1、前页后页返回机动q一、一、q二、二、三角有理函数的积分三角有理函数的积分q三、三、q四、四、内容小结内容小结有理函数的积分有理函数的积分返回前页后页返回机动：两个多项式的商两个多项式的商,即即mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其其中中m、n均均为为非非负负整整数数；naaa,10及及mbbb,10 均均为为实实数数，且且 00 a，00 b.若若P(x)与与Q(x)之间没有公因式，则之间没有公因式，则,)i(mn 这有理函数是这有理函数是真分式真分式；,)ii(mn 这有理函数是这有理函数是假分式假分式；一、有理函数的积分一、有理函数的积分前页后页返回
2、机动利用利用多项式除法多项式除法,任何有理假分式总可以化成一个任何有理假分式总可以化成一个多项式和一个有理真分式之和多项式和一个有理真分式之和.已已解解决决 dxqpxxBAxdxqpxxBAxn22 4 3（重点解决重点解决）（利用递推公式利用递推公式）)1(12ln 11nC axnAdxaxA CaxAdxaxAnn前页后页返回机动，即即分分母母无无法法分分解解因因式式若若 04 (1)2qpdxxx2691 1 2求求例例Cauauaduarctan1 22利利用用公公式式解：解：dxx1)13(12原式原式1)13()13(312xxdCx)13arctan(31前页后页返回机动dx
3、xxx26953 2 2求求例例解：解：dxxxxd)618()269(2dxxxx269 4)618(61 2原式原式dxxxdxxxx26914 2696186122Cxxx)13arctan(34)269ln(612同例同例1 1前页后页返回机动，分分母母可可分分解解因因式式若若 04 (2)2qpdxxx35691 3 2求求例例Cauauaduau ln21 1 22利用公式利用公式解：解：dxx36)13(12原式原式)13(36)13(1312xdxCxx7353ln361？怎怎么么求求 356932 2dxxxx前页后页返回机动因因式式分分解解定定理理：rskrrklsllnq
4、xpxqxpx cxcxcxa Q(x)211221121 1 标标准准分分解解式式为为：积积。与与二二次次不不可可约约因因式式的的乘乘唯唯一一地地分分解解为为一一次次因因式式数数域域上上都都可可的的实实系系数数多多项项式式，在在实实每每个个次次数数前页后页返回机动(1)若若分母含有因式分母含有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)(,)()(221kkaxAaxAaxA有理真分式化为部分分式之和的一般规律有理真分式化为部分分式之和的一般规律：其其中中kAAA,21都都是是常常数数.则分解后为则分解后为，其中，其中若分母中含有若分母中含有 04)()2(22qpqpxxkkkkqpxxNxMq
5、pxxNxMqpxxNxM)()(22222211其中其中iiNM,都是常数都是常数),2,1(ki.前页后页返回机动.12 1 32为为部部分分分分式式和和化化例例xxx11111212232xCxB xAxxxxxxx解：解：)()()(11112 22 xCxxBxxAx通分通分AxCBxCBAx)()(12 22 1 0 2 ACBCBA231 CBA1123112311232xx xxxx前页后页返回机动11112212222232xxCBxxAxxxxxxxx.122 2 32为为部部分分分分式式和和化化例例xxx解：解：)1)()1(22 22xCBxxxAxx通分通分CAxCB
6、AxBAxx)()(22 221 2 1CBA2 21 CACBABA11211122232xxxxxxx前页后页返回机动2221111122xCxBxAxxxx.1122 3 22为部分分式和为部分分式和化化例例xxxx解：解：)1()1)(1()1(22 22xCxxBxAxx通分通分CBAxCAxBAxx)2()(22 22222 1 CBACABA21,47 ,43CBA2221121114711431122xxxxxxx前页后页返回机动注：注：，若有理真分式为若有理真分式为 22)(cbxxaxxP 22)(cbxxaxxP 则可令则可令axA cbxxCBx 2 22cbxxDEx
7、 .待定系数待定系数前页后页返回机动;12 4 32dxxx x 求求例例解：解：11231123112 32xx xxxxdxxx xdxxxx112311231 12 32dxxdxxdxx112311231Cxxx1ln231ln23ln前页后页返回机动.122 5 32dxx x x求求例例解：解：11211122 232xxxxxxxdxxxxdxx11211 2原式原式)1(111ln22xxdxxxCxxx)1ln(1ln2前页后页返回机动.1122 6 22dxxxxx求求例例解：解：2221121114711431122 xxxxxxxdxxxxdxxxxx222112111
8、4711431122 dxxdxxdxx2)1(12111471143Cxxx11211ln471ln43返回前页后页返回机动二、三角有理函数的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数，由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数，称为三角有理函数记为称为三角有理函数记为)cos,(sinxxRdxxxR)cos,(sin 计算积分计算积分思路：思路：有理化有理化 2tan xu 令令212 arctan2 ududxux，则则2sec2tan22cos2sin2sin2xxxxx2sec2tan12sin2coscos2222xxxxx方法：方法：212uu2211uu前页后页返回机
9、动.cossin1sin 1 dxxxx求求例例解：解：,12sin2uux2211cosuux,122duudxdxxxxcossin1sinduuuu)1)(1(22duuuuuu)1)(1(1122222tan xu 由万能置换由万能置换前页后页返回机动duuuuu)1)(1()1()1(222duuduuu11112Cuuu1ln)1ln(21arctan22tanxu.2tan1ln2secln2Cxxx前页后页返回机动 万能置换不一定是最佳方法万能置换不一定是最佳方法,在计算三角有在计算三角有理式积分时应先考虑其它手段理式积分时应先考虑其它手段,不得已再用万能置不得已再用万能置换求
10、解换求解.型型中中，若若 cossindxxx，R xx，Rxx，Rcossincossin ；则则令令 cos x u xx，R xx，Rcossincossin ；则则令令 sin x u xx，Rxx，Rcossincossin .tan xu则则令令前页后页返回机动.sin1 2 4dxx求求例例解：解：xutan 令令,1sin2uux,112duudxdxx4sin1duuuu2421111duuu421Cuu1313.cotcot313Cxxxx，Rxx，Rcossincossin返回前页后页返回机动三、简单无理函数积分三、简单无理函数积分dxx x231 1 求求例例、形如形如
11、),(dxbaxxRn、),(dxecxbaxxRn作作置置换换去去根根号号，有有理理化化方方法法：解：解：ux23 令令ududxux32,)2(31 2则则duuuu2322原式原式duuuuu)2)(1()2()1(22duuu11222Cuu1ln2ln22Cxx123ln2223ln4前页后页返回机动.111 2 3dxxx求求例例解解:1 6 xt令令,65dxdttdxxx3111dtttt52361dttttdttt)111(61623Ctttt|1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx前页后页返回机动dxxxx11 3 求求例例解：解：txx1 令令,
12、112tx,1222ttdtdxdxxxx11dttttt2221211222tdttdtt11122Cttt11ln2.11ln122Cxxxxx返回前页后页返回机动四、内容小结四、内容小结返回1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,前页后页返回机动返回如何求下列积分更简便?)0(d)1(662 axxax xxxcossind)2(3解解:（1）23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln61（2）原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121前页后页返回机动解：解：.dcos3sin1xxx原式=2tanxu 前式令xxdcos31xxxdcos3sin221131uuuud122uud2122arctan21u)cos3(dcos31xxxcos3ln;后式配元Cx cos3ln)2tan21arctan(21xCx cos3ln返回
