1、一元二次方程一元二次方程 小结与思考小结与思考你掌握了些什么回顾与思考1.一元二次方程在生活中有哪些应用?请举例说明w4.配方法的一般过程是怎样的?2.在解决实际问题的过程中,怎样判断所求得的结果是否合理?请举例说明.3.举例说明解一元二次方程有哪些方法?w5.利用方程解决实际问题的关键是什么?一元二次方程的概念回顾与复习 方程都是只含有的，并且都可以化为 的形式，这样的方程叫做一元二次方程w把axbxc(a，b，c为常数,a)称为一元二次方程的一般形式，其中ax，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数一个未知数x整式方程axbxc(a，b，c为常数,a)
2、配方法回顾与复习用配方法解一元二次方程的步骤:w1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);w2.移项:把常数项移到方程的右边;w3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;w4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项;w5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;w6.求解:解一元一次方程;w7.定解:写出原方程的解.w我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法(solving by completing the square)公式法w 一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0).04.2422acbaacbbxw
3、上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(solving by formular).:,042它的根是时当 acbw老师提示:w用公式法解一元二次方程的前提是:w1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a0).w2.b2-4ac0.回顾与复习公式法是这样生产的w 你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a0)吗?心动 不如行动.0:2acxabx解.2422aacbabx.22222acababxabx.442222aacbabx.04.2422acbaacbbx.2acxabxw1.化1:把二次项系数化为1;w3.配方:方程两边都加
4、上一次项系数绝对值一半的平方;w4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项;w5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;w6.求解:解一元一次方程;w7.定解:写出原方程的解.w2.移项:把常数项移到方程的右边;,042时当 acb知识是怎样发现的w 我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.用心 去想一想.2422,1aacbbx有两个不相等的实数根方程时当00,0422acbxaxacb:00,0422有两个相等的实数根方程时当acbxaxacb.22,1abx没有实数根方程时当00,0422acbxaxacb.4.004222acbacbxaxacb即来表示用根的判别式的叫
5、做方程我们把代数式分解因式法w 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分解因式法.w老师提示:w1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;w2.关键是熟练掌握因式分解的知识;w3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”回顾与复习解应用题n列方程解应用题的一般步骤是:n1.审:审清题意:已知什么,求什么?已知,未知之间有什么关系?n2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;n3.列:列代数式,列方程;n4.解:解所列的方程;n5.验:是否是所
6、列方程的根;是否符合题意;n6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活.n列方程解应用题的关键是:n找出相等关系.回顾与复习有关利润的知识基本知识有关利润的知识基本知识 回顾与思考回顾与思考l商品利润=售价-进价；.进价利润商品利润率知识的升华独立独立作业作业复习题.共22题;祝你成功！数字与方程n1.两个数的差等于两个数的差等于4,积等于积等于45,求这两个数求这两个数.快乐学习快乐学习得根据题意设其中一个数为解,:x.454 xx.04542xx整理得.9,521xx解得.5494,9454xx或.5,99,5:或这两个数为答数字与方程n2.两个连续奇数的积等于两个连续奇数的积等
7、于20022-1,求这两个数求这两个数.快乐学习快乐学习得根据题意和设这两个连续奇数解,1212:xx.1200212122xx.10020012x整理得.1001,100121xx解得.200312200112;200112,200312xxxx或或.200320012001,2003:或或这两个连续奇数为答数字与方程3.一个两位数一个两位数,它的十位数字比个位数字小它的十位数字比个位数字小3,而它的个位而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数求这个两位数.快乐学习快乐学习得根据题意为设这两位数的个位数字解,:x.3102xxx.030112xx整理得
8、.6,521xx解得.3363,2353xx或.36,25:或这个两位数为答数字与方程4.有一个两位数有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是它的十位数字与个位数字的和是5.把这个把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数数,两个两位数的积为两个两位数的积为763.求原来的两位数求原来的两位数.快乐学习快乐学习得根据题意字为设这个两位数的个位数解,:x.736510510 xxxx.0652xx整理得.3,221xx解得.2355,3255xx或.2332:或这两个数为答几何与方程n5.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为将一块正方形
9、的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正方形的小正方形,做成一个无盖的盒子做成一个无盖的盒子.已知盒子的容已知盒子的容积是积是400cm3,求原铁皮的边长求原铁皮的边长.快乐学习快乐学习得根据题意为设原正方形铁皮的边长解,:xcm.100)8(42x:解这个方程).,(2;1821舍去不合题意xx,100)8(2x,108x,108x.18:cm原正方形铁皮的边长为答几何与方程 快乐学习快乐学习n6.一直角三角形的斜边长一直角三角形的斜边长7cm,一条直角边比另一条直角边比另一条直角边长一条直角边长1cm,求两条直角边长度求两条直角边长度.得根据题意设一条直角边为解,:xcm.7)1(222 xx
10、:整理得).,(2971;297121舍去不合题意xx.0242 xx.2971:x解得.29712971:cmcm和两条直角边分别为答.2971129711x几何与方程n7.一块长方形草地的长和宽分别为一块长方形草地的长和宽分别为20cm和和15cm,在它的四周外围环绕着宽度相等的小路在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小已知小路的面积为路的面积为246cm2,求小路的宽度求小路的宽度.快乐学习快乐学习得根据题意设小路的宽度解,:xm.2461525215)220(xx:整理得).,(241;321舍去不合题意xx,01233522xx:解得.3:m小路的宽度为答201515+2x20+
11、2x几何与方程n8.如图如图,在一块长在一块长92m,宽宽60m的矩形耕的矩形耕地上挖三条水渠地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等水渠的宽度都相等.水水渠把耕地分成面积均为渠把耕地分成面积均为885m2的的6个矩个矩形小块形小块,水渠应挖多宽水渠应挖多宽.快乐学习 3得根据题意设水渠的宽度解,:xm.885660)292(xx:整理得).,(105;121舍去不合题意xx,01051062xx:解得.1:m水渠的宽度为答几何与方程快乐学习 3n9.将一条长为将一条长为56cm的铁丝剪成两段的铁丝剪成两段,并把每一段围成一并把每一段围成一个正方形个正方形.n(1).要使这两个正方形的面积之和等于要使
12、这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪该怎样剪?n(2).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪该怎样剪?n(3).这两个正方形的面积之和可能等于这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗吗?得根据题意设剪下的一段为解,.1:xcm.196456)4(22xx:整理得.32245656;24325656xx或,0768562xx:解得.24,3221xx.100,2432:2cmcmcm于可使正方形的面积和等或剪下的一段为答几何与方程快乐学习 3n9.将一条长为将一条长为56cm的铁丝剪成两段的铁丝剪成两段,并把每一段围成一并把每一段围成一
13、个正方形个正方形.n(1).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪该怎样剪?n(2).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪该怎样剪?n(3).这两个正方形的面积之和可能等于这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗吗?得根据题意设剪下的一段为解,.2:xcm.100456)4(22xx:整理得,0562xx:解得.,0,5621舍去不合题意xx.196,:2cm面积能等于可围成一个正方形的其不剪答几何与方程快乐学习 3n9.将一条长为将一条长为56cm的铁丝剪成两段的铁丝剪成两段,并把每一段围成一并把每一
14、段围成一个正方形个正方形.n(1).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪该怎样剪?n(2).要使这两个正方形的面积之和等于要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪该怎样剪?n(3).这两个正方形的面积之和可能等于这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗吗?得根据题意设剪下的一段为解,.3:xcm.200456)4(22xx:整理得.,081828;568182821舍去均不合题意xx,034562xx:解得.818282818256x.200,:2cm等于正方形的面积和不可能不能剪答几何与方程n10.在在“勾股勾股”章中有这样一个问题
15、章中有这样一个问题:n今有邑方不知大小今有邑方不知大小,各中开门各中开门.出北门二十步有木出北门二十步有木,出南门出南门十四步折而西行十四步折而西行,一千七百七十五步见木一千七百七十五步见木.问邑方几何问邑方几何.快乐学习 3n大意是大意是:n如图如图,四边形四边形DEFG是一是一座正方形小城座正方形小城,北门北门H位位于于DG的中点的中点.南门南门K位于位于EF的中点的中点,出北门出北门20步到步到A处有一棵树处有一棵树,出南门出南门14步到步到C处处,再向西行再向西行1775步到步到B处处,正好看到正好看到A处处的树木的树木(即点即点D在直线在直线AB上上).求小城的边长求小城的边长.AB
16、CDEFGHK几何与方程n如图如图,四边形四边形DEFG是一座正方形小城是一座正方形小城,北门北门H位于位于DG的的中点中点.南门南门K位于位于EF的中点的中点,出北门出北门20步到步到A处有一棵树处有一棵树,出南门出南门14步到步到C处处,再向西行再向西行1775步到步到B处处,正好看到正好看到A处处的树木的树木(即点即点D在直线在直线AB上上).求小城的边长求小城的边长.快乐学习 3ABCDEFGHK得由根据题意步设正方形小城边长为解BCDHACAHx,:.17755.0142020 xx:整理得).,(284;25021舍去不合题意xx.071000342xx:解得.250:步正方形小城
17、的边长为答n11.某汽车在公路上行驶某汽车在公路上行驶,它的路程它的路程s(m)和时间和时间t(s)之之间的关系为间的关系为:s=10t+3t2,那么行驶那么行驶 200m需要多长时间需要多长时间?运动与方程开启 智慧得根据题意解,:.2001032tt:整理得).,(10;32021舍去不合题意xx,02001032tt:解得).7.6(320200:ssm约需要行驶答A北东B运动与方程快乐学习 4n12.某军舰以某军舰以20节的速度由西向节的速度由西向东航行东航行,一艘电子侦察船以一艘电子侦察船以30节节的速度由南向北航行的速度由南向北航行,它能侦察它能侦察出周围出周围50海里海里(包括包
18、括50海里海里)范围范围内的目标内的目标.如图如图,当该军舰行至当该军舰行至A处时处时,电子侦察船正位于电子侦察船正位于A处的处的正南方向的正南方向的B处处,此时此时AB=90海海里里.如果军舰和侦察船仍按原来如果军舰和侦察船仍按原来速度沿原方向继续航行速度沿原方向继续航行,那么航那么航行途中侦察船能否侦察到这艘行途中侦察船能否侦察到这艘军舰军舰?如果能如果能,最早何时能侦察最早何时能侦察到到?如果不能如果不能,请说明理由请说明理由.BA北东B运动与方程快乐学习 4B得根据题意小时能侦察到军舰设电子侦察船最早需要解,:x.5020 x)3090(222x:整理得.1328;221xx.0565
19、4132xx:解得.2:时能侦察到军舰电子侦察船最早能在答hw 13.甲公司前年缴税甲公司前年缴税40万元，今年缴税万元，今年缴税48.4万元万元.该公该公司缴税的年平均增长率为多少司缴税的年平均增长率为多少?增长率与方程开启 智慧得根据题意设每年平均增长率为解,:x.4.48)1(402x:解这个方程).,(01.11%;101.1121舍去不合题意xx,21.1)1(2 x,1.1)1(x,1.11x%.10:每年的平均增长率为答w 14.某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之几，那么平均每年需降低百分之几?增长
20、率与方程开启 智慧.022500300:2 xx整理得得解这个方程,得根据题意分数为设每年平均需降低的百解,:x%.191)1(2x:解这个方程).,(9.01%;109.0121舍去不合题意xx,81.0)1(2 x,9.0)1(x,9.01x%.10:数为每年平均需降低的百分答开启 智慧环境保护与方程n15.我国是世界上受沙漠化危害最严重的国家之一我国是世界上受沙漠化危害最严重的国家之一,沙化土沙化土地面积逐年增长地面积逐年增长.2000年初我国沙化土地面积约为年初我国沙化土地面积约为261.5万万元千米元千米2，到，到2002年初沙化土地面积已居室近年初沙化土地面积已居室近262万千米万
21、千米2.假设沙化土地面积每年的增长率相同假设沙化土地面积每年的增长率相同,那么增长率大约是那么增长率大约是多少多少?得根据题意设每年平均增长率为解,:x.262)1(5.2612 x:解这个方程).,(000096.11%;1.000096.1121舍去不合题意xx,0019.1)1(2 x,00096.1)1(x,00096.11x%.1.0:每年的平均增长率约为答w16.为响应国家为响应国家“退耕还林退耕还林”的号召的号召,某地某地2000年退耕还年退耕还林林1600公顷，计划到公顷，计划到2002年退耕还林年退耕还林1936公顷公顷.,那么这两那么这两年退耕还林的增长率是多少年退耕还林的
22、增长率是多少?开启 智慧环境保护与方程得根据题意设每年平均增长率为解,:x.1936)1(16002 x:解这个方程).,(01.11%;101.1121舍去不合题意xx,21.1)1(2x,1.1)1(x,1.11x%.10:每年的平均增长率为答w17.某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。已知某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。已知该厂今年该厂今年4月份的电冰箱产量为月份的电冰箱产量为5万台，万台，6月份比月份比5月份多生产了月份多生产了120000台，求该厂今年产量的月平均增长率为多少台，求该厂今年产量的月平均增长率为多少?开启 智慧增长率与方程得根据题意均增长
23、率为设该厂今年产量的月平解,:x.2.115)1(52xx:整理得).,(02.11075%;202.0107521舍去不合题意xx.0625252xx:解得,107550122525x%.20:增长率为该厂今年产量的月平均答w18.一次会议上一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一每两个参加会议的人都互相握了一次手次手,有人统计一共握了有人统计一共握了66次手次手.这次会议到会的人数这次会议到会的人数是多少是多少?开启 智慧美满生活与方程得根据题意设这次到会的人数为解,:x.6621xx:整理得).,(02231;12223121舍去不合题意xx.01322 xx:解得,223125291
24、x.12:人这次到会的人数为答w19.小明将勤工助学挣得的小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行元钱按一年定期存入银行,到期后取到期后取出出50元用来购买学习用品元用来购买学习用品 剩下的剩下的450元连同应得的税后利息又全部元连同应得的税后利息又全部按一年定期存入银行如果存款的年利率保持不变按一年定期存入银行如果存款的年利率保持不变,且到期后可得税后且到期后可得税后本息约本息约461元元,那么这种存款的年利率大约是多少那么这种存款的年利率大约是多少?(精确到精确到0.01%).开启 智慧美满生活与方程得根据题意设这种存款的年利率为解,:x.461)8.01(50)8.01(500
25、xx:整理得).,(0%;44.1144.021舍去不合题意xx.0117603202xx:解得%.44.1:这种存款的年利率约为答,6402.769760640591680760 xw 20.某果园有某果园有100棵桃树棵桃树,一棵桃树平均结一棵桃树平均结1000个桃子个桃子,现准现准备多种一些桃树以提高产量备多种一些桃树以提高产量.试验发现试验发现,每多种一棵桃树每多种一棵桃树,每每棵棵桃树的产量就会减少棵棵桃树的产量就会减少2个个.如果要使产量增加如果要使产量增加15.2%,那那么应种多少棵桃树么应种多少棵桃树?开启 智慧经济效益与方程得根据题意棵设多种桃树解,:x.%2.1511000
26、100)121000)(100(xx.0760040:2xx整理得得解这个方程,.380,2021xx.38020:棵棵或应多种桃树答我是商场精英n21.某商场销售一批名牌衬衫某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出现在平均每天能售出20件件,每件盈利每件盈利40元元.为了尽快减少库存为了尽快减少库存,商场决定采取商场决定采取降价措施降价措施.经调查发现经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低如果这种衬衫的售价每降低1元时元时,平均每天能多售出平均每天能多售出2件件.商场要想平均每天盈利商场要想平均每天盈利1200元元,每件衬衫应降价多少元每件衬衫应降价多少元?源于生活,服务于生活得根据题意元设
27、每件衬衫应降价解,:x.1200)1220)(40(xx.020030:2xx整理得得解这个方程,.10,2021xx.20,:元应降价为了尽快减少库存答.40220,60220 xx或n 22.某商店从厂家以每件某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品元的价格购进一批商品,若每若每件商品售价为件商品售价为x元元,则每天可卖出则每天可卖出(350-10 x)件件,但物价局限定但物价局限定每件商品加价不能超过进价的每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚商店要想每天赚400元元,需要卖出多少年来件商品需要卖出多少年来件商品?每件商品的售价应为多少元每件商品的售价应为多少元?开启 智慧利
28、润与方程得根据题意元设每件商品的售价应为解,:x.400)10350)(21(xx.077556:2xx整理得得解这个方程,.31,2521xx.25:元每件商品的售价应为答.,31,2.25%2012131舍去不合题意xx回味无穷小结 拓展n列方程解应用题的一般步骤是列方程解应用题的一般步骤是:n1.1.审审:审清题意审清题意:已知什么已知什么,求什么求什么?已知已知,未知之间有什么未知之间有什么关系关系?n2.2.设设:设未知数设未知数,语句要完整语句要完整,有单位有单位(同一同一)的要注明单位的要注明单位;n3.3.列列:列代数式列代数式,列方程列方程;n4.4.解解:解所列的方程解所列
29、的方程;n5.5.验验:是否是所列方程的根是否是所列方程的根;是否符合题意是否符合题意;n6.6.答答:答案也必需是完整的语句答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活注明单位且要贴近生活.n列方程解应用题的列方程解应用题的关键关键是是:n找出找出相等关系相等关系.n关于两次平均增长关于两次平均增长(降低降低)率问题的一般关系率问题的一般关系:na(1a(1x)x)2 2=A(=A(其中其中a a表示基数表示基数,x,x表表示增长表表示增长(或降低或降低)率率,A,A表示新表示新数数)结束寄语一元二次方程也是刻画现实世界的有效数学模型.用列方程的方法去解释或解答一些生活中的现象或问题是一种重要的数学方程方法即方程的思想.
