1、定理定理1：如果如果a,bR，那么，那么a2+b22ab，当且仅当，当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立。定理定理2：如果如果a,bR+，那么，那么 ，当且仅，当且仅当当a=b时，等号成立时，等号成立。abba2猜想：对于猜想：对于3个正数个正数a，b，c，可能有：，可能有：类比两个正数基本不等式的形式：类比两个正数基本不等式的形式：22abba当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立，33abccba当且仅当当且仅当a=b=c时，等时，等号成立号成立 推广：推广：n个正数的算术个正数的算术几何平均不等式：几何平均不等式：.,321321321321等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当
2、则则若若nnnnnaaaaaaaanaaaaRaaaa 定理定理1：如果如果a,b,cR+，那么，那么a3+b3+c33abc，当且，当且仅当仅当a=b=c时，等号成立时，等号成立。定理定理2：如果如果a,b,cR+，那么，那么 ，当，当且仅当且仅当a=b=c时，等号成立时，等号成立。33abccba,Rcba例：已知用基本不等式证明不等式用基本不等式证明不等式,Rcba证明：cba1113abc3339cbacba1119111cbacba求证：033abccba011131113cbacba注：多次运多次运用基本不等用基本不等式时注意限式时注意限制等号成立制等号成立的多重条件。的多重条件。
3、,Rcba证明：27)111()(,12222cbacbaRcba求证、设练习：033abccba0933222232cbaabccba0131113222222cbacba27139)111()(322232222222cbacbacbacba定理定理 如果如果 ，那么，那么 当且仅当当且仅当a=b=c时，等号成立时，等号成立 Rcba,33abccba （）若三个正数的积是一个常数，那么当且（）若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值（）若三个正数的和是一个常数，那么当且（）若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正
4、数相等时，它们的积有最大值仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值33 abccba33abcabc一正一正二定二定三相等三相等解法解法1：由：由 知知 ，则，则 例例 求函数的最小值求函数的最小值下面解法是否正确？为什么？下面解法是否正确？为什么？)0(322 xxxy0 x02,01,022 xxx3322243212321232 xxxxxxxxy3min43 y例例 求函数的最小值求函数的最小值)0(322 xxxy解法解法2：由由 知知 则则 0 x,023,022 xx332222932323232323232 xxxxxxxxy33min32362329343232 yxxx时时即
5、即当且仅当当且仅当的最小值是的最小值是、函数、函数)0(12312 xxxyA、6B、C、9D、1266（）变式：变式：C912232331223231233222xxxxxxxxy解析：21223xx当且仅当时上式取等号即3x9miny变式：变式：_)1(1642222的最小值是、函数xxy8222)1(164xxy解析：4)1(1612122222xxx）（）（84)1(161212332222xxx）（）（时上式取等号时，即）（当且仅当1)1(1612222xxx8miny)3)(2(1,3,21bababa则、若_的最小值为练习：练习：82,4_3x yRxyxy、若若则则的的最最小小
6、值值是是A、4B、3 C、6D、5B3223223yyxyyxyx解析：时，上式取等号且当且仅当422xyyx42(2)(02)2yxxx、函函数数的的最最大大值值是是A、0B、1C、D、（）（）27162732DOA|axa0 0关于绝对值还有什么性质呢关于绝对值还有什么性质呢?表示数轴上坐标为表示数轴上坐标为a的点的点A A到原点到原点O O的距离的距离.绝对值不等式绝对值不等式2、绝对值不等式的解法 复习：如果a0，则|x|a的解集是(-,-a)(a,+)Oa-axO-aax|x|a解题反思：解题反思：整体换元。整体换元。例例1 解不等式解不等式 (1)|3x-1|6 (2)|2-x|3
7、归纳：归纳：形如形如|f(x)|a 不等式的解法不等式的解法:()()f xaaf xa()()()f xaf xa f xa 或变变1解不等式解不等式|5x-6|6 x分析：对绝对值里面的代数式符号讨论分析：对绝对值里面的代数式符号讨论5x-6 0 5x-66-x()或或 ()5x-60-(5x-6)6-x解解()得：得：6/5x2解解()得：得：0 x6/5取它们的并集得：（取它们的并集得：（0，2）()当当5x-60,即即x6/5时，不等式化为时，不等式化为5x-66-x，解得，解得x2,所以所以6/5x2()当当5x-60,即即x6/5时，不等式化为时，不等式化为 -(5x-6)0 所
8、以所以0 x6/5取取()、()并集得原不等式解集为并集得原不等式解集为(0,2)解解 原式可化为原式可化为变变1解不等式解不等式|5x-6|6 x另解另解：分析分析 利用利用|x|a原不等式转化为原不等式转化为-(6-x)5x-6(6-x)因此因此,原不等式的解集为原不等式的解集为(0,2)-(6-x)5x-6变变1 解不等式解不等式|5x-6|6 x5x-6 0 x 2即即 0 x 2总结总结:|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或或f(x)1x1时，原不等式同解于时，原不等式同解于X X2 2X-2X1X1-(X-1)+(X+2)-(X-1)+(X+2)5 5-
9、2 x 1-2 x 1X X-3-3xx综合上述知不等式的解为综合上述知不等式的解为x2或x-3x2或x-33 3当当x-2x1(x-1)+(x+2)-5 x1-(x-1)+(x+2)-5 -2-(x-1)+(x+2)-5 -2xx1 1-(x-1)-(x+2)-5 x-2-(x-1)-(x+2)-5 x12x-4 x1-2 -2-2 -2xx1 1-2x-6 x-2-2x-6 x-2解解 原不等式化为原不等式化为|x-1|+|x+2|-5|x-1|+|x+2|-5 0 0令令f(xf(x)=|x-1|+|x+2|-5,)=|x-1|+|x+2|-5,则则-3-31 12 2-2-2-2-2x
10、 xy y由图象知不等式由图象知不等式的解为的解为x2或x-3x2或x-3方法三：方法三：通过构造函数，利用了函数的图象，通过构造函数，利用了函数的图象，体现了函数与方程的思想体现了函数与方程的思想例例 解不等式解不等式|x-1|+|x+2|5|x-1|+|x+2|5型型不不等等式式的的解解法法和和）（cbxaxcbxax 2利用绝对值不等式的几何意义利用绝对值不等式的几何意义零点分区间法零点分区间法构造函数法构造函数法234xx练练习习：解解不不等等式式解不等式解不等式:.,).,24322,23,4)3()2(,2).2,3(43223,45,4)3()2(,23.3,(4323,25,4)3()2(,3:432)2(Rxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx原原不不等等式式的的解解集集是是综综上上所所述述的的解解集集是是不不等等式式组组即即原原不不等等式式可可化化为为时时当当的的解解集集为为所所以以不不等等式式组组显显然然成成立立即即原原不不等等式式可可化化为为时时当当的的解解集集是是即即不不等等式式组组解解得得原原不不等等式式可可化化为为时时当当解解
