1、导数的应用习题课导数的应用习题课一、知识点一、知识点1导数应用的知识网络结构图：导数应用的知识网络结构图：2基本思想与基本方法：基本思想与基本方法：数形转化思想：从几何直观入手，理解函数单调数形转化思想：从几何直观入手，理解函数单调 性与其导数的关系，由导数的几何意义直观地探性与其导数的关系，由导数的几何意义直观地探 讨出用求导的方法去研究，解决有导数函数的极讨出用求导的方法去研究，解决有导数函数的极 值与最值问题。这体现了数学研究中理论与实践值与最值问题。这体现了数学研究中理论与实践 的辩证关系，具有较大的实践意义。的辩证关系，具有较大的实践意义。求有导数函数求有导数函数y=f(x)单调区间
2、的步骤：单调区间的步骤：i）求）求f(x)；ii）解不等式）解不等式f(x)0（或（或f(x)0）；）；iii）确认并指出递增区间（或递减区间）。）确认并指出递增区间（或递减区间）。证明有导数函数证明有导数函数y=f(x)在区间在区间(a，b)内的单调性：内的单调性：i）求）求f(x)；ii）解不等式）解不等式f(x)0（或（或f(x)0）；）；iii）确认）确认f(x)在在(a，b)内的符号；内的符号；iv）作出判断。）作出判断。求有导数的函数求有导数的函数y=f（x）的极值的步骤：）的极值的步骤：i）求导数）求导数f(x)；ii）求方程）求方程f(x)=0的全部实根；的全部实根；iii）检
3、查）检查f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右两侧的值的根左右两侧的值 的符号，如果左正右负，那么的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个）在这个 根处取得极大值；如果左负右正，那么根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值。在这个根处取得极小值。设设y=f（x）在）在a，b上有定义，在上有定义，在(a，b)内有导数，内有导数，求求f（x）在）在a，b上的最大值和最小值的步骤：上的最大值和最小值的步骤：i）求）求f（x）在（）在（a，b）内的极值；）内的极值；ii）将）将f（x）的各极值与）的各极值与f（a）、）、f（b）比较，确）比较，确 定定f（x）的最大值与最小值。
4、）的最大值与最小值。在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值 点（单峰函数），那么，只要根据实际意义判定点（单峰函数），那么，只要根据实际意义判定 最值，不必再与端点的函数值作比较。最值，不必再与端点的函数值作比较。二、例题选讲二、例题选讲例例1:讨论函数讨论函数 的单调性的单调性.|1|1|)(xxxxxf 解解:函数的定义域为函数的定义域为).,1()1,0()0,(当当x1时时,.)1(12211)(2 xxxxxxxxxf.)1(12)(22 xxxxf故当故当x1时时,0)(xf.0)(xf当当0 x1时时,)1(12)(,)1(122)(
5、222 xxxxfxxxxxf故当故当0 x1/2时时,;当当1/2x0或或x0)的极大值为的极大值为6,极小极小 值为值为2.(1)试确定常数试确定常数a、b的值的值;(2)求函数的单调递增区间求函数的单调递增区间.答案答案:(1)a=1,b=4.(2)单调递增区间为单调递增区间为(-,-1)和和(1,+).例例3:试问试问:曲线曲线y=x6/3上哪一点的法线在上哪一点的法线在y轴上截距最小轴上截距最小?(所谓法线是指所谓法线是指:过曲线上一点与以此点为切点的过曲线上一点与以此点为切点的 切线垂直的直线切线垂直的直线).解解:在已知曲线上任取一点在已知曲线上任取一点(x,x6/3),则过该点
6、的切线的则过该点的切线的 斜率为斜率为 ,从而法线的斜率为从而法线的斜率为52xyk .215x 故法线方程为故法线方程为).(213156xXxxY 令令X=0,得法线在得法线在y轴上的截距轴上的截距:.21346xxY 则则.)1(22251055xxxxY 令令 ,得得.10 xY当当x-1时时,则则Y单调减小单调减小;当当-1x0时时,则则Y单调增加单调增加;当当0 x1时时,则则Y单调增加单调增加.0 Y0 Y0 Y0 Y故当故当 时时,Y有最小值有最小值5/6,此时点此时点 为所求为所求.1 x)31,1(练习练习2:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在在x=-2/3
7、与与x=1处都处都 取得极值取得极值.(1)求求a、b的值的值;(2)若若x-1,2时时,不等式不等式f(x)c2恒成立恒成立,求求c的取的取 值范围值范围.答案答案:(1)a=-1/2,b=-2.(2)利用利用f(x)maxc2,解得解得c2.练习练习3:若函数若函数f(x)=x3+bx2+cx在在(-,0及及2,+)上都是上都是 增函数增函数,而在而在(0,2)上是减函数上是减函数,求此函数在求此函数在-1,4上上 的值域的值域.答答:由已知得由已知得 可求得可求得c=0,b=-3,从而从而f(x)=x3-3x2.又又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数所以函
8、数f(x)在在-1,4上的上的值域是值域是-4,16.,0)2()0(ffxy例例4:如图如图,在二次函数在二次函数f(x)=4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个围成的图形中有一个 内接矩形内接矩形ABCD,求这求这 个矩形的最大面积个矩形的最大面积.解解:设设B(x,0)(0 x2),则则 A(x,4x-x2).从而从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面积的面积为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x0得得x=1.0)(xf而而0 x1时时,所以所以x=1是是f(x)的的极小值点极小值点.0)(xf0)(xf所以
9、当所以当x=1时时,f(x)取最小值取最小值f(1)=1.从而当从而当x0时时,f(x)1恒成立恒成立,即即:成立成立.2)1(211ln xxx3)1(321x 三、小结三、小结四、作业四、作业1.要充分掌握导数应用的基本思想与基本方法要充分掌握导数应用的基本思想与基本方法.2.要认识导数应用的本质要认识导数应用的本质,强化应用意识强化应用意识.3.认真梳理知识认真梳理知识,夯实基础夯实基础,善于利用等价转化善于利用等价转化,数形结数形结 合等数学思想方法合等数学思想方法,发展延拓发展延拓,定能不断提高解题的定能不断提高解题的 灵活性和变通性灵活性和变通性.p.257258课后强化训练课后强
10、化训练.例例2:已知已知f(x)=x2+c,且且ff(x)=f(x2+1)(1)设设g(x)=ff(x),求求g(x)的解析式的解析式.(2)设设 ,试问试问:是否存在实数是否存在实数 ,使使 在在(-,-1)内为减函数内为减函数,且在且在(-1,0)内是增函数内是增函数.)()()(xfxgx )(x 说明说明:此题为此题为p.248第第15题题.解解:(1)由由已知已知得得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+c,f(x2+1)=(x2+1)2+c;由由ff(x)=f(x2+1)得得:(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,即即(x2+c)2=(x2+1)2,故故c=1.所以所以f(
11、x)=x2+1.从而从而g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.(2).2()2()()()(24 xxxfxgx若满足条件的若满足条件的 存在存在,则则.)2(24)(3xxx 由函数由函数 在在(-,-1)内为减函数知内为减函数知,当当x-1时时,即即 对于对于 恒成立恒成立.)(x,0)(x)1,(0)2(243 xxx.44)2(2,44;4)2(2,122 xxxxx而而又函数又函数 在在(-1,0)内为增函数知内为增函数知,当当-1x0时时,即即 对于对于 恒成立恒成立.)(x,0)(x)0,1(0)2(243 xxx.44)2(2,044,01
12、,4)2(222 xxx 故当故当 时时,在在(-,-1)内为减函数内为减函数,且在且在(-1,0)内是内是增函数增函数,即满足条件的即满足条件的 存在存在.4 )(x 另解另解:由已知的单调性知由已知的单调性知:(-,-1)内内 ,(-1,0)内内 又又 在点在点x=-1处连续处连续,故点故点x=-1是极小值点是极小值点.0)(xf0)(xf)(x.40)1(例例5:如图宽为如图宽为a的走廊与另一走廊的走廊与另一走廊 垂直相连垂直相连,如果长为如果长为8a的细杆的细杆 能水平地通过拐角能水平地通过拐角,问另一走问另一走 廊的宽度至少是多少廊的宽度至少是多少?aAB C8a解解:设细杆与另一走廊一边夹角为设细杆与另一走廊一边夹角为 又设另一走又设另一走 廊的宽为廊的宽为y.),20(y.cos8,cos aaBCaAB ).20(cossin8sin)(aaBCy.coscos8coscossincos8)(2222 aaaaay 令令.321cos81cos03 y由于由于y()只有一个极小值只有一个极小值,所以它是最小值所以它是最小值,这时这时.33 ay 故另一走廊的宽度至少是故另一走廊的宽度至少是.33a
