssY sY ssssPssY ssssPssPkkkY ss ssssss ss 当初始条件为：，拉氏变换：当取幅值为 的阶跃函数，有：输出信号的拉氏变换为：2.8 设计实例设计实例 2102322()(1)(2)22222122122,02222,0sttttssPPksskPPkPPPY ssssy tPPePety tPPePet 输出的时域响应为：2.8 设计实例设计实例5()()()/12/323y tF ty tkbMb Mk Mp秒达到稳态，质量块M相对于机壳的位移正比于
16、引擎推力，即的稳态响应正比于加速度。如果要减少过渡过程时间，可以加大弹性系数 和摩擦系数、减少质量。取、时，过渡过程时间为1秒。时加速度计的响应2.8 设计实例设计实例例例2.15 实验室机器人设计实验室机器人设计：了解结构设计了解结构设计2.8 设计实例设计实例例例2.16 低通滤波器设计低通滤波器设计：设计一阶低通滤波器，截止频率设计一阶低通滤波器，截止频率106.1106.1Hz，直流，直流增益增益0.5。112223212321/,1/IVVGGRIVVGVIIRVI Z Z sCs，2.8 设计实例设计实例 123133111231 3111321/31 322/3LGRLGRLGZ
17、LLVPGZT sVLLLL LGZRCRCssRC 由信号流图，三个回路有：，前向通道与所有回路接触；与不接触，传递函数为：2.8 设计实例设计实例 3223232333123123312331331 1 /1VsZIsZG VsVsZGVsZGVsZGVsVsZGVsZGVsZGR IsIsGRZGVsZ G VsVsVsZZGVsZG VsVsVsZGVsZGVsZG VsVs 有：2.8 设计实例设计实例 31132320.5200022106.1666.7330.0011 k1 F333.3666.7VsGZVsGZRCSpRCRCRCT ss 直流增益，满足期望要求期望极点位于：选
18、取，得滤波器：2.9 应用控制设计软件进行系统仿真应用控制设计软件进行系统仿真弹簧-质量-阻尼系统的分析弹簧-质量-阻尼系统的无外力（零输入）响应2.9 应用控制设计软件进行系统仿真应用控制设计软件进行系统仿真2.10 系列设计系列设计案案例例:磁盘驱动器读磁盘驱动器读取取系统系统第一章提出系统初步设计目标：精确定位读磁第一章提出系统初步设计目标：精确定位读磁头在期望磁道，头在期望磁道，10ms内完成磁道间移动。内完成磁道间移动。本章确定被控对象、传感器、控制器，获得被本章确定被控对象、传感器、控制器，获得被控对象模型控对象模型G(s)和传感器模型。和传感器模型。2.10 系列设计系列设计案案
19、例例:磁盘驱动器读磁盘驱动器读取取系统系统采用永磁直流电机驱动读磁头臂旋转，读磁头采用永磁直流电机驱动读磁头臂旋转，读磁头臂上连接簧片，读磁头安装在簧片上。弹性簧臂上连接簧片，读磁头安装在簧片上。弹性簧片使读磁头以小于片使读磁头以小于100nm的间隙悬浮在磁盘上。的间隙悬浮在磁盘上。薄膜磁头测量磁通量，输出信号给放大器，读薄膜磁头测量磁通量，输出信号给放大器，读取与预编码的索引磁道的误差获取误差信号。取与预编码的索引磁道的误差获取误差信号。假定簧片是刚性的，没有明显的弯曲。假定簧片是刚性的，没有明显的弯曲。2.10 系列设计系列设计案案例例:磁盘驱动器读磁盘驱动器读取取系统系统 1H s 传感
20、器采用精确的读磁头，传递函数为：传感器采用精确的读磁头，传递函数为：控制器采用放大器，传递函数为：控制器采用放大器，传递函数为：caGsK永磁式直流电机传递函数为：永磁式直流电机传递函数为：0mbKG sks JsbLsR，反电势系数2.10 系列设计系列设计案案例例:磁盘驱动器读磁盘驱动器读取取系统系统 5000201000mKG ss JsbLsRs ss磁盘驱动器读取系统典型参数磁盘驱动器读取系统典型参数参数参数符号符号典型值典型值磁头臂与读磁头的转动惯磁头臂与读磁头的转动惯量量J摩擦系数摩擦系数b20 N m s/rad放大器稳态增益放大器稳态增益101000电机系数电机系数5 N m
21、/A电枢绕组电阻电枢绕组电阻R电枢绕组电感电枢绕组电感L1 mHaKmK21 N m s/rad1 被控对象传递函数为：被控对象传递函数为：2.10 系列设计系列设计案案例例:磁盘驱动器读磁盘驱动器读取取系统系统/50 ms1 ms11mLLKbRJLG ssssbR，被控对象传递函数也可以写成如下形式：被控对象传递函数也可以写成如下形式：由于由于L，因此常常忽略，因此常常忽略：/0.25510.05120mLKbRG ssssss s闭环系统方框图如下：闭环系统方框图如下：251205aaaaY sK G sKR sK G sssK2.10 系列设计系列设计案案例例:磁盘驱动器读磁盘驱动器读
22、取取系统系统 220040202000.1radaKY sR sssR ss当时，有：输入为阶跃信号，系统响应如图：2.11 总结总结建立建立物理系统的数学模型物理系统的数学模型，采用，采用微分方程微分方程描述描述系统的系统的动态特性动态特性。在工作点附近泰勒级数展开在工作点附近泰勒级数展开，进行线性近似进行线性近似，获取非线性控制获取非线性控制部部件的小信号线性近似件的小信号线性近似。采采用传递函数用传递函数、方、方框图表框图表达达相互关联的相互关联的部部件件。信号流图法信号流图法的优点是的优点是可可以使以使用梅逊信号流增益用梅逊信号流增益公式，不公式，不需需要化简或处理信号流图，要化简或处理信号流图，即即可可获得获得系统变量之间的关系系统变量之间的关系。THE END
